信息学科立体化教材

1、2022-4-27信息学科立体化教材1第4章 离散傅里叶变换 4.1 傅里叶变换的几种形式4.2 周期序列的离散傅里叶级数及性质4.3 离散傅里叶变换及性质4.4 频率抽样理论2022-4-27信息学科立体化教材24.1 傅里叶变换的几种形式 傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频率函数(频谱)”之间的某种变换关系。所以，当自变量“时间”或“频率”取连续值还是离散值，就形成各种不同形式的傅里叶变换对。在深入讨论离散傅里叶变换DFT之前，先概述四种不同形式的傅里叶变换对。 时间时间 频率频率连续连续 FT 连续连续 DTFT FS离散离散 DFS(DFT) 离散离散20

2、22-4-27信息学科立体化教材34.1 傅里叶变换的几种形式1.连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换(FT) 一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换，即频谱Xa(j)是一个连续的非周期函数。在“信号与系统”课程的内容中，已知这一变换对为 可以看出，时域连续函数造成非周期的频谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。 dejXtxdtetxjXtjaatjaa)(21)()()(2022-4-27信息学科立体化教材44.1 傅里叶变换的几种形式2.连续时间、离散频率傅里叶级数(FS) 一个周期性连续时间信号xp(t)，其周期为Tp，该信号可展成傅里叶级数，其傅里

3、叶级数的系数为X p(jk)，即x p(t)的傅里叶变换或频谱Xp (jk)是由各次谐波分量组成的，并且是非周期离散频率函数。这一变换对为 式中，=2F=2/Tp，为离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔，k为谱谐波序号。可见，时域连续函数造成频域非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应。ktjkpTTtikpPpejkXtxdtetxTjkX)()()(1)(22002022-4-27信息学科立体化教材54.1 傅里叶变换的几种形式3.离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(DTFT) 在第3章里讨论了一个非周期连续时间信号xa (t)经过等间

4、隔抽样的信号（x(nT)），即离散时间信号序列x(n)，其傅里叶变换是以2为周期的连续函数。它们的变换关系为 这里的是数字频率，它和模拟角频率的关系为=T。若振幅特性的频率轴用表示，则周期为s=2/T。同样可以看出，时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续，这在第3章中讨论过。deeXnxenxeXnjjnnjj)(21)()()(2022-4-27信息学科立体化教材64.1 傅里叶变换的几种形式4.离散时间、离散频率离散时间、离散频率 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(级数）级数）(DFT orDFS) 从以上讨论可发现：如果信号频域是离散的，表现为周期性的时间函数。相反，

5、在时域上是离散的， 则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。这三种傅里叶变换至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的，因而都不适合在计算机上运算。同时，不难设想，一个离散周期序列，它一定具有既是周期又是离散的频谱，这正是我们所期望的时域及频域都是离散的情况，适合于进行数字计算，便于计算机处理，也就是即将要研究的离散傅里叶变换。对它的全面讨论将在后面内容进行。2022-4-27信息学科立体化教材74.1 傅里叶变换的几种形式 从以上简单讨论，可以总结得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表4-1对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。表4

6、-1 四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散2022-4-27信息学科立体化教材8图 4-1 各种形式的傅里叶变换 xa(t)txp(t)ootTpx(nT)oN点xp(n)oN点nTn(a)(b)(c)(d)|Xa( j)|10o0|Xp( jk)|ok|X( ej)|1/T|X( ejk)|sooN点sT4.1 傅里叶变换的几种形式2022-4-27信息学科立体化教材94.2 周期序列的离散傅里叶级数及性质 4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 4.2.2 离散傅里叶级数（DFS）的性质20

7、22-4-27信息学科立体化教材104.2.1 周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 设 是一个周期为N的周期序列，即 ， r为任意整数。正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数序列的频率是周期序列的基频（2/N）的整数倍。这些复指数序ek(n)的形式为 )()(rNnxnx)(nx)()(2neenerNkknNjkktjkpTTtikpPpejkXtxdtetxTjkX)()()(1)(2200连续连续FS2022-4-27信息学科立体化教材114.2.1 周期序列的离散傅里叶

