高考数学总复习专项突破六　概率统计在高考中的热点题型

1、必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 第十章第十章 统计及统计分析统计及统计分析专项突破六概率统计在高考中的热点题型专项突破六概率统计在高考中的热点题型必备知识 整合 关键能力 突破 概率和统计命题主要以解答题的形式考查,难度属中等.主要以生活中的实际问题为背景,考查随机抽样、用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验、古典概型、离散型随机变量的均值与方差.必备知识 整合 关键能力 突破 题型一样本分布与概率的综合应用题型一样本分布与概率的综合应用典例典例1甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员,

2、日工资方案如下:甲公司规定底薪80元,每销售一件产品提成1元;乙公司规定底薪120元,日销售量不超过45件没有提成,超过45件的部分每件提成8元.(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位:元)分别表示为日销售件数n的函数关系式;(2)从两家公司各随机选取一名推销员,对他们过去100天的销售情况进行统计,得到如图所示的条形图.记甲公司的推销员的日工资为X,乙公司的推销员必备知识 整合 关键能力 突破 的日工资为Y,将频率视为概率.若某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员,仅从日均收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他做出选择,并说明理由. 必备知识 整合 关键能力 突破 答题规范

3、答题过程第一步:利用已知条件,求出甲公司一名推销员的日工资y与日销售件数n的关系式,得2分;第二步:利用已知条件,求出乙公司一名推销员的日工资y与日销售件数n的关系式,得2分;第三步:利用条形图,分别求出X,Y的分布列,得4分;第四步:利用公式求出E(X),E(Y),得2分;第五步:比较E(X),E(Y)的大小,做出选择,得2分解析解析(1)由题意得,甲公司一名推销员的日工资y(单位:元)与日销售件数n的函数关系式为y=80+n,nN.乙公司一名推销员的日工资y(单位:元)与销售件数n的函数关系式为y=(2)由条形图可得X的分布列如下:由条形图可得Y的分布列如下:所以E(X)=1220.2+1

4、240.4+1260.2+1280.1+1300.1=125,E(Y)=1200.2+1280.3+1440.4+1600.1=136.因为E(X)E(Y),所以仅从日均收入的角度考虑,选择去乙公司更好.120(45,N),8240(45,N).nnnnn必备知识 整合 关键能力 突破 方法归纳方法归纳破解此类条形图、离散型随机变量的分布列与期望、分段函数相交汇的开放性问题的关键:一是会识图获取数据,能从条形图中读出频数,进而求出频率;二是会运用分段函数式表示所求;三是会对开放性问题进行转化,如本题中把对两公司的选择转化为比较两公司推销员的日均收入的高低,从而做出选择.必备知识 整合 关键能力

5、 突破 (2020安徽蚌埠模拟)某省为迎接新高考,拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分,再按赋分后的分数从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级,考生实际得分经赋分后的分数在30分到100分之间.在等级赋分科学性论证时,对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析,随机抽取了2 000名考生的该学科赋分后的成绩,得到如下频率分布直方图.(不考虑缺考考生的试卷)必备知识 整合 关键能力 突破 (1)求这2 000名考生该学科赋分后的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)某市有20 000名考生,请估计赋分后成绩不低于80分的人数;x(3)用分层随机抽样的方式在60

6、分到80分的学生中抽取一个容量为5的样本,再从这5人中任选两人,求这两人分数都超过70分的概率.必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)依题意,=350.05+450.107 5+550.19+650.3+750.2+850.102 5+950.05=65.(2)依题意,所求人数为20 000(0.010 2510+0.005 0010)=3 050.(3)由频率分布直方图可知,60分到70分与70分到80分的学生人数比为3 2,所以用分层随机抽样的方式抽取的样本中,60分到70分的学生有3人,分别记为A1,A2,A3,70分到80分的学生有2人,分别记为B1,B2.从中任选两人,有(A

7、1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种情况,而两人分数都超过70分的情况共有1种,所以从这5人中任选两人,这两人分数都超过70分的概率P=.x110必备知识 整合 关键能力 突破 题型二回归分析与概率的综合应用题型二回归分析与概率的综合应用典例典例2随着人民生活水平的提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成居民出行不便,物业公司统计了近五年(截至2018年年底)小区登记在册的私家车数量(每位业主至多有

