六年级上册数学试题奥数系列_第18讲：最佳策略问题全国通用含解析

1、第18讲最佳策略问题知识网络在日常生活中，竞赛或争斗性质的现象随处可见，小到下棋、做游戏，大到体育比赛、军事较量等，人们在竞赛或争斗中总是希望自己或自己的一方能够获取胜利或获得最好的结果，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，即分析对方可能采取的计划，有针对性地制定自己的克敌计划。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最后的胜利。这种现象我们称之为“对策现象”。重点难点如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析。一般来说，“对策现象”有三个基本要素：(1)局中人，即在一场竞赛或争斗中的加者，他们为了在对策中取得最后的胜利，必须制定观对付对方的行动计划。局中人并不特指某一个人，而是指参

2、加竞赛的各个阵营。(2)策略，是指某一个局中人的一个“自始至终贯彻”的可执行方案，在一局对策中，各具局中人可以有一个策略，也可以有多种策略。(3)得失，在局对策中，肯定会有胜利者和失败者，竞赛的成绩也会有好有差，我们称之为得失。每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系。学法指导解决策略问题的关键是怎样寻找胜局如何把握胜局。这可以结合前面几讲中的“带余除法和同余”、“最大与最小”等来进行分析。经典例题例1有一堆棋子共有2002粒，甲、乙两人玩轮流取棋子的游戏。甲先取乙后取，并且规定每次取的棋子不能超过7粒，但不能不取。如果规定取到最后一粒棋子的人为胜者，那么甲应如

3、何制定策略以取胜？思路剖析甲为了能取到最后一粒棋子，必须使得当他取到倒数第二轮时，还有8粒棋子。因为此时轮到乙来取，乙最少要取1粒，最多只能取7粒，因此无论乙取几粒，甲都可以将剩下的棋子一次取净，从而保证必胜。可见，“8”是个关键数字，一开始甲取的棋子数，应该保证余下的棋子数是8的倍数。往后的每一轮，不管乙取多少粒(1至7粒)，甲总可以使自己所取的棋子数和乙所取棋子数和为8,从而将主动权控制在自己手中。这样到了最后一轮，只剩下8粒棋子，迫使乙败，从而甲取胜。解答由于2002-8=250-2,所以一开始甲先取2粒棋子，以后的每一轮，乙如果取a(1<aW7)料棋子，甲就取(8-a)粒，从而到

4、最后一轮前，只剩下8粒棋子，而轮到乙取，无论乙取几粒棋子，甲都可以将剩下的棋子一次取完，从而获得胜利。例2某学校资金存款的年利息为10%,积压资金100元，相当于损失了10元。现在学校决定在初秋时购买冬季取暖用的煤。根据以往经验，在正常的冬季气温下要消耗煤15吨，但如果冬季比较暖和，只要用煤10吨；若冬季比较寒冷，就要用煤20吨。而煤的价格是根据天气的寒冷程度而变化的，在比较暖和、正常和寒冷的天气下，每吨煤的价钱分别是100元，150元，200元，而在初秋时每吨煤100元，在没有当年冬季气温的长期预测下，该校在初秋时应购进多少吨煤最好？思路剖析注意到在初秋时若少买了煤在冬天要花更多的钱去买煤，

5、而买多了煤，则烧不完有积压资金，会造成损失。因而买多少煤是一个策略问题。根据题意，学校现在有三个策略：购买10吨、15吨、20吨。我们比较这三具策略，选择出最佳策略。解答（1）如果学校在初秋时购买了10吨煤，则当天天气正常时要再购进5吨煤，总共花费了100X10+150X5=1750（元）；当天气车寒时要再购进10吨煤，总共花费了100X10+200x10=3000（元）。（2）如果学校在初秋时购买了15吨煤，则当天天气转暖时，积压资金为5吨煤的钱100X5=500（元），而当天气转寒的时候，需要再购进5吨煤，共花费100X15+200X5=2500（元）。（3）如果学校在初秋时购买了20吨煤

6、，则当天气正常时积压资金为100X5=500（元）；天气转暖时积压资金为：100X10=1000（元）。比较上面三种策略，第一种策略的最大损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（200100）X10=100X10=1000（元）。第二种策略最大的损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（150100）X5=50X5=250（元）。第三种策略最大的损失是在天气转暖的时候，此时积压资金为1000元，而学校资金存款的年利息为10%,相当于损失了2年的利息，即损失了1000X10%X2=200（元）。比较上面三种策略，最佳策略是花2000元购进20吨的煤，此时可能的损失最小。例3用一只平底锅