8、级数(DFS) 因而可展成如下的离散傅里叶级数，即 （48） 式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数，是k次谐波的系数。 下面我们来求解系数 ，这要利用复正弦序列的正交特性，即 将式（48）两端同乘以 ，然后从n=0 到N1 的一个周期内求和，则得到 102)(1)(NkknNjekXNnx)(kX01111122102rNjrNNjNnrnNjeeNeNr=mN, m为整数 其他r rnNje22022-4-27信息学科立体化教材124.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)把r换成k可得 这就是求k=0 到N1的N个谐波系数的公式。同时看出也是一个

9、以N为周期的周期序列，即 )(1)()(1)(10)(210)(21010102rXeNkXekXNenxNnnrkNjNknrkNjNkNnNnrnNj102)()(NnknNjenxkX)()()()(21010)(2kXenxenxmNkXknNjNnNnnmNkNj2022-4-27信息学科立体化教材134.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)定义WN为 周期序列的傅里叶级数（DFS）变换对为式中，n和k都是离散变量。如果将n当作时间变量，k当作频率变量，则DFS表示时域到频域的离散傅里叶级数正变换， IDFS表示由频域道时域的离散傅里叶级数反变换。从上面

10、看出，只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道了。 所以，这种无限长周期序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息。 NjNeW2nkNNknkNjNknkNNnnkNjNnWkXNekXNkXIDFSnxWnxenxnxDFSkX)(1)(1)()()()()()(1021010210(4-12)(4-13)2022-4-27信息学科立体化教材14例例4-1 设 为周期脉冲串)(nx)()(rNnnxr（4-14） 因为对于0nN-1，, 所以利用式（4-6）求出 的DFS系数为 )()(nnx)(nx1)()()(1010nkNNnnkNNnWnWnxkX（4-15） 在这种情况

11、下，对于所有的k值 均相同。于是，将式（4-15）代入式（4-13）可以得出表示式 )(kX1021011)()(NknkNjnkNNkreNWNrNnnx（4-16） 4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)2022-4-27信息学科立体化教材15 例例4-2 已知周期序列 如图4-2所示，其周期N=10, 试求解它的傅里叶级数系数 。 )(kX)(kX图4-2 例4-2的周期序列 （周期N=10） )(nx 100 1 2 3 4 5 6 7 8 910n)(nx4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)2022-4-27信息学科立

12、体化教材16由式（4-12） 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（4-17） 这一有限求和有闭合形式 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（4-18） 图 4-3 图4-2所示序列的傅里叶级数系数 的幅值 )(kX 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101520k| )(|kx54.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)2022-4-27信息学科立体化教材17 式（4-12）中的周期序列 可看成是对 的第一个周期x(n)作Z变换，然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2/N采样而得到的。令 )(kX)(nx0)()(

13、)()(nxnRnxnxN0nN-1 其他n 通常称x(n)为 的主值区序列，则x(n)的Z变换为 )(nx10)()()(NnnnnznxznxzX（4-19） 4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)2022-4-27信息学科立体化教材18把式（4-19）与式（4-12）比较可知 kKGNjkNeWzzXkX4*2)()(（4-20） 可以看出，当0kN-1 时， 是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变化， 的值呈周期变化。 图4-4画出了这些特点。 )(kX)(kX4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(D

14、FS)2022-4-27信息学科立体化教材19jImz 234567(=N-1)k =02 / NRez o|z |=114.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)图44 )(kX图44 是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔角点抽样示意图)(kX2022-4-27信息学科立体化教材20 由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换，所以周期序列 也可以解释为的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。 因为 )(kX)(nx1010)()()(NnnjNnnjjenxenxeX（4-21） 比较式（4-21）和式（4-12），可以看出 NkjeXkX/2)()(这相

