数列求和方法解析

1、数列求和的方法数列求和的方法将一个数列拆成若干个简单数列将一个数列拆成若干个简单数列, 然后分别求和然后分别求和. 将数列相邻的两项将数列相邻的两项( (或若干项或若干项) )并成一项并成一项( (或一组或一组) )得到一得到一个新数列个新数列( (容易求和容易求和) ).一、一、拆项求和拆项求和二、二、并项求和并项求和例例 求和求和 Sn=12+23+n(n+1).例例 求和求和 Sn=1- -2+3- -4+5- -6+(- -1)n+1n.三、裂项求和三、裂项求和 将数列的每一项拆将数列的每一项拆( (裂开裂开) )成两项之差成两项之差, 使得正负项能相互使得正负项能相互抵消抵消, 剩下

2、首尾若干项剩下首尾若干项.n2Sn=- - ,n 为偶数时为偶数时, , n 为奇数时为奇数时. n+1 2n(n+1)(n+2) 3 n+1n例例 求和求和 Sn= + + .121231n(n+1)1四、错位求和四、错位求和 将数列的每一项都作相同的变换将数列的每一项都作相同的变换, 然后将得到的新数列错然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减动一个位置与原数列的各项相减.例例 等比数列求和公式的推导等比数列求和公式的推导. 五、倒序求和五、倒序求和 将数列的倒数第将数列的倒数第 k 项项( (k=1, 2, 3, ) )变为正数第变为正数第 k 项项, 然后然后将得到的新数列与原

3、数列进行变换将得到的新数列与原数列进行变换( (相加、相减等相加、相减等) ).例例 等差数列求和等差数列求和公式的推导公式的推导.典型例题典型例题(1)已知已知 an= , 求求 Sn; n(n+1)2 2n+1 (2)已知已知 an= , 求求 Sn; (2n- -1)(2n+1) (2n)2 n2+2n n2+2n+12n2+2n 2n+1Sn=(3n+2)2n- -1 Sn=3n- -2n( (公比为的等比数列公比为的等比数列) ) 23(4)Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+n1; 法法1 Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+nn- -(n- -1) =n(

4、1+2+3+n)- -2 1+3 2+n(n- -1) =n(1+2+3+n)- -12+22+(n- -1)2- -1+2+(n- -1) 法法2 Sn=1n+2(n- -1)+3(n- -2)+n1 =1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n) 而而 an=1+2+3+n= n(n+1). 12(5)Sn=3n- -1+3n- -22+3n- -322+2n- -1. (3)Sn=Cn+4Cn+7Cn+10Cn+(3n+1)Cn; 0 1 2 3 n n(n+1)(n+2) 6 课后练习课后练习 1.已知数列已知数列 an 是等差数列是等差数列, 且且 a1=2, a1+a2+a3

5、=12, (1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式; (2)令令 bn=an 3n, 求数列求数列 bn 前前 n 项和的公式项和的公式.解解: (1)设数列设数列 an 的公差为的公差为 d, 则由已知得则由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n- -1) 2=2n. 故数列故数列 an 的通项公式的通项公式为为 an=2n. (2)由由 bn=an 3n=2n 3n 得数列得数列 bn 前前 n 项和项和 Sn=2 3+4 32+(2n- -2) 3n- -1+2n 3n 3Sn=2 32+4 33+(2n- -2) 3n+2n 3n+1 将将 式减式减 式得式得:

6、- -2Sn=2(3+32+3n)- -2n 3n+1=3(3n- -1)- -2n 3n+1. Sn= +n 3n+1. 3(1- -3n) 2又又 a1=2, 2.将上题将上题 (2) 中中“ bn=an 3n ” 改为改为“ bn=an xn(x R)”, 仍求仍求 bn 的前的前 n 项和项和.解解: 令令 Sn=b1+b2+bn, 则由则由 bn=an xn=2nxn 得得:Sn=2x+4x2+(2n- -2)xn- -1+2nxn xSn=2x2+4x3+(2n- -2)xn+2nxn+1 当当 x 1 时时, 将将 式减式减 式得式得: (1- -x)Sn=2(x+x2+xn)-