8、一辆车),得到如下表格:年份20142015201620172018年份编号x12345私家车数量y(单位:辆)3495124181216必备知识 整合 关键能力 突破 (1)若私家车数量y与年份编号x满足线性相关关系,求y关于x的经验回归方程,并预测截至2020年年底该小区的私家车数量;(2)该小区于2018年年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位.为解决小区内车辆乱停乱放的问题,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区.由于车位有限,物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期为一年,竞拍方案如下:截至2018年年底已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格;每辆车至多申请

9、一个车位,由车主在竞拍网站上提交申请并给出自己的报价;根据物价部门的规定,竞价不得超过1 200元;申请阶段截止后将所有申请的业主的报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交;必备知识 整合 关键能力 突破 若最后出现并列的报价,则提交申请在前的业主获得车位.为预测本次竞拍的成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查,统计了他们的拟报竞价(单位:百元),得到如下频率分布直方图:必备知识 整合 关键能力 突破 (i)求所抽取的业主中有意向竞拍且拟报竞价不低于1 000元的人数;(ii)如果所有符合条件的业主均参与竞拍,利用样本估计总体的思想,请你预测至少需要报

10、价多少元才能竞拍车位成功.(精确到整数)附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其经验回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-.ybab121()()()niiiniixxyyxxaybx必备知识 整合 关键能力 突破 答题规范答题过程第一步:根据题表中的数据计算出,得2分;第二步:运用公式求出,得出经验回归方程,然后进行预测,得4分;第三步:由频率分布直方图求出有意向竞拍且拟报竞价不低于1 000元的人数,得2分;第四步:求出竞拍成功的比例,然后结合频率分布直方图,预测出竞拍成功的最低报价,得4分解析解析(1)由题表中数据,得=(1+2+3+4+5)=3

11、,=(34+95+124+181+216)=130,则=45.=-=130-453=-5,故所求经验回归方程为=45x-5,令x=7,得=310,所以预测截至2020年年底该小区的私家车数量为310辆.(2)(i)由频率分布直方图可知,有意向竞拍且拟报竞价不低于1 000元的频率为(0.25+0.05)1=0.3,所以有意向竞拍且拟报竞价不低于1 000元的人数为400.3=12.(ii)因为=,所以竞价自高到低排列位于前的业主可以竞拍成功,结合频率分布直方图,预测竞拍成功的最低报价为1 000-0.4100936(元).x ybax15y15b2222( 2)( 96)( 1)( 35)01

12、 512 86( 2)( 1)012 45010aybxyy120216595953910必备知识 整合 关键能力 突破 方法归纳方法归纳建立一元线性回归模型的基本步骤:(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是响应变量.(2)画出解释变量和响应变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用经验回归方程).(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数.(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.必备知识

13、 整合 关键能力 突破 (2020福建漳州模拟)某芯片公司为了制订下一年的某种产品研发投入计划,需要了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)和年收益z(单位:亿元)的影响,为此收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据并对这些数据进行了初步处理,得到了下面的散点图及一些统计量的值.为了进一步了解年研发资金投入量x对年销售额y的影响,公司三位员工查阅大量资料,对历史数据进行对比分析,分别提出了三个回归方程模型:y=a+bx;y=c+dx2;y=fegx.必备知识 整合 关键能力 突破 (xi-)2(xi-)(yi-)(yi- 2)4066770250200 x

14、y121ix121ixy121iy(ui-)2(ui-)(xi-)(vi-)2(vi- )(yi- )3.600.499.8065.0030.00u121iu121iuxv121iv121ivy必备知识 整合 关键能力 突破 表中ui=ln yi,vi=.(1)根据散点图及表中数据,请分别选用两个比较恰当的回归方程模型,建立y关于x的回归方程;(2)(i)根据(1)中的回归方程模型,从数据相关性的角度考虑,判断哪一个更适宜作为年销售额y关于年研发资金投入量x的回归方程,并说明理由;(ii)已知这种产品的年收益z服从正态分布N(40,204.75),那么这种产品的收益超过54.31亿元的概率为多