15、当于以2/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。 （4-22） 4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)2022-4-27信息学科立体化教材21 例例4-3 为了举例说明傅里叶级数系数 和周期信号 的一个周期的傅里叶变换之间的关系，我们再次研究图4-2所示的序列 。 在序列 的一个周期中： )(kX)(nx)(nx)(nx01)(nx0n4 其他 （4-23） 则 的一个周期的傅里叶变换是 )(nx)2/5sin()2/5sin(11)(2405jnjjnjjeeeeeX)10/sin()10/5sin()()(10410/2kkeeXkXkjkj（4-24） 可以证

16、明，若将=2k/10 代入式（4-18）， 即 4.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)2022-4-27信息学科立体化教材22图 4-5 对图4-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值 |X(ej)|5o2344.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)2022-4-27信息学科立体化教材23图 4-6 图4-3和图4-5的重叠图(它表明一个周期序列的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的采样) |X(ej)| , | X(k)|o2341020k504.2.1 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数(DFS)2022-4-2

17、7信息学科立体化教材24 由于可以用采样变换来解释DFS，因此它的许多性质与变换性质非常相似。但是，由于 和 两者都具有周期性， 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换表示所不具有的。 设 和皆是周期为N的周期序列，它们各自的DFS分别为： )(nx)(kX)(1nx)(2nx)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材251. 线性线性 )()()()(2121kXbkXanxbnxaDFS（4-25） 式中，a和b为任意常

18、数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。这一性质可由DFS定义直接证明，留给读者自己去做。 4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材262. 序列的移位序列的移位 )()()()()(2lkXnxWDFSkXekXWmnxDFSnlNmkNjmkN（4-26） （4-27a） 或)()()(2nxenxWlkXIDFSnlNjnlN证 （4-27b） mkNkiNmNminkNNnWWixWmnxmnxDFS110)()()(i=n+m 4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教

19、材27由于 都是以N为周期的周期函数， 故 kiNWix及)()()()(10kXWWixWmnxDFSmkNkiNNimkN 由于 与 的对称特点，可以用相似的方法证明式（4-27a）： )(nx)(kX)()()()()(1010lkXWnxWnxWnxWDFSnklNNnknNNinlNnlN4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材283. 周期卷积周期卷积 如果 )()()(21kXkXkY则 ）（mnxmxkYIDFSnyNm2101)()()(或 ）（mnxmxnyNm1102)()(证证 knNNkWkXkXNkXkXID

20、FSny）（210121)(1)()()(代入 mkNNmWmxnX1011)()(4-28)4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材29得 )()(1)()(1)(2101)(210101)(210101mnxmxWkXNmxWkXmxNnyNmkmnNNkNmkmnNNkNm）（）（将变量进行简单换元，即可得等价的表示式 ）（mnxmxnyNm1102)()(4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材30 式（4-28）是一个卷积公式， 但是它与非周期序列的线性卷积不同。 首先

21、， 和（或 和 都是变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周期为N的周期序列; 其次，求和只在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。 )(1mx)(2mnx)(2mx)(1mnx4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材31 周期卷积的过程可以用图4-7来说明，这是一个N=7的周期卷积。每一个周期里 有一个宽度为4的矩形脉冲， 有一个宽度为3的矩形脉冲，图中画出了对应于n=0, 1, 2 时的 。 周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-1区间内进行， 即在一

22、个周期内将与 逐点相乘后求和，先计算出n=0, 1, , N-1的结果，然后将所得结果周期延拓，就得到所求的整个周期序列 。 )(1nx)(2nx)(2mnx)(2mnx)(1mx)(ny4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材32图 4-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积 n0n(a)(c)(1mxm)(1nx NN)(2nx10 NN0N 1(d)4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材33图 4-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积 (d)(e)mn 1N10)1 (2m

