函数的凹凸性

1、函数的凹凸性专题、函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数yf(x)在区间I上连续，对则称yf(x)的图象是凹的，函数yf(x)为凹函数;2、凸函数定义：设函数yf(x)在区间I上连续，对x1x2、f(x1)f(x2)xi,x2I,若恒有f(-),22xix2、f(x1)f(x2)xi,x2I,若恒有f(),22则称yf(x)的图象是凸的，函数yf(x)为凸函数.二、凹凸函数图象的几何特征1、形状特征如图，设A,A2是凹函数yf(x)图象上两点，它们对应的横坐标七为3x2),则Ai(xi,f(x1)，A2(x2,f(x2),过点上广作x轴的垂线交函数图象于点A,交AA2于点B.凹函数的形状特征是

2、：其函数曲线任意两点A与A之间的部分位于弦A1A2的下方；凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点A与4之间的部分位于弦A1A2的上方.简记为：形状凹下凸上2、切线斜率特征凹函数的切线斜率特征是:切线的斜率k随x增大而增大即y_.f(x)的二阶导数f(x)0；凸函数的切线斜率特征是:切线的斜率k随x增大而减小即y_.f(x)的二阶导数f(x)0.简记为：斜率凹增凸减3、增量特征设函数g(x)为凹函数，函数f(x)为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量x依次增加一个单位增量xyi,y2,y3,越来越小.时，函数g(x)的相应增量y1，y2，y3，越来越大；函数f(x)的相应增量由此，对x的每一个单

3、位增量x,函数y的对应增量yi(i1,2,3,)凹函数的增量特征是：yi越来越大;凸函数的增量特征是：yi越来越小.三、常用的不等式2,2ab;21、二次函数f(x)x2中，(a-b)221,z2、反比例函数f(x)(x0)中,x3、指数函数f(x)xyax(aQa1)中，a4、对数函数f(x)logax(0a1)中，loglogaxlogay.5、对数函数f(x)logax(a1)中，logaylogaxlogay6、哥函数f(x)x3(x0)中，(ab)327、1哥函数f(x)x2中,8、正弦函数f(x)sinx(0)中,.ABsin2sinAsinB29、余弦函数f(x)cosx(0AB

4、cos2cosAcosB；10、正切函数f(x)tanx(0tanAtanB四、函数凹凸性在高考中的应用x1、(05湖北理6)在y2,ylog2x,yycos2x四个函数中，当0x1x21时,使得f(乜刈一fD恒成立的函数的个数是A、B、1C、2D、32、(06重庆理9)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成弓形面积的2倍,则函数yf(x)的图象是(r)杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的到右依次为几，h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是A、h2blh4B、工h2h3SC、h3h2h4D、h2h4%4、（98全国理10）问局为H

5、的水瓶中注水，注满为止，如果注水量所示，那么水瓶的形状是g（C）S一半.设剩余酒的高度从左（）v与水深h的函数关系的图象如卜图（）WAuH3、（07江西理8）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、车的速度曲线分别为V甲和V乙.（如图2所示）A、在ti时刻，甲车在乙车前面B、.那么对于图中给定的to和ti,下列判断中一定正确的是（）ti时刻后，甲车在乙车后面/已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶C、在to时刻，两车的位置相同D、to时刻后，6、（00江西埋7）若ab1,P8、(13新课标I文9)函数f(x)(1cosx)sinx在,上

6、的图象大致为为9、(16新课标7)函数y2x2J，在2,2的图象大10、(13江西理10)如图，半径为1的半圆O与正ABC夹在两平行直线li,12之间，lli,l与半圆相交于F,G两点，与ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0x),yEBBCCD,若l从l1平行移动到l2,则函数yf(x)的图象大致是()2,则ab的最大值为3.311、（17全国II理23）已知a0,b0,abb2的最小值为12、已知a0,b0,ab1,则a213、已知a0,bbn(ab)n2n1.（填，一）14、已知a0,b2,贝U5/a5b5Vb5c5Va5c5的最小值为15、在ABC中,sinAsinBsinC

7、的最大值为16、已知0,0,0,17、已知0,0,0,18、已知0,0,0,0,19、已知0,b1，的最小值为cd16,则1，一，下的最小值为c2,2abc2d2的最小值为12（b一）的最小值为b20、(10安徽文16)若a0,b0,ab2,则下列不等式对一切满足条件a,b恒成立的是11ab1；近而“2；ab2；ab3；一-2ab1 13.3一一.21、(14新课标理24)右a0,b0,且一一Jab.则ab的最小值.ab22、(15重庆文14)已知a0,b0,且ab5,则4丁飞的最大值为.23、(05全国卷理22)(1)设函数f(x)xlog2x(1x)log2(1x)(0x1),求f(x)的最小值；(2)设正数P1,P2,P3,p2n满足：P1P2P3p2n1.求证：P1log2P1P2log2P2P3