7、 -2nxn+1= - -2nxn+1. 2x(1- -xn) 1- -x Sn= - - .2x(1- -xn) (1- -x)2 2nxn+1 1- -x 当当 x=1 时时, Sn=2+4+2n=n(n+1); 综上所述综上所述, Sn= n(n+1), x=1 时时, 2x(1- -xn) (1- -x)2 2nxn+1 1- -x - - , x 1 时时. 3.求和求和: Sn=1+(1+ )+(1+ + )+(1+ + + ).121412121412n- -1 121412n- -1 解解: an=1+ + + = =2- - . 1- - 121- - 1212n- -1 1

8、2n- -1 Sn=2n- -(1+ + + ) 121412n- -1 =2n- -2+ . 12n- -1 4.求数列求数列 n(n+1)(2n+1) 的前的前 n 项和项和 Sn.解解: 通项通项 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,Sn=2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n) n2(n+1)2 = + + 2n(n+1) 2n(n+1)(2n+1) 2= . n(n+1)2(n+2) 2 5.数列数列 an 中中, an= + + , 又又 bn= , 求求数列数列 bn 的前的前 n 项的和项的和.n+1 1 n+1 2 n+1 n anan+

9、1 2解解: an= (1+2+n)= , n+1 1 2 nbn= =8( - - ). 2 n2 n+12 n+1 1 n1Sn=8(1- - )+( - - )+( - - )+( - - ) 1213121314n+1 1 n1=8(1- - ) n+1 1 n+1 8n = . 6.已知已知 lgx+lgy=a, 且且 Sn=lgxn +lg(xn- -1y)+lg(xn- -2y2)+lgyn, 求求 Sn. 解解: Sn=lgxn+lg(xn- -1y)+lg(xn- -2y2)+lgyn,又又 Sn=lgyn +lg(xyn- -1)+lg(xn- -1y)+lgxn,2Sn=

10、lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)n+1 项项 =n(n+1)lg(xy).lgx+lgy=a, lg(xy)=a.Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 注注: 本题亦可用对数的运算性质求解本题亦可用对数的运算性质求解: Sn= lg(xy)= a. n(n+1) 2 n(n+1) 2 Sn=lgxn+(n- -1)+3+2+1 y1+2+3+(n- -1)+n, 8.求求数列数列 1, 2+3, 4+5+6, 7+8+9+10, 的通项的通项 an 及前及前 n 项和项和Sn.解解: an= +1+ +2+ +nn(n- -1)

11、 2 n(n- -1) 2 n(n- -1) 2 n2(n- -1) 2 = + = n3+ n. n(n+1) 2 1212 Sn= (13+23+n3)+ (1+2+n)1212n(n+1) 2 = 2+ 1212n(n+1) 2 = (n4+2n3+3n2+2n). 187.求证求证: Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1) 2n. 0 1 2 n 证证: 令令 Sn=Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn. 0 1 2 n 又又 Sn=(2n+1)Cn+(2n- -1)Cn +3Cn+Cn, n n- -1 1 0 2Sn=2(n+1)(Cn+Cn+Cn)=2(n+1) 2

12、n. 0 1 n Cn+3Cn+5Cn+(2n+1)Cn=(n+1) 2n.0 1 2 n 9.已知递增的等比数列已知递增的等比数列 an 前前 3 项之积为项之积为 512, 且这三项分别且这三项分别减去减去 1, 3, 9 后又成等差数列后又成等差数列, 求数列求数列 的前的前 n 项和项和.an n 解解: 设设等比数列等比数列 an 的公比为的公比为 q, 依题意得依题意得:a1a2a3=512a23=512a2=8.前三项分别减去前三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列后又成等差数列,( - -1)+(8q- -9)=2(8- -3) q=2 或或 q= ( (舍去舍去) ).