23、x)0(2mxN10mn 04.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材34图 4-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积 ( f )( g ) N0Nn)(ny1123 320)2(2mxmn 2N14.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材35 由于DFS和IDFS变换的对称性，可以证明（请读者自己证明）时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即，如果 )()()(21nxnxny则 )()(1)()(1)()()(1102210110lkXlXNlkXlXNWnynyDFS

24、kYNlNlNnnkN (4-29) 4.2.2 离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)的性质的性质2022-4-27信息学科立体化教材364.3.1 离散傅里叶变换（DFT）的定义4.3.2 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系4.3.3 离散傅里叶变换的性质 4.3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)及性质及性质2022-4-27信息学科立体化教材374.3.1 DFT的定义的定义 在实际应用中，把无限长的周期序列送给计算机处理是不现实的，也是不必要的。而在上一节讨论过，周期序列实际上只有有限个序列值有意义，它和有限长序列有着本质的联系。实际上，可以把长度为N有限长序列x(n)看成周期

25、为N的周期序列的一个周期，这样利用离散傅里叶级数计算周期序列的一个周期，也就是计算了有限长序列的离散傅里叶变换。本节将根据周期序列和有限长序列之间的这种本质关系， 由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示，即离散傅里叶变换（DFT）。 设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即 nNnnxnx其他010)()(4.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义2022-4-27信息学科立体化教材38 为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列 的一个周期，而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓， 即

26、表示成:)(nx)(nxnNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()( 这个关系可以用图4-8来表明。通常把 的第一个周期n=0 到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称 为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成 )(nx)(nx)(nxNnxNnxnx)()mod()(4-32) (4-31) (4-30) 2022-4-27信息学科立体化教材394.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义N -1n-N0N -1n主值区间x ( n )(nx图4-8 有限长序列及其周期延拓2022-4-2

27、7信息学科立体化教材40 用(n)N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余数”， 或称“n对N取模值”。 令 mNnn10n1N-1, m为整数 则n1为n对N的余数。 例如， 是周期为N=9的序列，则有： )(nx)8()1() 1()4()22()22()4()13()13()8()8()8(9999xxxxxxxxxxxx4.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义2022-4-27信息学科立体化教材41利用前面的矩形序列RN(n)，式（4-30）可写成 )()()(nRnxnxN(4-33) 同理，频域的周期序列 也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长

28、序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即: )(kX)(kX)()()()()(kRkXkXkXkXNN(4-34) (4-35) 我们再看表达DFS与IDFS的式(4-12)和式(4-13)： 1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFSnxWnxnxDFSkX4.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义2022-4-27信息学科立体化教材42 这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值区间进行，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义： 1010)(1)()()()()(Nk

29、nkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX0kN-1 0nN-1 （4-36） （4-37） 4.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义2022-4-27信息学科立体化教材43 x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称式(4-36)为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式(4-37)为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能惟一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。 此外，值得强调的是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长序列都

30、是作为周期序列的一个周期来表示的。 换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。 4.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义2022-4-27信息学科立体化教材44 例例4-4 已知序列x(n)=(n)，求它的N点DFT。 解解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（4-36）得到： 1001)()(NnNnkNWWnkX k=0, 1, , N-1 (n)的X(k)如图4-9。这是一个很特殊的例子，它表明对序列(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩形序列。 4.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义2022-4-27信息学科立体化教材45图4-9

31、序列(n)及其离散傅里叶变换 10n(n)X(k)10 12N1k2022-4-27信息学科立体化教材46 例例 4-5 已知x(n)=cos(n/6)是一个长度N=12的有限长序列， 求它的N点DFT。 解解 由DFT的定义式（4-36） 110)1(122110)1(122110122661211021216cos)(nknjnknjnnkjnjnjnkneeeeeWnkX 利用复正弦序列的正交特性（4-3）式，再考虑到k的取值区间，可得 11, 0,011, 16)(kkkkX其他4.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义2022-4-27信息学科立体化教材47图 4-10 有

