第二章-2.1变量分离与变量变换

1、第二章第二章 一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法 把微分方程的求解问题化为积分问题。即用恒等变把微分方程的求解问题化为积分问题。即用恒等变形、变量变换或乘上一个积分因子等手段将微分方程的形、变量变换或乘上一个积分因子等手段将微分方程的解用初等函数或初等函数的积式来表达，这种方法，习解用初等函数或初等函数的积式来表达，这种方法，习惯上称为惯上称为初等积分法或求积法初等积分法或求积法。能用初等积分法求解的。能用初等积分法求解的微分方程称为微分方程称为可积方程可积方程。 主要内容主要内容 变量分离方程与变量替换变量分离方程与变量替换 线性方程与常数变易法线性方程与常数变易法( (待定函数法

2、待定函数法) ) 恰当方程与积分因子（全微分方法）恰当方程与积分因子（全微分方法） 一阶隐方程与参数表示一阶隐方程与参数表示形如的方程，称为变量分离方程变量分离方程，这里 分别是 的连续函数。 )(),(yxf( ) ( ).yf xy（）2 1yx,1、定义2.1.12.1.1、变量分离变量分离方程方程2.1 2.1 变量分离方程与变量替换变量分离方程与变量替换解为：使，如果存在, 0)()200yy2、方程求解通解为：如果, 0)() 1y)2 . 2()()(cdxxfydy(*)0yy 微分方程微分方程(2.1)的所有解为：的所有解为：式(2.2)和(*).000,()0,(2.1),

3、(2.2),.yyyy若存在使则也是的解 可能它不包含在方程的通解必须予以补上中例2.1： 2cos( ),(0)1dyyxydx11/(sin( ) 1)cyx 即，221cos( ),(0)1cos( )1sin( )dyx dxyydyx dxcyxcy解：分离变量解：分离变量并积分得并积分得带入初值条件得带入初值条件得分离变量积分(转化为积分的形式)讨论解的完整性（如分母为零的解）写出通解3、变量分离方程的解题步骤、变量分离方程的解题步骤例2.2 求解方程 yxdxdy方程的通解为解：ydyxdx分离变量,得积分,得22222yxc 22yxc注意：注意：积分常数积分常数C的相对任意性

4、的相对任意性。例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的连续函数是其中的通解xxp解:将变量分离后得dxxpydy)(两边积分得:1)(lncdxxpy由对数的定义有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充许也是方程的解此外ycy( ),.p x dxycec为任意常数故方程的通解为1)(cdxxpey引言：引言：有的微分方程从表面上看，不是可有的微分方程从表面上看，不是可分离变量的微分方程，但是，通过适当分离变量的微分方程，但是，通过适当的的变量代换变量代换，就可以很容易地化为，就可以很容易地化为“变变量分离方程量分离方程”，

5、在这里，介绍两类这样，在这里，介绍两类这样的方程。的方程。 2.1.2 2.1.2 可化为变量分离的方程可化为变量分离的方程1、第一类方程：、第一类方程：齐次方程齐次方程定义：定义：形如 的方程，称为齐次齐次微分方程微分方程，这里 是 的连续函数。)5.2()(xygdxdy)(ugu1）方程的类型）方程的类型2）方程的求解（变量变换法）方程的求解（变量变换法）,ydyduuyxuuxxdxdx代入齐次方程得一变量分离方程令则.)(xuugdxdu该方法的要点是该方法的要点是：利用变量代换将方程化为变量分离：利用变量代换将方程化为变量分离方程。利用变换来解微分方程是一种常用的技巧。方程。利用变

6、换来解微分方程是一种常用的技巧。 例例2.4 求求 解方程解方程 xyxydxdytan解：解：cxxysin通解为：通解为：变量代换；变量代换；求解；求解；变量还原变量还原。例例2.5 求解方程求解方程)0(2xyxydxdyx解解:方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2将变量分离后得xdxudu2udxdux两边积分得:cxu)ln(即为任意常数ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原来变量,得原方程的通解为2ln() ,ln()0,0.xxcxcyxdxudu2例例2.6 求下面初值问题的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy

7、解:方程变形为2)(1xyxydxdy这是齐次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux将变量分离后得xdxudu21两边积分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21变量还原得cxxyxy2)(1(1)0,1.yc最后由初始条件可得到故初值问题的解为) 1(212xyxdxudu212.第二类：第二类： 形如形如,222111cybxacybxadxdy.,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量代换化为变量分离方程.分三种情况讨论的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程,由类型(I)可化为变量分离方程.112220a

8、bab 的情形则方程可改写成设,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy22,ua xb y令则方程化为dxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22这就是变量分离方程不同时为零的情形与且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa则).0 , 0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表xy作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为YbXaYbXadXdY2211为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.解的步骤:,0012221110cybxacybxa解方程组,yx得解方程化为作变换,20

9、yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu 求解0405 变量还原例例2.7 求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程组0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYxXYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY11将变量分离后得XdXuduu21)1 (两边积分得:cXuuln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为.)2() 1(ln12arctan22cyxxy注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中yxNM例例2.8 求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu 令