7、煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）。那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n>2）只饼至少要几分钟？思路剖析煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略。解答煎三只饼至少需要三分钟。因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只。又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了煎n只饼，需要n分钟。因为，当n是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地

8、煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了。例4两个人轮流在国际象棋盘的空格内放入“相”棋（国际象棋盘为8X8的方格棋盘，共有64个格，“相”是国际象棋中的一种棋子，它的走法是沿斜线方向，格数不限，并且在它的行走路线上可攻击其他棋）。一方持黑棋，另一方持白棋。当任何一方放入“相”棋时，要保证不被对方已放入的“相”棋的攻击。谁先无法放入棋子者为输。请问：先放入棋子者是赢是输？思路剖析由“相”棋的特点，每一“相”棋在棋盘上可以控制两条斜路，如图1所示，凡落入这两条斜路上的棋都要受到攻击。双方在放“相”棋时必须避开对方盘的“轴对称性”，我们可以判断，只要后放入者有合适的策略，必定能够取胜。解答如

9、右图所示，在棋盘上建立一条对称轴(黑粗实线)，无论先放棋子的人将棋子放在什么位置，后放棋子的人都可以将棋子放在其对称的位置上，并且不被攻击，这样就能保证：(1)只要先放棋子的人能够在棋盘上放入棋子，后放入棋子的人就一定可以在棋盘上放入棋子。(2)后放入的棋子与先放入的棋子在一条水平线上，所以不会受到先放入棋子在一条水平线上，所以不会受到先放入的棋子的攻击。如此摆放下去，必定是先放入棋子的人找不到放棋的位置，从而认输。二一图2例5这是两人竞赛。方法是：在如图3所示的井字方格内填写符号，先填一方画后填一方画“X”谁能够先使三个或三个“X”排在一条直线上(水平或竖直或成45度角的直线)，谁就获胜。那

10、么，为了取胜，第一个应画在哪里？相应地，第一个“X”又应画在哪里？试分析胜负的情况如何？思路剖析我们来看这九个格子所经过的直线的总数：中心一格一一4条；角上一项一一3条；边上一格一一2条。为了能尽快连成一条直线，先填者必须选择所经过的直线的总数最多的格数，而后填者也要尽量选择所经过的直线总数最多的格数。解答第一个应该画在正中的位置，第一个“X”应该画在角上。但是一般情况下，如果双方都掌握了其中的奥秘，此竞赛便成了和局。不过，一般先填的一方稍占优势，后填都有稍有不慎便有可能落败。而若先填的乱填一通，后填的一方又掌握其中的奥秘，便有可能乘机取胜。例6某加油站每次只能对一辆车进行加油。加满一辆大卡车

11、的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟。现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油。问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间(包括加油及等候的时间)最省？思路剖析由于这个加油站一次只能对一辆车进行加油，因此当三辆车一起来的时候，就会发生两辆车要等候的情况。由于各辆车加油的时间是固定的，因此要尽量节省时间，只有尽量减少等候的时间。如果安排大卡车先加油，那未其他两辆车都必须等候7分钟；而如果安排小汽车先加油，那未其他两辆车都只须等4分钟。显然，小汽车先加油可节省等候时间。同样道理，第二辆加油的应该是三轮卡车，最后才给大卡车加

12、油。解答为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车，这是最佳的策略。当小汽车加油时，其他两辆车各等候4分钟，当三轮卡车加油时，大卡车等候5分钟；直到大卡车加完油，总共用时间为4+(4+5)+(4+5+7)=4+9+16=29(分钟)。答：最节省的时间是29分钟。例7三堆火柴分别有2001根、2002根、2003根。甲、乙两人轮流从中取出火柴。规则是：每人每次只能人其中的一堆中去取，最少要取一根，最多可全部取走，呆以任意选择，谁取完最后一堆的最后一根谁就获胜。如果甲先取，要保证获胜，他应该制定怎样的策略？思路剖析我们首先来看两种特殊的情况：(1)只有两堆火柴若两堆火柴数目相

13、同，那么谁先拿谁就输。因为先拿火柴的人无论选择哪一堆拿走多少根，对方只需要在另一堆拿走相同数量的火柴，总使剩下的两堆火柴的数目一样，最终迫使先拿火柴的人拿光其中的一堆火柴，而他自己就拿光另一堆火柴，即他可以拿到最后一根火柴。若两堆火柴的数目不同，那么谁先拿就谁赢。先拿火柴的人只要将较多的一堆火柴中拿走比另一堆多出的火柴，使剩下的两堆火柴数目相同，即将问题转化为的情形，从而他取胜。(2)假设三堆火柴的数目分别为1根、2根、3根，这种情形下谁先拿谁就输。因为无论先拿的人如何取火柴，对方都可使之变为上面的情形。这种情形我们称之为“必输形”。必输形的特点是：两堆为奇数，一堆为偶数，并且一堆奇数与一堆偶