32、限长序列及其DFT0 1 211x(n)n01X(k)11n4.3.1 离散傅里叶变换的定义离散傅里叶变换的定义2022-4-27信息学科立体化教材48 若x(n)是一个有限长序列，长度为N，对x(n)进行Z变换 10)()(NnnznxzX比较Z变换与DFT，我们看到，当z=W-kN时 )()()(10nxDFTWnxzXNnnkNWzkN即 kNWzzXkX)()(（4-38） 4.3.2 DFT与序列傅里叶变换与序列傅里叶变换、Z变换的关系变换的关系 2022-4-27信息学科立体化教材49 表明 是Z平面单位圆上幅角为 的点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(

33、z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值，如图4-11所示。此外， 由于序列的傅里叶变换X(ej)即是单位圆上的Z变换，根据式（4-38）， DFT与序列傅里叶变换的关系为 kNjkNeWz2kNWkN2NeXeXkXNjkkNjN2)()()(2（4-39） （4-40） 4.3.2 DFT与序列傅里叶变换与序列傅里叶变换、Z变换的关系变换的关系 2022-4-27信息学科立体化教材50 式（4-39）说明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔采样，其采样间隔为N=2/N， 这就是DFT的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ej)

34、在区间0, 2上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT的变换结果也不同。 图 4-11 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系 jIm(z)o2NW1NW0NWk 0)2( NNW)3( NNWRe zoX(ej)X(k)4.3.2 DFT与序列傅里叶变换与序列傅里叶变换、Z变换的关系变换的关系 2022-4-27信息学科立体化教材51 本节讨论离散傅里叶变换（DFT）的一些性质，它们本质上和周期序列的离散傅立叶级数（DFS）概念有关，而且是由有限长序列及其离散傅里叶变换（DFT）表示式隐含的周期性得出的。以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT表示N点DFT，且设：DFTx1(n)=X1(k

35、)DFTx2(n)=X2(k)4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材522.圆周移位圆周移位 （1）定义：）定义：一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(n) （4-42） 我们可以这样来理解上式所表达的圆周移位的含义。具体计算步骤为：i）将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列 ; ii）将 加以移位： Nnxnx)()()(nx)()(mnxmnxN1.线性线性 )()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT式中，a, b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。 4.3.3 离散傅里叶变换

36、的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材53iii）对移位的周期序列 取主值区间（n=0 到N-1）上的序列值，即x(n+m)NRN(n)。所以，一个有限长序列x(n)的圆周移位序列y(n)仍是一个长度为N的有限长序列，这一过程用图4-12（a）、（b）、（c）、（d）来表达。 从图上可以看出，由于是周期序列的移位，当我们只观察 0nN-1 这一主值区间时，某一采样从该区间的一端移出时， 与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而，可以想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上，序列x(n)的圆周移位， 就相当于x(n)在此圆周上旋转，如图4-12（e）、（f）、(g

37、)所示， 因而称为圆周移位。若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转; 将x(n)向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果围绕圆周观察几圈， 那么看到的就是周期序列 。 )(mnx)(nx4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材54图 4-12 圆周移位过程示意图 (e)x(n)21n 0N 1N 2on 0N 1N 221n 0N 2N 1( f )( g )210 x(n)n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1n(a)(b)(c)(d )N1N1N14.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质

38、2022-4-27信息学科立体化教材55（2）时域圆周移位定理）时域圆周移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即 )()()(nRmnxnyNN则圆周移位后的DFT为 )()()()()(kXWnRmnxDFTnyDFTkYmkNNN证证 利用周期序列的移位性质加以证明。 )()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材56再利用DFS和DFT关系 )()()()()()()(kXWkRkXWnRmnxDFTnRmnxDFTmkNNmkNNNN这表明，有限长序列的圆周移位