13、q812an=a2qn- -2=8 2n- -2=2n+1.所求数列的前所求数列的前 n 项和项和 Sn= + + 122 223 2n+1 n2n+1 n- -1 123 224 Sn= + + + 122n+2 n- - 得得: Sn= + + - -2n+1 1 122 123 122n+2 nSn= + + - -12n 122 2n+1 n12=1- - - - .12n 2n+1 n 10.已知数列已知数列 an 中中, a1=1, (2n+1)an=(2n- -3)an- -1(n2, n N*), 求数列求数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn. = . an- -1 an

14、2n- -3 2n+1 Sn=a1+a2+an 解解: (2n+1)an=(2n- -3)an- -1, 则则 = , , = , = . an- -2 an- -1 2n- -5 2n- -1 a2 a3 37a1 a2 15 = . a1 an (2n+1)(2n- -1) 3 an=(2n+1)(2n- -1)3 = ( - - ). 321 2n- -1 1 2n+1 321 2n- -1 1 2n+1 = (1- - )+( - - )+( - - )+( - - ) 2n+1 = . 解解: (1) a1C - -a2C +a3C =a1- -2a1q+a

15、1q2=a1(1- -q)2. 222210 11.已知已知 an 是是 首首 项项 为为 a1, 公公 比比 为为 q 的的 等等 比比 数数 列列. (1)求和求和: a1C2- -a2C2+a3C2, a1C3- -a2C3+a3C3- -a4C3 ; (2)由由(1)的结果归纳概的结果归纳概括出关于正整数括出关于正整数 n 的一个结论的一个结论, 并加以证明并加以证明; (3)设设q1, Sn是是an的前的前 n 项和项和, 求求 S1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn.00011122233n3210a1C - -a2C +a3C - -a4C

16、 =a1- -3a1q+3a1q2- -a1q3=a1(1- -q)3. 3333(2) 归纳概括的结论为归纳概括的结论为: a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C =a1(1- -q)n, 其中其中, 3n210nnnnnn 为正整数为正整数. 证明如下证明如下: a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C 3n210nnnnn=a1C - -a1qC +a1q2C - -a1q3C +(- -1)na1qnC 3n210nnnnn=a1C - -qC +q2C - -q3C +(- -1)nqnC 3n210nnnnn=a1(

17、1- -q)n. a1C - -a2C +a3C - -a4C +(- -1)nan+1C =a1(1- -q)n. 3n210nnnnn解解: (3)记记 t= , 则由则由 Sn=t(1- -qn) 得得: 1- -q a1 0123nS1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn =t(1- -q)Cn- -(1- -q2)Cn+(1- -q3)Cn+ +(- -1)n(1- -qn+1)Cn 012n0123n- -tqCn- -qCn+q2Cn- -q3Cn+ +(- -1)nqnCn=tCn- -Cn+Cn- -Cn+ +(- -1)nCn 012n

18、3=t(1- -1)n - -tq(1- -q)n =- -tq(1- -q)n, 从而有从而有: 0123nS1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn =- -tq(1- -q)n =- - (1- -q)n. 1- -q a1q 11.已知已知 an 是是 首首 项项 为为 a1, 公公 比比 为为 q 的的 等等 比比 数数 列列. (1)求和求和: a1C2- -a2C2+a3C2, a1C3- -a2C3+a3C3- -a4C3 ; (2)由由(1)的结果归纳概的结果归纳概括出关于正整数括出关于正整数 n 的一个结论的一个结论, 并加以证明并加以证明; (3)设设q1, Sn是是an的前的前 n 项和项和, 求求 S1Cn- -S2Cn+S3Cn- -S4Cn+ +(- -1)nSn+1Cn.00011122233n(1)证证: 由已知由已知 S1=a1=a, Sn=aqn- -1, 当当 n2 时时, an=Sn- -Sn- -1=aqn- -1- -aqn- -2=a(q- -1)qn- -2. 在在 an中中, 从第从第 2 项开始成等比数列项开始成等比数列. 12.数列数列 an 中中, a1=a, 前前 n 项和