高考数学总复习第四节　基本不等式及其应用新课标试卷

1、必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 第一第一章章 集合与常用逻辑用语、不等式集合与常用逻辑用语、不等式第四节第四节基本不等式及其应用基本不等式及其应用必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 1.基本不等式基本不等式(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等

2、号成立. 提醒提醒在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.ab2ab必备知识 整合 必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2abab必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 3.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值已知x0,y0,(1)如果xy是定值p

3、,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是2(简记为积定和最小).(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是(简记为和定积最大).p24q必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 知识拓展知识拓展1.基本不等式的两种常用变形形式(1)ab(a,bR,当且仅当a=b时取等号).(2)a+b2(a0,b0,当且仅当a=b时取等号).22abab2.几个重要的结论(1)(a,bR).(2)+2(ab0).(3)(a0,b0).222ab22abbaabab2ab222ab必备知识 整合 栏目多的在

4、上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)不等式a2+b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数y=x+的最小值是2.()(3)函数f(x)=sinx+的最小值为4.()(4)“x0且y0”是“+2”的充要条件.()2abab1x4sinxxyyx必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.(新教材人教B版必修第一册P73例1改编)若x1,则函数y=8x+的最大值为()A.-4B.8C.4D.012g1

5、21xD必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 4.(2018天津,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.18b14必备知识 整合 关键能力 突破 考点一利用基本不等式求最值考点一利用基本不等式求最值关键能力 突破 角度一利用配凑法求最值角度一利用配凑法求最值典例典例1 (2020四川乐山一中月考)设0 x0,b0,a+b=1,则+的最小值为4.1a1b解析解析因为a+b=1,所以+=(a+b)=2+2+2=4.当且仅当a=b=时,取等号.1a1b11abbaabb aa b12必备

6、知识 整合 关键能力 突破 变式变式若本例条件不变,则的最小值为9.11a11b解析解析因为a+b=1,所以=5+25+4=9.当且仅当a=b=时,取等号.11a11b1aba1abb2ba2abbaab12必备知识 整合 关键能力 突破 角度三消元法求最值角度三消元法求最值典例典例3已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为6.解析解析解法一:(换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因为x0,y0,所以x+3y2,所以3xy,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y+9,即(x+3y)2+12(x+3y)-1080.3xy232xy13232xy必备知识 整合

7、 关键能力 突破 令x+3y=t,则t0且t2+12t-1080,解得t6,即x+3y的最小值为6.解法二:(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=,931yy所以x+3y=+3y=3(1+y)+-62-6=12-6=6.当且仅当3(1+y)=,即x=3,y=1时等号成立.所以x+3y的最小值为6.931yy933 (1)1yyyy2931yy23(1)6(1)121yyy121y123(1)1yy121y必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的

8、问题,先将+转化为,再用基本不等式求最值.axbyaxbyabxyxyt3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.必备知识 整合 关键能力 突破 1.(2020湖北孝感应城第一高级中学模拟)已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3B.4C.D.92112B解析解析由题意得x+2y=8-x(2y)8-,当且仅当x=2y=2时等号成立.(x+2y)2+4(x+2y)-320,即(x+2y-4)(x+2y+8)0,x0,y0,x+2y0,x+2y4.222xy必备知识 整合

9、关键能力 突破 2.(2020四川遂宁模拟)当x1时,x+的最小值为5.41x解析解析x1,x-10,由基本不等式得x+=(x-1)+12+1=5.当且仅当x=3时,等号成立.因此,x+的最小值为5.41x41x4(1)1xx41x必备知识 整合 关键能力 突破 3.(2020吉林长春农安实验中学模拟)已知x0,y0,且+=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(-4,2).2x1y解析解析由题意可知x+2y=(x+2y)=4+4+2=8,当且仅当x=2y=4时等号成立,要使x+2ym2+2m恒成立,则m2+2m8,解得-4m2.21xy4yxxy4y xxy必备知识 整合 关键

10、能力 突破 考点二利用基本不等式解决实际问题考点二利用基本不等式解决实际问题典例典例4某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该种产品,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10 x.当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450.每件商品的售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?1310000 x必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)因为每件商品的售价为0.05万元,所以x千件商品的销

11、售额为0.051000 x万元,依题意得,当0 x80时,L(x)=(0.051000 x)-250=-x2+40 x-250.当x80时,L(x)=(0.051000 x)-51x+-1450-250=1200-.所以L(x)=(2)当0 x80时,易知L(x)=-(x-60)2+950.21103xx1310000 x10000 xx2140250,080,3100001200,80.xxxxxx13必备知识 整合 关键能力 突破 当x=60时,L(x)取得最大值,L(60)=950.当x80时,L(x)=1200-1200-2=1200-200=1000.当且仅当x=,即x=100时,L

12、(x)取得最大值1000.因为9500),即x=15时等号成立.即游泳池的长设计为15米时,总造价最低.200 x20022xx200 x225xx225xx225x必备知识 整合 关键能力 突破 考点三基本不等式的综合应用考点三基本不等式的综合应用典例典例5(1)(2020广东惠州调研)在ABC中,点D是AC上一点,且=4,P 为BD上一点,向量=+(0,0),则+的最小值为()A.16B.8C.4D.2ACADAPABAC41A必备知识 整合 关键能力 突破 (2)(2020北京朝阳模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC

13、内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=,且+8恒成立,则正实数a的最小值为1.1, ,2x y1xay必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)由题意可知,=+4,因为B,P,D三点共线,所以+4=1,又因为0,0,所以+=(+4)=8+8+2=16,当且仅当=,=时,等号成立,故+的最小值为16.故选A.(2)PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,VP-ABC=321=1=+x+y,x+y=,则2x+2y=1.a0,+=(2x+2y)=2+2a+2+2a+4,当且仅当=,即y=x时,取等号,因此2+2a+48,解得a1,正实数a的最小值为1.APABAD41411616121841131212121xay1axy2yx2axya2yx2axyaa必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评利用基本不等式解题的策略:(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或取值范围:观察题目特点,利用