39、在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移 ，而对频谱的幅度没有影响。 mkNjknNeW24.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材57（3） 频域圆周移位定理频域圆周移位定理 对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质： 若 )()(nxDFTkX则 )()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息

40、学科立体化教材583.圆周卷积圆周卷积 （1）时域圆周卷积定理 设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0nN-1），且有：)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT若 )()()(21kXkXkY则 10121021)()()()()()()()(NmNNNmNNnRmnxmxnRmnxmxkYIDFTny4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 (4-45) 2022-4-27信息学科立体化教材59 一般称式(4-45)所表示的运算为x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积。 下面先证明式(4-45)，再说明其计算方法。 证证 这个卷积相当于周期序列 和 作周期

41、卷积后再取其主值序列。 先将Y(k)周期延拓， 即 )(1nx)(2nx)()()(21kXkXkY根据DFS的周期卷积公式 NNmNNmmnxmxmnxmxny)()()()()(102121014.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材60由于0mN-1 为主值区间， ， 因此 )()(11mxmxN1021)()()()()()(NmNNNnRmnxmxnRnyny 将 式经过简单换元，也可证明 )(ny1012)()()()(NmNNnRmnxmxny4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教

42、材61 圆周卷积过程可以用图4-13来表示。分为5步： i）周期延拓：先作出x1(n)和x2(n)。将x2(m) 在参变量坐标m上延拓成周期为N的周期序列x2(m)N ； ii）反转：将x2(m)N反转形成x2(-m)N ； iii）移位和取主值： 将x2(-m)N移n位并取主值序列得到x2(nm)NRN(n)； iv）相乘：将相同m值x2(nm)NRN(n)与x1(m)相乘； V）相加：将iv）中得到的乘积累加起来，便得到圆周卷积y(n)。 可以看出,它和周期卷积过程是一样的，只不过这里要取主值序列。特别要注意，两个长度小于等于N的序列的N点圆周卷积长度仍为N，这与一般的线性卷积不同。圆周卷

43、积用符号 来表示。 圆周内的N表示所作的是N点圆周卷积。 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 N2022-4-27信息学科立体化教材62图图 4-13 圆周卷积过程示意图圆周卷积过程示意图 x1(n)1N 1nx2(n)1N 1nx2(0m)NRN(m)1N 1mooo4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材63图图 4-13 圆周卷积过程示意图圆周卷积过程示意图 x2(1m)NRN(m)1N 1mx2(2m)NRN(m)1N 1my(n)x1(n) x2(n)233211N 1noooN4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅

44、里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材64)()()()()()(210121nRmnxmxnxnxnyNNNmN或 )()()()()()(110212nRmnxmxnxnxnyNNNmN记为：4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材65N （2）频域圆周卷积定理 利用时域与频域的对称性，可以证明频域圆周卷积定理（请读者自己证明）。 若 )()()(21nxnxny x1(n)，x2(n) 皆为N点有限长序列，则 )()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDF

45、TkYNNNlNNNl即时域序列相乘，乘积的DFT等于各个DFT的圆周卷积再乘以1/N。 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材664.有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积 时域圆周卷积在频域上相当于两序列的DFT的乘积，而计算DFT可以采用它的快速算法快速傅里叶变换（FFT）（见第5章）， 因此圆周卷积与线性卷积相比，计算速度可以大大加快。但是，在许多实际问题中常需要计算线性卷积，例如一个FIR数字滤波器的输出等于输入与滤波器的单位冲激响应的线性卷积。如果能将线性卷积转化为圆周卷积，就能够用圆周卷积来计算线性卷积而加

46、快计算速度。因此，需要讨论圆周卷积与线性卷积在什么条件下相等及如何用圆周卷积运算来代替线性卷积运算的问题。 设x1(n)是N1点的有限长序列（0nN1-1），x2(n)是N2点的有限长序列（0nN2-1）。 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材67它们的线性卷积 1021212111)()()()()()()(Nmmmnxmxmnxmxnxnxnyx1(m)的非零区间为0mN1-1 x2(n-m)的非零区间为0n-mN2-1 (4-43)4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材68将两个不等

