高中解析几何知识点

1、. .曲线与方程 2求曲线方程的根本方法直线一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的概念：1倾斜角：当直线与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 2倾斜角的范围：当与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°因此0°180°。2、直线的斜率 1斜率公式：K=tan90° 2斜率坐标公式：K= x1x2 3斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当=0°时，k=0；当0°90°时，k0，且越大，k越大；当=90°时，k不存在；当90°180

2、6;时，k0，且越大，k越大。二、两直线平行与垂直的判定1、两直线平行的判定： 1两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，那么这两直线平行； 2两条不重合的直线，假设都有斜率，那么k1=k2 2、两直线垂直的判定： 1一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两直线垂直； 2如果两条直线、的斜率都存在，且都不为0，那么 k1·k2=1直线经过点，且斜率为，那么方程为直线的点斜式方程.直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.直线叫做直线的斜截式方程.直线上两点且，那么通过这两点的直线方程为，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两

3、点式直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，那么直线的方程叫做直线的截距式方程.注意：直线与轴交点,0的横坐标叫做直线在轴上的截距；直线与y轴交点0,的纵坐标叫做直线在轴上的截距.关于的二元一次方程A，B不同时为0叫做直线的一般式方程，简称一般式.直线名称条件直线方程使用范围点斜式k存在斜截式k存在两点式截距式平面上两点，那么.特殊地：与原点的距离为.点和直线，那么点到直线的距离为：.两条平行线直线，那么与的距离为直线与方程1直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°180

4、°2直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，

5、它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：A，B不全为0注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：b为常数； 平行于y轴的直线：a为常数； 5直线系方程：即具有某一共同性质的直线一平行直线系平行于直线是不全为0的常数的直线系：C为常数二过定点的直线系斜率为k的直线系：，直线过定点；过两条直线，的交点的直线系方程为为参数，其中直线不在直线系中。6两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要

6、注意斜率的存在与否。7两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合8两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，那么9点到直线距离公式：一点到直线的距离10两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进展求解。圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程1标准方程，圆心，半径为r；2一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。3求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a

7、，b，r；假设利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，根本上由以下两种方法判断：1设直线，圆，圆心到l的距离为，那么有；2设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，那么有；注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，那么过此点的切线方程为 (课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，

8、y0)，那么过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和差，与圆心距d之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和差，与圆心距d之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含； 当时，为同心圆。椭圆把平面内与两个定点，的距离之和等于常数大于的点的轨迹叫做椭圆其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即

9、当动点设为时，椭圆即为点集椭圆的简单几何性质范围：由椭圆的标准方程可得，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，；椭圆的第二定义当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做

10、椭圆的准线，常数是椭圆的离心率对于椭圆，相应于焦点的准线方程是根据对称性，相应于焦点的准线方程是对于椭圆的准线方程是可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为椭圆定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.0<e<1图形方程标准方程(>0)(>0)参数方程范围axa，bybaxa，byb中心原点O0，0原点O0，0顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)

11、, (0,b) , (0,b)对称轴X轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bX轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)焦距2c 其中c=2c 其中c=离心率准线x=x=焦半径通径椭圆的其他几何性质1点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.3假设在椭圆上，那么过的椭圆的切线方程是.4假设在椭圆外 ，那么过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是.5AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，那么.6假设在椭圆内，那么被Po所平分的中点弦的方程是.7

12、假设在椭圆内，那么过Po的弦中点的轨迹方程是.8假设PQ是椭圆ab0上对中心X直角的弦，那么.9过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，那么直线BC有定向且常数.10椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，那么椭圆的焦点角形的面积为， .11假设P为椭圆ab0上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，那么.12过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 13过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.14设A,B为椭圆

13、上两点，其直线AB与椭圆相交于,那么.15设椭圆ab0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，那么有.16经过椭圆ab0的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，那么.17设椭圆ab0,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，那么直线A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线：(或)上.18设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，那么MFNF.19过椭圆一个焦点

14、F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，那么MFNF.20设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,那么.21过椭圆ab0的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，那么.22设Ax1 ,y1是椭圆ab0上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离,分别是A到椭圆两焦点的距离，那么.23椭圆 ab0和 ，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，那么AB=|CD.24设A、B是椭圆 ab0的长轴两端点，P是椭圆上的一

15、点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，那么有(1).(2).(3).25椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.26椭圆 ab0的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，那么直线AC经过线段EF 的中点.27椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.28椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.29椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.30椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.31椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角

16、平分线引垂线,那么椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.32椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,那么椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.33椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.34椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.35椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.36椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,那么以两交点为直径的圆必过两焦点.双曲线把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹叫

17、做双曲线hyperbola其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距即当动点设为时，双曲线即为点集双曲线的简单几何性质范围：由双曲线的标准方程得，进一步得：，或这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比

18、叫做双曲线的离心率双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线的距离之比是常数时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径。双曲线其他性质1点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.3假设在双曲线a0,b0上，那么过的双曲线的切线方程是.4假设在双曲线a0,b0外 ，那么过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是.5AB是双曲线a0,b0的不平行于对称轴且

19、过原点的弦，M为AB的中点，那么.6假设在双曲线a0,b0内，那么被Po所平分的中点弦的方程是.7假设在双曲线a0,b0内，那么过Po的弦中点的轨迹方程是.8假设PQ是双曲线ba 0上对中心X直角的弦，那么.9过双曲线a0,bo上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，那么直线BC有定向且常数.10双曲线a0,bo的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，那么双曲线的焦点角形的面积为， .11假设P为双曲线a0,b0右或左支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，那么或.12过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的

20、连线必与切线垂直.13过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.14设A,B为双曲线a0,b0，上两点，其直线AB与双曲线相交于,那么.15设双曲线a0,b0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，那么有.16经过双曲线a0,b0的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，那么.17设双曲线a0,b0,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，那么直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线：上.18设过双曲线焦

21、点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，那么MFNF.19过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，那么MFNF.20设A、B、C、D为双曲线a0,bo上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,那么.21过双曲线a0,b0的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，那么.22设Ax1 ,y1是双曲线a0,b0上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原

22、点到直线 L的距离,分别是A到双曲线两焦点的距离，那么.23双曲线a0,b0和 ，一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，那么AB=|CD.24设P点是双曲线a0,b0上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，那么(1).(2).25设A、B是双曲线a0,b0的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，那么有(1).(2).(3).26双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.27双曲线a0,b0的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，那么直线AC经过线段

23、EF 的中点.28双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.29双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.30双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c.31双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.33双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,那么双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.34双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,那么双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.35双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.36双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.37双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,那么以两交点为直径的圆必过两焦点.抛物线抛物线xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。=点M到直线的距离范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,0)(0,)(0,)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线方程准线与焦