直线与圆的知识点地总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围。如（1）直线的倾斜角的范围是_（答：）；（2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是_（答：）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即tan(90)；倾斜角为90的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：

2、证明三点共线： 。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为_（答：）3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为=(1,)的

3、直线的点斜式方程是_（答：）；（2）直线，不管怎样变化恒过点_（答：）；（3）若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_（答：）提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过

4、点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点到直线的距离；（2）两平行线间的距离为。6、直线与直线的位置关系：（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1） 、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线与直线垂直。如（1）设直线和

5、，当_时；当_时；当_时与相交；当_时与重合（答：1；3）；（2）已知直线的方程为，则与平行，且过点（1，3）的直线方程是_ （答：）；（3）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是_（答：）；（4）直线过点（，），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是_（答：）7、对称（中心对称和轴对称）问题代入法：如（1）已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_（答：）；（2）已知直线与的夹角平分线为，若的方程为，那么的方程是_（答：）；（3）点（，）关于直线的对称点为(2,7)，则的方程是_（答：）；（4）已知一束光线通过点（，），经直线:3x

6、4y+4=0反射。如果反射光线通过点（，15），则反射光线所在直线的方程是_（答：）；（5）已知ABC顶点A(3，)，边上的中线所在直线的方程为6x+10y59=0，B的平分线所在的方程为x4y+10=0，求边所在的直线方程（答：）；（6）直线2xy4=0上有一点，它与两定点（4,1）、（3,4）的距离之差最大，则的坐标是_（答：（5,6）；（7）已知轴，C（2，1），周长的最小值为_（答：）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9、简单的线性规划：（1）二元一次不等式表示的平面区域：法一：先把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；

7、法二：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；设点，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧。如已知点A（2，4），B（4，2），且直线与线段AB恒相交，则的取值范围是_（答：）（2）线性规划问题中的有关概念：满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量的解析式叫目标函数，关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数；求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解（）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；（3）求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际

8、问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如（1）线性目标函数z=2xy在线性约束条件下，取最小值的最优解是_（答：（1，1）；（2）点（，）在直线2x3y+6=0的上方，则的取值范围是_（答：）；（3）不等式表示的平面区域的面积是_（答：8）；（4）在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解时注意作图规范。10、圆的方程：圆的标准方程：。圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且）；圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三

9、角换元：；。为直径端点的圆方程如（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为_（答：）；（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_（答：或）；（3）已知是圆（为参数，上的点，则圆的普通方程为_，P点对应的值为_，过P点的圆的切线方程是_（答：；）；（4）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是_（答：0，2）；（5）方程x2+yx+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为_（答：）；（6）若（为参数，若，则b的取值范围是_（答：）11、点与圆的位置关系：已知点及圆，（1）点M在圆C外；（2）点M在圆C内；（3）点M在圆C上。如点P(5a

10、+1,12a)在圆(x)y2=1的内部,则a的取值范围是_（答：）12、直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆与直线，的位置关系为_（答：相离）；（2）若直线与圆切于点，则的值_ （答：2）；（3）直线被曲线所截得的弦长等于 （答：）；（4）一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路

11、程是 （答：4）；（5）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则A，且与圆相交 B，且与圆相交C，且与圆相离 D，且与圆相离 （答：C）；（6）已知圆C：，直线L：。求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：或最长：，最短：）13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。如双曲线的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支

12、上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 （答：内切）14、圆的切线与弦长：(1)切线：过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）；如设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为_（答：）；（

13、2）弦长问题：圆的弦长的计算：（垂径定理）常用弦心距，半弦长及圆的半径所构成的直角三角形来解：；过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!2012年高考文科数学解析分类汇编：直线与圆一、选择题1 （2012年高考（重庆文）设A,B为直线与圆 的两个交点,则（）A1BCD22 （2012年高考（浙江文）设aR ,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行的（）A充分不必要条件B必要不充分

14、条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3 （2012年高考（陕西文）已知圆,过点的直线,则（）A与相交B与相切C与相离D以上三个选项均有可能4 （2012年高考（山东文）圆与圆的位置关系为（）A内切B相交C外切D相离5 （2012年高考（辽宁文）将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是（）Ax+y-1=0Bx+y+3=0Cx-y+1=0Dx-y+3=06 （2012年高考（湖北文）过点的直线,将圆形区域分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（）ABCD7 （2012年高考（广东文）(解析几何)在平面直角坐标系中,直线与圆相交于、两点,则弦的长等于（）ABCD18 （2

