向量及其运算2.2向量的线性关系分析

1、华南农业大学理学院应用数学系多媒体教学课件多媒体教学课件第二章第二章 向量与线性方程组向量与线性方程组 2.1 2.1 向量及其运算向量及其运算2.22.2向量的线性关系向量的线性关系2.32.3向量组与矩阵的秩向量组与矩阵的秩2.4 2.4 齐次线性方程组齐次线性方程组2.5 2.5 非齐次线性方程组非齐次线性方程组消元法解线性方程组的三种同解变形消元法解线性方程组的三种同解变形 ，用矩阵的初等行，用矩阵的初等行变换表示了用消元法解线性方程组的过程。变换表示了用消元法解线性方程组的过程。n 个未知量个未知量n个方程的线性方程组，引进行列式的概念，若个方程的线性方程组，引进行列式的概念，若系数

2、行列式的值不等于系数行列式的值不等于0，那么可由克拉默法则表示出它的唯，那么可由克拉默法则表示出它的唯一解。同时，这类方程也可以表示为矩阵方程，用求逆矩阵的一解。同时，这类方程也可以表示为矩阵方程，用求逆矩阵的方法也能够表示出它的唯一解。方法也能够表示出它的唯一解。当方程组的系数行列式等于当方程组的系数行列式等于0，或者方程的个数少于未知量，或者方程的个数少于未知量的个数时，的个数时，求逆矩阵求逆矩阵和和克拉默法则克拉默法则的这两种方法都失效了。的这两种方法都失效了。此时，是否有解？如果有，有几个？不止一个时，解与解之此时，是否有解？如果有，有几个？不止一个时，解与解之间是什么联系？间是什么联

3、系？2.1 向量及其运算向量及其运算 引例引例 一个方程对应一组数一个方程对应一组数1 12212,nnna xa xa xba aa b矩阵的一行对应一组数矩阵的一行对应一组数线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。定义定义2.1由由n个数个数12,na aa组成的组成的有序数组有序数组12(,)na aa称为一个称为一个 n 维行向量维行向量，记作，记作12(,)na aa，其中，其中称为向量称为向量ia的第的第i个个分量分量（或（或坐标坐标）。）。如果将有序数组写成一列的形式，则称向量如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。

4、为列向量。12naaa实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。几个概念几个概念1、同维向量同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。：分量个数相等的向量称为同维向量。2、相等向量相等向量：如果向量：如果向量 与与 是同维向量，而且对应是同维向量，而且对应 的分量相等，则称向量的分量相等，则称向量 与与 相等。相等。3、零向量零向量：分量都是：分量都是0的向量称为零向量，记作的向量称为零向量，记作O。4、负向量负向量：称向量：称向量 为向量为向量 的负向量，记作的负向量，记作 。12,naaa12,na aa12,n 5、向量组向量

5、组：如果：如果n个向量个向量 是同维向量，则称为是同维向量，则称为 向量组向量组 12,n 向量的线性运算向量的线性运算1、向量的加减法、向量的加减法，称向量，称向量设设1212, , =,nna aab bb，则称向量，则称向量1122,nnab abab为向量为向量 与向量与向量 的的和向和向量量，记作，记作1122,nnab abab为向量为向量 与向量与向量 的的差向量差向量，记作，记作 。2、数乘向量、数乘向量向量的加、减、数乘运算称为向量的向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算线性运算。12(,), ,na aaR设向量设向量则称向量则称向量12(,)naaa为数为数 与向量与向

6、量 的数乘向量，记作的数乘向量，记作 向量线性运算的运算律向量线性运算的运算律1 （）交换律交换律结合律结合律分配律分配律2 （ ） （）（）(4) ()O O（3）(8) () (5) 1(6) ()()() (7) （）=例例1 210 11334 设向量（ ， ， ） ， （， ， ），求 343 2104113 63 04 412 10712 ， ， ， ， ， ，解解 练习练习：已知：已知 ，求，求 3,5,7,9 ,1,5,2,0 , 解解 4,0, 5, 9 11 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba

7、xa xa xb（1） 12 (1,2, )jjjmjaajna1122nnxxxb则方程组有则方程组有向量形式向量形式 线性方程组的向量表达式线性方程组的向量表达式 若记若记 线性方程组线性方程组 j即为系数矩阵的第即为系数矩阵的第 列列 j2.2 向量的线性关系向量的线性关系解解 设设1122kk则则121122122512382613kkkkkkkk所以所以122 定义定义2.4 设有同维向量设有同维向量 ，如果存在，如果存在一组数一组数 ，使得，使得 成立，成立，则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示，或称向量，或称向量 是向量组是向量组 的的线性组合线性组合。12,

8、n 12,nk kk1122nnkkk12,n 12,n 例例212121（， ， ），（2,3,6）, =（5,8,13），设设判断向量判断向量 能否由向量组能否由向量组 线性表示？如果可以，求出线性表示？如果可以，求出表达式。表达式。12，1122nnxxx小结：小结： 可由向量组可由向量组线性表示线性表示 线性方程组线性方程组 有解有解12n， ， 定义定义2.5显然：含有零向量的向量组是线性相关的。显然：含有零向量的向量组是线性相关的。因为因为121000nOO 12n， ，12,nk kk1122nnkkko12n， ，设有向量组设有向量组 ，如果存在一组，如果存在一组不全为零的数不

