分块矩阵的应用论文

1、分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来

2、处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，一般来说，不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵,.、一一一AB其中A0,并且ACCA,则可求得ADBC;分块矩阵也可以在求解线性CD方程组应用.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从

3、而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利1分块矩阵的定义及相关运算性质1.1 分块矩阵的定义矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素（数）-样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.定义1设A是一个mn矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线条将它分成s块，于是有rs块的分块矩阵，即AA11.As,其中Aj表示的是一个矩阵1.2 分块矩阵的相关运算性质1.2.1 加法设Aa。Bbj,用同样的方法对A,B进行分块jmnjmnAAj,BBij,jrsjrs其中Aj,Bij的级数相同，则ABAiBjjjrs1.2.2 数乘设是任AajAj,k为任意数，定

4、义分块矩阵AAj与k的数乘为jmnjrsjrskAkAijjrs1.2.3 乘法设Aaj,Bbj分块为AAj,BBj,，其中Aj是s'矩阵，Bj是JsnJnmJrlJlrnimj矩阵，定义分块矩阵AAj一和3Bj1r的乘积为CijA1B1jA2B2.AB|j,i1,2.t;j1,2.3,.l.1.2.4 转置设Aa分块为aAj，定义分块矩阵AAj的转置为snrsrsAjisr1.2.5 分块矩阵的初等变换分块矩阵A的下列三种变换称为初等行变换:(1)对调A的两行(用n口表示对调i、j两行)；(2)用一个可逆阵K左乘A的某一行的所有子矩阵(用Kn表示用K左乘第i行)；(3)将A的某一行的

5、所有子矩阵左乘一个矩阵K再加到另一行的对应子矩阵上去(nKrj表示将第j行左乘K再加到第i行).将上述定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等列变换的定义，分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.2分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一，但通常所用的高等代数教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格，多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理2.1(3)若A为k阶方阵，B为r阶方阵，C为rk矩阵，则有在上述引理中，要求子块当中有一个为零矩阵更一般的

6、有如下的结论AB定理2.2(3)若n阶万阵P可分为Pc口其中A为r阶万阵，B为rnr矩阵，C为nrr矩阵，D为nr阶方阵，则有(1)当A为可逆矩时旧|a|dCA1B;(2)当D为可逆矩阵时|P|d|ABD1C.在进行行列式的求值运算时，若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法，就可应用定理的结论进行行列式的计算现举例说明如下:例2.3计算行列式Cobac1Pa0b.b0.0C3.0其中c10,i123.n.A(co),Bbb.b,Caac10.00c0D,G0,i1,2,n.00.Cn则D为可逆矩阵，由定理1的结论(2)知BD1c将及A,B,C,D代入得0iC2P(aab(c11iC2Cn1)

7、.例2.4矩阵Paja当|时，求行列式P的值.ijb当ij时解：行列式|P|的主对角线元素为a,其余元素为b,因止匕:(1)当ab时，由行列式的性质知P=0;(2)当ab时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得abba00abba.000bbb0000.abbaba由定理2.2可知abba00abba.000000000000B.,.abbao0abbaCbbb.b,Da,PADCA1B,1,ij,i>j计算结果得n1a+n1b.若定理中的矩阵A和D均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式d|aBD1C1ADCA1B进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论2.5若A,B,C,

8、D均为n阶方阵,且A可逆,ACCA,ADCB.例2.6计算行列式1110120112221351A解对T进行分块TC其中,B,C0251，D21显然A可逆，且ACCA,所以ADAD所以,3541010.定理2.7若A,B均为n阶方阵，则例2.8计算行列式1234234134124123其中所以解对矩阵T进行分块T2.2分块矩阵在解线性方程组中的应用1223,BBAB例2.9设n个未知数m个方程的线性方程组为a21X1a2X2.anXna22X2.a2nXn(20)bb28)160.(DamiXiam2X2.amnxnbm记Aaijmn,X=xl,X2,.,XnT（其中T表示矩阵的转置）Bbi,

9、b2,.bm则方程（1）的矩阵形式为AXB.把方程（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式AiA21A2A22AB2其中方程组a11a1ra1r1a1nA11.ar1ar11am1XiA12A11arrarnar1ramrX2A22Xrmaar1r1amr1，B2ar1namn(1)有解时,我们解方程组从而求出其解.定理2.10.设方程组（1）有解且r与AXB同解.XrXr22.bm1）时总是把（1）Arn,rA11，AA21A22TXn，化成简单的同解方程组,r,则方程组A1A2XB例2.11.已知方程组Xii2x12X13X22X23X24X31X322x33X342X413X423x43