47、式相加，得到 0nN1+N2-2 在上述区间外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1 点有限长序列，即线性卷积的长度等于参与卷积的两序列的长度之和减1。例如，图4-14 中，x1(n)为N1=4 的矩形序列（图4-14（a），x2(n)为N2=5 的矩形序列（图4-14（b），则它们的线性卷积y1(n)为N=N1+N2-1=8 点的有限长序列（图 4-14（c）。 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材69再来看x1(n)与x2(n)的圆周卷积。先讨论进行L点的圆周卷积，再讨论L取何值时

48、，圆周卷积才能代表线性卷积。 设y(n)=x1(n) x2(n)是两序列的L点圆周卷积，LmaxN1, N2，这就要将x1(n)与x2(n)都看成是L点的序列。在这L个序列值中，x1(n)只有前N1个是非零值，后L-N1个均为补充的零值。同样， x2(n)只有前N2个是非零值，后L-N2个均为补充的零值。则 102121)()()()()()(LmLLnRmnxmxnxnxnyL（4-47） 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 L 为了分析其圆周卷积，我们先将序列x1(n)与x2(n)以L为周期进行周期延拓 2022-4-27信息学科立体化教材70)()()()()()(22

49、2111rLnxnxnxkLnxnxnxrLkL将它们代入式（447）得其周期卷积序列为 )()()()()()()()(1210121012101rLnymrLnxmxmrLnxmxmnxmxnyrLmrrLmLLm（4-48） 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材71 前面已经分析了y1(n)具有N1+N21个非零值。因此可以看到， 如果周期卷积的周期LN1+N21，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交叠起来，从而出现混叠现象。只有在L N1+N21 时，才没有交叠现象。这时, 在y1(n)的周期延拓 中， 每一个周期L

50、内，前N1+N21个序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N21)个点上的序列值则是补充的零值。所以L点圆周卷积点圆周卷积y(n)是线性卷积是线性卷积yl(n)以以L为为周期的周期延拓序列的主值序周期的周期延拓序列的主值序列。列。)(1ny4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材72所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为 121NNL（4-49） 满足此条件后就有 )()(1nyny即 x1(n) x2(n)=x1(n)*x2(n) L 图4-14（d）、（e）、（f）正反映了（4-46）式的圆周卷积与线性卷

51、积的关系。在图4-14（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，这时产生混叠现象，其圆周卷积不等于线性卷积；而在图4-14（e）、（f）中, L=8和L=10，这时圆周卷积结果与线性卷积相同，所得y(n)的前8点序列值正好代表线性卷积结果。 所以只要LN1+N2- 1，圆周卷积结果就能完全代表线性卷积。 (4-50) 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材73图4-14 线性卷积与圆周卷积x1(n)n1N1 41230 x2(n)n112340N2 5y1(n)N1 N2 1 8n123405 6789 10 11234(a)(b)(c)x1(

52、n) x2(n)L 6n12340 x1(n) x2(n)L 8n1234x1(n) x2(n)L 10n1234(d)(e)( f )12345012345670123456789LLL4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材74例例 4-6 一个有限长序列为 )5(2)()(nnnx（1） 计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。 （2） 若序列y(n)的DFT为 )()(1022kXekYkj式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 （3）若10点序列y(n)的

53、10点离散傅里叶变换是 )()()(kWkXkY式中, X(k)是序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT 01)(nw0n6 其他 求序列y(n)。 2022-4-27信息学科立体化教材75 解解 （1） 由式（4-36）可求得x(n)的10点DFT kkjknkNnnnkNeWWnnWnxkX) 1(212121)5(2)()()(510251010101100 （2）X(k)乘以一个WNkm形式的复指数相当于是x(n)圆周移位m点。 本题中m=-2, x(n)向左圆周移位了2点， 就有 y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8) 4.3.3

