旋转曲面的面积ppt课件

1、10.4 旋转曲面的面积 通过对不均匀量如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程的分析，采用通过对不均匀量如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程的分析，采用“分割、分割、近似代替、求和、取极限四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我近似代替、求和、取极限四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？过定积分来求值呢？ 一一 定积分的元素法定积分的元素法(或微元法或微元法) 为了说明微元法，我们先来回

2、顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。step1. 分割：任意划分分割：任意划分a,b为为n个小区间个小区间 niiiiAAnixx11),1( ,则step2. 近似：近似： ,1iiixx )( iiixf 计算)1(ni 微元法step3. 求和：求和： niiixfA1)( step4. 取极限：取极限： niiixfA10)(lim badxxfA)( 即分析：分析：在上述问题注意到在上述问题注意到: 所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1。与区间。与区间a,b及及a,b上连续函数上连续函数f(x)有关有关;2。对。对a,b具有可加性，具有可加性，; 1iniAA 即即3。

3、)( ,)( iiiixoAfA 且且误误差差为为局局部部量量 实际上，引出实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：二步，因此求解可简化如下：微元法step1:选取积分变量及积分选取积分变量及积分区间如区间如x属于属于a,b）step2:取微区间取微区间x,x+dx 求出求出 )( )(局部量dxxfA 称为面积元素并记 )( dxxfdA step3: badxxfA)( 计算这种方法称为定积分的元素法或微元法。微元法 一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量是与某一变量x的变化区间的变化区间a,b有关的量；有关的量；

4、2。Q对于对于a,b区间具有可加性；区间具有可加性；3。局部量。局部量.)(iiixfQ 那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1. 选取积分变量及积分区间选取积分变量及积分区间 ,:bax 如如step2. 取微区间取微区间x,x+dx，求出，求出 )(dxxfQ dxxfdQ)( 并并记记step3. badxxfA)( 计算计算微元法求的步骤求的步骤分分割割用分点用分点bxxxxann 110将将区间分成区间分成 n 个个小区间小区间11, iiiiixxxxx 以以直直线线代代曲曲把在小区间上的局部量把在小区间上的局部量iU 用某个函数用某个函数 f ( x) 在在),(1iiii

5、xx 的值与的值与ix 之积代替之积代替iiixfU )( 求求和和 把局部量的近似值累加得到总量把局部量的近似值累加得到总量的近似值的近似值, 即即 niiiniixfUU11)( 设量非均匀地分布设量非均匀地分布 a ,b 上上ixni max1 nibaiidxxfxfU10)()(lim 由此可知，若某个非均匀量在区间由此可知，若某个非均匀量在区间 a,b 上满足两个条件：上满足两个条件： （1） 总量在区间上具有可加性，即把区间总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，的局部量之和，（2局部量可用局部量可

6、用iixf )(近似表示近似表示它们之间只相差一个它们之间只相差一个ix 的高阶无穷小的高阶无穷小不均匀量就可以用定积分来求得不均匀量就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法这是建立所求量的积分式的基本方法求极限1 求微元求微元写出典型小区间写出典型小区间 ,badxxx 上的局部量上的局部量 U 的近似值的近似值dxxfdU)( 这就是局部量的微元这就是局部量的微元2 求积分求积分即把微元即把微元 dU在区间在区间 a , b 上上 dxxf)(作积分表达式，求它在作积分表达式，求它在 a , b 上的定积分，即上的定积分，即 badxxfU)(这就是微元法这就是微元法 “无限积

7、累起来无限积累起来 ，相当于把，相当于把 例例C y f xa b设曲线 : = ( )在 , 上有连续导数,求弧长解解:（图一）（图一）1xa,b。 取积分变量 i-1i2222x xxSM Mxy1xyx 。 取微区间 , +,则（）21dsy dx记弧长微元23 S=1aby dx。yxo1iMiM1M2M1nMnBM0AMaxxxb取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ， 22( ) 1dSf xfx dxxdxx xyo旋转曲面的面积为旋转曲面的面积为 221baSfxfx dx)(xfy 二二 旋转曲面的面积旋转曲面的面积 222Sy

8、txtyt dt 222sinSrrrd1R例 、 求 半 径 为的 球 面 面 积 。22()yRxRxRx解：球面可看作由半圆绕 轴旋转而成，于是2222221RRxARxdxRx24 R2(sin )(02)(1cos )xa tttyatx例 、求摆线绕 轴旋转一周所得旋转体的表面积。22202(1 cos )Aatxy dt解22022(1 cos )|sin|2tat2643a例例3 3.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa a

9、oyx解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设设弧弧长长为为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 体体积积为为设设旋旋转转体体的的表表面面积积为为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 作业作业 P255P255：1 1，2 2，3.3.dAdttytxtyAttyytxxdxxfxfdxxfAxxbxaxx