10、X44(2)求此方程组的解并证明此方程组和方程组X11X222X12X23X13X24(3)解：令A1012211311230111(A1A2)其中A11A121210B110122113112301111210100021111111122210002100110001001200所以此方程组的齐次线性方程组的解为C13110C221013又2是方程组的一个特解,00所以此方程组的解为3231c2121200010C1由上可知r(A)2并且r(Ai)2,所以由定理3可证方程组(2)和(3)同解.2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理2.12.如果方阵AB,方阵CD,则B00D所以证明因为方阵A

11、B,方阵CD,E0X10A0X0E00Y10E0C0E0YX10A0X00Y10C0YX1AX00Y1CYB00D11E0X10E00Y10E0Y1X10X0E00E0E0Y所以A0B00C0D2.4 用分块矩阵证明矩阵秩的问题A0TE理2.13.设Mcb，A为mn矩阵，B为kl矩阵,A0则有rMrArB,且C0时，rMrrArBCB证明设A在初等变换下的标准形为Er0AD1,rrA,100又设B在初等变换下白标准形为D2Es0,srB,00那么，对M前m行前n列作初等变换，对它的后k行后l列也作初等变换可把M化为M1D1C10D2现在利用D1左上角的1经列初等变换消去g位置中的非零元；再用D

12、2左上角的1经行初等变换消去它上面g处的非零元素，于是把M1再化作Er000m2000C200Es00000则有rMrM1rM2srC2rrAr利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式例2.14.设A为mn矩阵,l矩阵，若AB0,rAn.证明因为所以rArBrAEn0EnABB0En0En00n例2.15.B都是n阶矩阵,求证:证明：因为ABABrBn.r(ABAABB)r(A)r(B).(1)(BE)(2)所以又"E都可逆,所以AB0，BABABAB所以r(ABrAB)r(A)r(B).2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应

13、用尤为广泛求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用定理2.16.对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B,使得ABBAI那么矩阵称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.若A,B都可逆，则A10A10A1CBB1A10B1CA1B1Ek0A1BEnk0D11EkCA10Enk其中D1DCA1B.以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用1一一，一，2例2.17.已知矩阵A002100001200±1，求人1.25解：可以将矩阵A分成四块A1001,其中AA22据分块矩阵的性质，A1A

14、100A21A,A?为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别所以A115252515，A1A11525002.6分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的容,特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性.而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.定理2.18.设A为n阶矩阵，是一个数，如方程AXX,存在非零解向量，则称为A的一个特征值，相应的非零解向量X称为与特征值对应的特征向量.定理2.19.设A为n阶矩阵，含有未知量的矩阵IA称为A的特征矩阵，其行列式|IA为的n次多项式，称为A的特征多项式|IA0称为A的

15、特征方程，是矩阵A的一个特征值，则一定是|IA0的根，因此又称为特征根.若是IA0的q重根，则称为A的n重特征值.引理2.20.设A为n阶矩阵，则A为幕等矩阵的充要条件rAErAn,这里E为n阶单位矩阵，rA表示A的秩.弓I理2.21.幕等矩阵A1A2*8与匕0或00相似其中rA.000Er例2.22.设A,A,&均为n阶方阵，且AAA2,rAr,rAni1,2,求证：若A2A,rr1匕，则A,A,Az的特征值为1或0,且1的个数和它们的秩相等.证明：(1)当A可逆时，即rAn,因为A2A,所以AE,由已知得rArA2n,由引理2.20得到A2A.同理A2A2,所以A,A2是幕等矩阵，

16、由引理2.21得Er0A0A，A?八000A,A,4和E,Er000有相同的特征根,0Er所以A,A,A2的特征值为1或0,且特征值1的个数和它们的秩相等.(2)当rA0时，即A0结论显然成立这里所以从而(3)设0rn,即A为非零由布可逆矩阵，又因为A2A,故存在可逆矩阵P使P1APP1APr=rA1r=rA1P1APP1A2P,Er0AjB11B11A1A21A2A22B11B21B12B221A2PA11BijErA1B11,rBnrB11B1又因为从而这样ErA11B11rA11B111QAnQ=rArA10,rA2B11rA1rA11，rA2B11,由定理2.18的证明可知,0,存在可

17、逆矩阵Q,使Err101QB11Q二0，EEr0Q100En-rP%P0En-r0En-rP1A2PQ00En-r0En-r“1QA11A12A21A22Q1A2Q100En-rA21QA22Q1BnQB21QQ101B120En-rB11B21B12B22Q100En-r设又因为r设同上可得从而A22故有TQ41QQA21QA221A12Er0G110G12C11C21，A22Er0G11Z110,1ATG12C11C21A22r1，所以G2101Q1B11QB21Q0,0,W10，故C11Q"1Q同理Err10Q1B12B220,Gn1A12A21QA221B11QB21QqaB

18、22W；10,W210Er20Err20,T1ATErr100EqM乙2B220,乙2Er1000A220En0Err20综上所述，结论成立.小结本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的叙述充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的叙述中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.参考文献1蓝以中.高等代数简明教程M.:大学，2007:141-149.2杜之，丽，吴曦.线性