14、数的和为另一堆奇数。现在回到原题上来，先取的甲要想办法使这三堆火柴形成“必输形”，这样形成之后轮到乙取了，从而甲有必胜的把握。解答甲先从2001根的那一堆中取走2000根，这样剩下的三堆分别为：1根、2002根、2003根，这是个必输形（两奇一偶并且1+2002=2003）。这样不论后拿人如何拿火柴，必定破坏了必输形的特征，再轮到甲时，甲可以再制造出新的“必输形”，直到出现“1,2,3”情形，从而取得胜利。例8有m个减号“”号排成一行，甲、乙两人轮流将减号“”改成加号“+”，每次只能改其中的一个或者是相邻的两个，但不能不改，谁将最后剩下的减号“一”改为加号“+”谁就获胜。如果甲先改，请问甲是否

15、有必胜的策略？思路剖析我们先从简单的情况入手来寻找获胜的策略。若m=1,甲必胜；若m=2时，甲可以改相邻的两个减号“”，也必胜；若m=3,甲可以改第2个减号“”为“+”，这时剩下的两上减号“一”不相邻且关于加号“+”对称，无率乙改哪一个，甲可以改最后一个，甲必胜；若m=4,甲可以改2、3个关于中间的两个加号“+”对称，无论乙如何改，甲都必胜。依此类推，甲有必胜的策略。解答甲可以制定下面的策略，从而稳操胜券。当m是奇数时，甲先将中间的一个“一”改为加号“+”，并以此为对称中心，以后无论乙将哪一侧的一个或相邻的两个减号“一”改为“+”，甲都可以将另一侧与乙所改的一个或相邻的两个对称的减号”改为加号

16、“+”，从而甲必定是最后将减号”改为加+”，并以此为对+”，甲都可以选号“+”的人；当m是偶数时，甲先将中间的两个减号“一”改为加号“称中心，以后无论乙在哪一侧将一个或相邻的两上减号”改为加号“择在另一侧与乙所改的对称的减号“一”改为加号“+”，从而甲必胜。点津策略是有许多种的，但是最佳策略只有一个，在解题中，有针对地利用前面所掌握的一些基本知识来解题。有一些基本方法，如对称法是在最佳策略中有很好的应用，比如例题4和例题8。同时，对一些难以入手的问题，不妨从比较简单的问题来着手，从而观察到其中的规律，利用规律解题，不妨从比较简单的问题来着手，从而观察到其中的规律，利用规律解题。解题时注意：你所

17、选择的策略是不是最佳的，是不是对本方最为有利的，这可以通过和别的策略相互比较来评定优劣。发散思维训练1 .甲、乙两个人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数，但不能不报。例如，甲报1,乙就接着报2或2、3;而甲也可以报1、2,乙接着报3或3、4。这样连续报下去，谁报出100,谁就获胜。甲要怎样才能获胜？先报还是后报？2 .在黑板上写下数1,2,3,4,，100,101,甲先擦掉其中的一个数，然后乙再擦去一个数。如此轮流下去，直到最后只剩下两个数为止，若最后剩下的两个数互素，则甲胜；若最后剩下的两个数不互素，则乙胜。按此规则，请为甲制定一个必胜策略。3 .有2002个空格排成一行，第一

18、格中放入一枚棋子，每次可向前移动3格或6格，由甲乙两人交替走，以先到最后一格者为胜，问先走胜还是后走胜？如何取胜？4 .车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟。每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失。如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？5 .有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升。如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车。6 .社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤。制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤。假如甲

19、种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？镭“比柞证后再有誓息!弓参考答案发散思维训练1 .解：甲必须先报数，并且先报1;以后乙若报1个数，则甲就报2个数，乙若报2个数，甲就报1个数，依次类推，当甲报数“97”后，无论乙如何报数，甲都可以报到数“100”。2 .解：相邻的两个自然数是互素的，只要利用这一基本知识，甲就能够获胜。首先，甲可以擦去1,这时还有100个数，我们把它们分成50组：(2,3),(4,5),(6,7),，(98,99),(100,101);这样，无论乙擦去哪一个数，甲都可以擦去与此数同一组的另一个数，依此下去，最后剩下的将是相邻的两个自然数。由于相邻的两个自然数是互素的，所以甲必然获胜。3 .解：先走者胜。如甲先走，他可以把棋子向前移动3格。以