15、012年高考（福建文）直线与圆相交于两点,则弦的长度等于（）AB.CD19 （2012年高考（大纲文）正方形的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为（）A8B6C4D310（2012年高考（安徽文）若直线与圆有公共点,则实数取值范围是（）ABCD二、填空题11（2012年高考（浙江文）定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a

16、=_.12（2012年高考（天津文）设,若直线与轴相交于点,与轴相交于,且与圆相交所得弦的长为2,为坐标原点,则面积的最小值为_.13（2012年高考（上海文）若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为_(结果用反三角函数值表示).14（2012年高考（山东文）如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为_.15（2012年高考（江西文）过直线上点作圆的两条切线，若两条切线的夹角是,则点的坐标是_。16（2012年高考（北京文）直线被圆截得的弦长为_.2012年高考文科数学解析分

17、类汇编：直线与圆参考答案一、选择题1. 【答案】:D 【解析】:直线过圆的圆心 则2 【考点定位】本题考查圆的性质,属于基础题. 2. 【答案】A 【命题意图】本题考查的知识为依托于简易逻辑的直线平行问题的考查.直线部分考查的是平行的条件,当,解得或.所以,当a=1是,两直线平行成立,因此是充分条件;当两直线平行时,或,不是必要条件,故选A. 3. 解析: ,所以点在圆C内部,故选A. 4. 解析:两圆心之间的距离为,两圆的半径分别为, 则,故两圆相交. 答案应选B. 5. 【答案】C 【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选C 【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中

18、. 6. A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线垂直即可.又已知点,则,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点,故由点斜式得,所求直线的方程为,即.故选A. 【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线垂直,利用这一条件求出斜率,进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题. 7. 解析:B.圆心到直线的距离为,所以弦的长等于. 8. 【答案】B【解析】圆心,半径,弦长 【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系,考查计算求解能力. 9.

19、答案B 【解析】解:结合已知中的点E,F的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA点时,需要碰撞8次即可. 10. 【解析】选圆的圆心到直线的距离为 则 二、填空题11. 【答案】 【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,4),圆心到直线l:y=x的距离为:,故曲线C2到直线l:y=x的距离为. 另一方面:曲线C1:y=x 2+a,令,得:,曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离的点为(,),. 12. 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离满足,所以,即圆心到直线的距离,所

20、以.三角形的面积为,又,当且仅当时取等号,所以最小值为. 13. 解析 ,所以的倾斜角的大小为. 14.答案: 解析:根据题意可知圆滚动了2单位个弧长,点P旋转 CD了弧度,此时点的坐标为 . 另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程 为,且, 则点P的坐标为,即. 15. 【答案】() 【解析】本题主要考查数形结合的思想,设p(x,y),则由已知可得po(0为原点)与切线的夹角为,则|po|=2,由可得. 16. 【答案】 【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出,半弦长为,圆心到直线的距离,以及圆半径构成了一个直角三角形,因此.2012广东省各地月考联考模拟最新分类汇编（文）

21、：直线与圆【2012年广州市一模文】10已知圆：，点（）是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么A，且与圆相离 B，且与圆相切C，且与圆相交 D，且与圆相离 【答案】A【广东省湛江二中2012届高三第三次月考文】7.已知两点，点是圆上任意一点，则点到直线距离的最小值是（ ）A. B. C D 【答案】A【广东省湛江一中2012届高三10月月考文】8直线与圆的位置关系是（）A相离B相交C相切D与的值有关【答案】B【广东省惠州市2012届高三一模（四调）文】13若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 .【答案】【解析】设圆心为，则，解得即【广东省东莞市2

22、012届高三模拟（1）文】13已知直线被圆所截得的弦长为2，则的值为 【答案】【广东省东莞市2012届高三文模拟（二）】9曲线在横坐标为-1的点处的切线为，则点到直线的距离为 A B C D【答案】A【广东省广州市2012届高三下学期一模调研（文）】已知直线l：x+y=m经过原点，则直线l被圆x2+yZ-2y=0截得的弦长是A1 B C D2【答案】B【广东省华南师大附中2012届高三综合测试文】14.函数y=loga(x+3)-1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则的最小值为_.【答案】8【广东省深圳高级中学2012届1月月考文.】3已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）A B8 C2 D【答案】C【广东省深圳高级中学2012届1月月考文.】9. 若点在直线上，过点的直线与曲线相切于点，则的最小值为A B C4 D 【答案】C【广东省深圳市2012届高三二模试题文科】4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 A B C D 【答案】D【广东省珠海市第四中学2012届高三上学期月考文】16（本小题满分12分） 已知圆心在坐标原点，经过点