9、全为零的数 ，使得，使得 成立，则称成立，则称向量组向量组 线性相关线性相关，否则，称向量组，否则，称向量组 线性无关线性无关。即当且仅当。即当且仅当 全为零时全为零时， 才成立，则称向量组才成立，则称向量组 线性无关线性无关。12n， ，1122nnkkkO12n， ，12,nk kk两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。 1210 0001000 0 0n， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1证明证明例例3证明下列向量组线性无关。证明下列向量组线性无关。 1 122nnkkko设设 120 00nkkk（ ， ， ， ）（ ，

10、 ， ， ）则则 12 0nkkk所以所以 12n， ， ，所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。 12n， ， ，称向量组称向量组 为为n维向量空间维向量空间的的单位坐标向量组单位坐标向量组。 任何一个任何一个n维向量维向量 都可由向量组都可由向量组 线性表示，线性表示，12,na aa12n， ， ，12naaa12n例例4 讨论向量组讨论向量组12112 210 2151， ， ， ， ， ， ，342 0 313110 41， ， ， ， ， ， ，的线性相关性的线性相关性解解 设设112233440kkkk则则134124123123412342020230254030kkkkk

11、kkkkkkkkkkkk利用矩阵的初等变换，可求得利用矩阵的初等变换，可求得12342, 1, 0kkkk 注：有无穷多组解注：有无穷多组解可见，向量组可见，向量组线性相关线性相关齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解12,n 11220nnxxx所以向量组所以向量组 线性相关。线性相关。 1234, 练习练习 判断向量组的线性相关性判断向量组的线性相关性 1232,1, 1, 1 ,0,3, 2,0 ,2,4, 3, 1 解解 设设 1122330kkk则有则有 13123123132203402300kkkkkkkkkk因为因为 1231,1,1kkk 是方程组的一组非零解是方程组的

12、一组非零解 所以所以 123, 线性相关线性相关证明证明例例5 已知向量组已知向量组 线性无关，证明：向量组线性无关，证明：向量组 线性无关。线性无关。123，122331，1122233310kkk设设 1311222330kkkkkk（）（）（）则则 123，因为因为 线性无关线性无关 323000kkkkkk112所以有所以有 230kkk1解得解得 122331，所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。 例例6 设设123, 线性无关，又线性无关，又312323，试证明，试证明123, 线性相关线性相关11232232,证明证明 设设1122330kkk则有则/p>

13、(2)()(23)0kkkkkkkk 因为因为123, 线性无关线性无关 所以有所以有13123123200230kkkkkkkk由于由于1021110213所以所以123,k k k不全为零不全为零 所以所以123, 线性相关线性相关 事实上，可取事实上，可取 1232,1,1kkk 证明证明 因为向量组因为向量组12m， ，线性相关线性相关所以存在一组不全为零的数所以存在一组不全为零的数mkkk,21，使得，使得02211kkkkmm则则0k否则，若否则，若0k则由则由m,21线性无关，线性无关，可推得可推得021mkkk于是向量组于是向量组12m， ，线性无关线性无关这与已知矛盾，所以这

14、与已知矛盾，所以0k12m， ，定理定理2.1若向量组若向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 可由向量组可由向量组 线性表示，而且表示方法惟一。线性表示，而且表示方法惟一。12m， ，12m， ，于是于是11221()mmkkkk 假设另有表达式假设另有表达式1122mmlll则可得则可得121122()()()0mmmkkklllkkk由于由于m,21线性无关，线性无关，所以所以), 2 , 1( mikklii且表示方法唯一且表示方法唯一所以所以 可由向量组可由向量组 线性表示，线性表示，12m， ，所以所以 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表

15、示。12m， ，定理定理2.2 向量组向量组n,21线性相关线性相关的充分必要条件的充分必要条件 是该向量组中是该向量组中至少有一个至少有一个向量可由其余的向量组线性向量可由其余的向量组线性 表示。表示。证明证明 因为向量组因为向量组 n,21线性相关线性相关 所以存在不全为零的数所以存在不全为零的数12,nk kk使得使得 11220nnkkk不妨设不妨设10k 于是有于是有1223311()nnkkkk 反过来，若有反过来，若有23,n 1可由可由线性表示线性表示 12233mmlll则有则有223310mmlll所以所以n,21线性相关线性相关 例例7 设设21231,1,1 ,1,1,

16、1 ,1,1,1,1, , 试问试问为何值时，为何值时，可由可由123, 线性表示，且表示线性表示，且表示方法唯一？方法唯一？解解 设设112233xxx则有则有12312321231111xxxxxxxxx（*）因为因为可由可由123, 线性表示，且表示方法唯一线性表示，且表示方法唯一所以，方程组（所以，方程组（*）只有唯一的一组解）只有唯一的一组解所以有所以有1111110111解得解得03 且小结小结：齐次线性方程组齐次线性方程组11220nnxxx有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组11220nnxxx只有零解只有零解12,n 线性相关线性相关向量组向量组（1）向量组向量组12,n 线性无关线性无关（2）(3) 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示12,n 线性方程组线性方程组 有解有解1122nnxxx向量组的线性相关性的几个性质定理向量组的线性相关性的几个性质定理 1、单个非零向量是线性无关的。、单个非零向量是线性无关的。 2、两个向量线性相关两个向量线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是对应分