54、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 （3）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的圆周卷积。为了进行圆周卷积，可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列。 x(n)与w(n)的线性卷积为 z(n)=x(n)*w(n)=1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 22022-4-27信息学科立体化教材76圆周卷积为 )()10()(10nRrnznyr 在 0n9 求和中，仅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，对n=0, 1, 2, , 9求和，得到： n0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11Z(n)z(n

55、+10) 1 1 1 1 1 3 3 2 2 22 2 0 0 0 0 0 0 0 02 20 0y(n)3 3 1 1 1 3 3 2 2 2_ _所以10点圆周卷积为 y(n)=3, 3, 1, 1， 1, 3, 3, 2, 2, 2 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材775 共轭对称性共轭对称性（1）复共轭序列的DFT 设x*(n)为x(n)的共轭复序列，则 DFTx*(n)=X*(-k)NRN(k)=X*(N-k)NRN(k) =X*(N-k) 0kN-1 且 X(N)=X(0) （4-51） 证证 )(*)()(*)()()()

56、(*)()()()(*)(*10)(10*10kNXkRkNXkRWnxkRkXkRWnxkRWnxnxDFTNNNNnnkNNNNNnNNnnkNNnkN0kN-1 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材78这里利用了 122njnNNjnNNeeW因为X(k)的隐含周期性，故有X(N)=X(0)。 用同样的方法可以证明 )(*)()(*)()(*kXnRnNxDFTnRnxDFTNNNN也即 )(*)(*kXnNxDFT（4-52） 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材79（2）DFT

57、的共轭对称性 在前面章节里讨论了序列傅里叶变换的一些对称性质，且定义了共轭对称序列与共轭反对称序列的概念。在那里，对称性是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。DFT也有类似的对称性，但在DFT中，涉及的序列x(n)及其离散傅里叶变换X(k)均为有限长序列，且定义区间为 0 到N1，所以，这里的对称性是指关于N/2 点的对称性。 设有限长序列x(n)的长度为N点，则它的圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n)分别定义为: )()(21)()()(21)(*nNxnxnxnNxnxnxopep（4-53） （4-54） 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022

58、-4-27信息学科立体化教材80则两者满足: )()()()(*nNxnxnNxnxopopepepnN-1 nN-1 （4-55） （4-56） 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都可以表示成其圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n)之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 （4-57） 由式（4-53）及式（4-54），并利用式（4-51）及式（4-52），可得圆周共轭对称分量及圆周共轭反对称分量的DFT分别为： 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材81D

59、FTxep(n)=eX(k)DFTxop(n)=j Im X(k)(4-58)(4-59)证证 )(21)(21)()(21)(*nNxDFTnxDFTnNxnxDFTnxDFTep利用式（4- 52），可得 )(Re)()(21)(*kXkXkXnxDFTep则式(4-58)得证。同理可证式（4-59）。 4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 2022-4-27信息学科立体化教材82下面我们再来讨论序列实部与虚部的DFT。 若用xr(n)及xi(n)分别表示有限长序列x(n)的实部及虚部，即 x(n)=xr(n)+jxi(n) (4-60) 式中： )()(21)(Im)()

60、()(21)(Re)(*nxnxnxjnjxnxnxnxnxir则有： )()(21)()()()(21)()(*kNXkXkXnjxDFTkNXkXkXnxDFTopiepr4.3.3 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 式中，Xep(k)为X(k)的圆周共轭对称分量且Xep(k)=X*ep(N-k)，Xop(k)为X(k)的圆周共轭反对称分量且Xop(k)=-X*op(N-k)。 (4-62) (4-61) 2022-4-27信息学科立体化教材83证证 )(*)(21)(nxDFTnxDFTnxDFTr利用式（4- 51）， 有 )()()(21)(*kXkNXkXnxDFTepr这