15、少?附:经验回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘估计以及相关系数公2ixyab必备知识 整合 关键能力 突破 式:=,=-,r=;若zN(,2),则有P(-z+)=0.682 7,P(-2z+2)=0.954 5;参考数据:19.42,3.16,14.31.b121()()()niiiniixxyyxxaybx12211()()()()niiinniiiixxyyxxyy377.310204.75必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)因为散点图中x与y之间不是线性关系,所以可以判断模型不适合.故选用两个回归方程模型.令v=x2,先建立y关于v的经验回归方程:设y关于v的经验回归方程为=

16、v+.因为=6,所以=-=66-66=30,所以y关于v的经验回归方程为=30+6v,因此模型为=30+6x2.由y=fegx,得ln y=gx+ln f,令u=ln y,=g,=ln f,所以=x+,ydcd1211221()()()iiiiivvyyvv30.005.00cyd vyyu必备知识 整合 关键能力 突破 因为=0.013,所以=-=3.6-0.01340=3.08,所以u关于x的经验回归方程为=0.013x+3.08,因此模型为=e0.013x+3.08.(2)(i)模型中,相关系数r2=0.33.16=0.948,模型中,相关系数1211221()()()iiiiiuu x

17、xxx9.80770 u xuy12112122211()()()()iiiiiiivvyyvvyy30.005 20031010必备知识 整合 关键能力 突破 r3=0.505,可得r3r254.31)=0.158 65.10.682 72必备知识 整合 关键能力 突破 题型三独立性检验与概率的综合应用题型三独立性检验与概率的综合应用典例典例3某种常见疾病可分为,两种类型.为了了解所患该疾病的类型与地域、初次患该疾病的年龄(单位:岁)(以下简称为初次患病年龄)的关系,在甲、乙两个地区随机抽取了100名患者调查其所患疾病类型及初次患病年龄,得到如下数据.初次患病年龄甲地区型疾病患者人数甲地区型

18、疾病患者人数乙地区型疾病患者人数乙地区型疾病患者人数10,20)815120,30)433130,40)352440,50)384450,60)392660,7021117必备知识 整合 关键能力 突破 (1)从型疾病患者中随机抽取1人,估计其初次患病年龄小于40岁的概率;(2)记初次患病年龄在10,40)内的患者为“低龄患者”,初次患病年龄在40,70内的患者为“高龄患者”.根据表中数据,解决以下问题:(i)将以下两个列联表补充完整,并判断“地域”“初次患病年龄”这两个变量中哪个变量与所患疾病的类型有关联的可能性更大;(直接写出结论,不必说明理由)必备知识 整合 关键能力 突破 表一疾病类型

19、患者所在地域 型型总计甲地 乙地 总计 100必备知识 整合 关键能力 突破 表二疾病类型初次患病年龄 型型总计低龄 高龄 总计 100必备知识 整合 关键能力 突破 0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828(ii)记(i)中与所患疾病的类型有关联的可能性更大的变量为,试根据小概率值0.001的独立性检验,分析所患疾病的类型是否与有关.必备知识 整合 关键能力 突破 答题规范答题过程第一步:根据题表数据求出甲、乙两个地区型疾病患者的人数和型疾病患者初次患病年龄小于40岁的人数,得出概率,得4分;第二步:根据题表数据把两个列联表补充完整并给

20、出判断,得4分;解析解析(1)依题意,甲、乙两地区型疾病患者共40人,甲、乙两地区型疾病患者初次患病年龄小于40岁的人数分别为15,10,则从型疾病患者中随机抽取1人,其初次患病年龄小于40岁的概率的估计值为=.(2)(i)填写列联表如下.15 104058必备知识 整合 关键能力 突破 第三步:求出2值,并利用临界值表作出统计推断,得4分“初次患病年龄”与所患疾病的类型有关联的可能性更大.(ii)零假设为H0:所患疾病的类型与X之间无关.由(i)可知X为初次患病年龄,根据表二中的数据可得2=14.06310.828=x0.001,根据小概率值=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为所患疾病的类型与X有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.2100(2545 15 15)40604060必备知识 整合 关键能力 突破 方法归纳方法归纳本题考查频数分布表、独立性检验、概率等多个知识点,且以生活题材为背景,使整个题目显得新颖.解决本题的关键是会准确读取频数分布表中的数据,并会用频率来估计概率,充分利用22列联表,从而准确计算出2的值,并与临界值进行对比,进而作出统计推断.必备知识 整合 关键能力 突破