2-3 随机变量的分布函数ppt课件

1、一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质三、例题讲解三、例题讲解四、小结四、小结 离散型随机变量的取值对应着样本空间的一离散型随机变量的取值对应着样本空间的一个事件且离散型随机变量可以列举出来个事件且离散型随机变量可以列举出来. 本节本节考虑非离散型随机变量的描述方法考虑非离散型随机变量的描述方法. 非离散型随机变量经常考虑的是某种区间问题非离散型随机变量经常考虑的是某种区间问题. 例如考察误差例如考察误差、元件的寿命、元件的寿命 T 等等, 不会对误差不会对误差 = 0.05mm, 寿命寿命T =123小时的概率感兴趣小时的概率感兴趣. 而而是考虑误差落在某个

2、区间的概率是考虑误差落在某个区间的概率, 寿命寿命 T 大于某大于某个数的概率个数的概率. 这些都是考虑随机变量所取的值落这些都是考虑随机变量所取的值落入某一区间的概率入某一区间的概率Px1 X x2, 一、分布函数的概念一、分布函数的概念1.概念的引入概念的引入21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布函数分布函数 ).()(12xFxF ?2.分布函数的定义分布函数的定义阐明阐明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.)()2(的的一一个个普普通通实实函函数数是是分分布布函函数数xxF.)(,

3、的的分分布布函函数数称称为为函函数数是是任任意意实实数数是是一一个个随随机机变变量量设设定定义义XxXPxFxX x实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, , 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 XP0 XP,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)( xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP 1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 证明证明2

4、1xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 二、分布函数的性质二、分布函数的性质, 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx几何说明几何说明,越越来来越越小小时时当当 x,的的值值也也越越来来越越小小xXP 有有时时因因而而当当, x.),(, ,(,内内必必然然落落在在时时当当而而的的值值也也不不会会减减小小增增大大时时当当同同样样 XxxXxXPx. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以).(),()(lim)4(00

5、0 xxFxFxx即任一分布函数处处右连续即任一分布函数处处右连续. ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF 1x 2x 1p 2p 1重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ),(1)2(aFaXP )()() 4(aFbFbXaP .bXPaXP )3(aXPaXPaXP )0()( aFaF三、例题讲解三、例题讲解的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量 XXkp321 412141.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函数的分布函数求求例例1 1解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且处概率不为处概率不为仅在

6、仅在由于由于X 123pk1/41/21/4 . 3 , 132 ,2121 ,1, 1 , 0)(xxxPxPxxPxxF . 3 , 132 , 4/321 , 4/1, 1 , 0 xxxx于是于是 )21(21FXP . 3 , 132 , 4/321 , 4/1, 1 , 0)(xxxxxF,41 )23()25(2523FFXP ,21 2)2()3(32 XPFFXP.43 请同学们思考请同学们思考不同的随机变量不同的随机变量, ,它们的分布函数一定也不相同吗它们的分布函数一定也不相同吗? ?答答不一定不一定. . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函数函数但它们却

7、有相同的分布但它们却有相同的分布同的随机变量同的随机变量是两个不是两个不则不同则不同在样本空间上的对应法在样本空间上的对应法与与,21XX ., 1;, 1., 1;, 121出出反反面面出出正正面面出出反反面面出出正正面面XX例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币, 令令 xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数分布律分布律kkxXPp 离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系 离散型随机变量的分布函数的图形是阶梯曲离散型随机变量的分布函数的图形是阶梯曲线。它在线。它在X的一切有概率指正概率的点的一切有概率指正概率的点 xk 都有一个跳跃，其跃度为都有一个跳跃，其跃度为

8、 X 取值取值 xk 的概率的概率 pk 。例例2 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m2m的圆盘的圆盘, ,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, ,并设射击都能中靶并设射击都能中靶, ,以以X X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离. .试求随机变量试求随机变量 X X 的分布函数的分布函数. .解解,0时时当当 x,是是不不可可能能事事件件xXP ,20时时当当 x.,02是常数是常数kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因因而而; 0)( xXPxF于于是是于是于是)(xXPxF ,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线 ., 0, 20,2)(其