同济大学材料力学扭转课件

1、16-1 扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例第第1616章章 扭扭 转转16-2 自由扭转杆件的内力计算自由扭转杆件的内力计算16-3 关于切应力的若干重要性质关于切应力的若干重要性质16-4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力16-5 扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算16-6 矩形截面杆的自由扭转矩形截面杆的自由扭转16-1 16-1 扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例1 1、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭。 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例2 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。、汽车方向盘的转动轴工作时

2、受扭。3 3、机器中的传动轴工作时受扭。、机器中的传动轴工作时受扭。二、扭转的概念二、扭转的概念受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆主要发生扭转变形的杆轴轴。Am Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶em右右 图图m)(NnNnNm95491030330)(nmmdtdmdtmddtdWN一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算 设：设：轴的转速轴的转速 n 转分转分 (rmin)

3、，其中其中某一轮传输的功率某一轮传输的功率为：为： N 千瓦千瓦( KW ） 实际作用于该轮的外力偶矩实际作用于该轮的外力偶矩 m ，则，则16-2 16-2 自由扭转杆件的内力计算自由扭转杆件的内力计算外力偶矩计算式外力偶矩计算式mm0, 0mTmx T1 1、扭转杆件的内力扭转杆件的内力（截面法）（截面法）xmmmT Tx取右段为研究对象：取右段为研究对象：0, 0TmmxmT 取左段为研究对象：取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力二、扭转杆件的内力扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的圆轴受扭时其横截面上的内力内力偶矩偶矩称为称为扭矩扭矩，用符号，用符号T 表示。表示。2 2、

4、扭矩的符号规定、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断按右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向与截面的外法线方向相同与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为，则扭矩规定为正值，反之为负值。负值。T+T T3 3、内力图（扭矩图）：、内力图（扭矩图）： 表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。扭矩图作法：同轴力图：扭矩图作法：同轴力图：例例 已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 N1=500kW，从，从动轮

5、输出动轮输出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW，试绘制扭矩图。，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4 15.9(kN.m)m)(N1015.930050095499549311nNm4.78(kN.m)m)(N 1078. 4300150954995493232nNmm6.37(kN.m)m)(N10 37. 630020095499549344nNm求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩nNm9549n =300r/min，输入，输入 N1=500kW，输出输出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW

6、nA B C Dm2 m3 m1 m4nm2 m3 m1 m433A B C D1122T1T2T39.56xT（kN.m）4.786.37 , 0 , 0322mmTmx , 0, 0m34xTm0 , 021mTmx绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。m43m2m2mmkN78. 4 21 mT1-1截面：截面：2 - 2截面：截面：mkN56. 9 322mmT3 - 3截面：截面：mkN37. 6T43 m（m轴单位长度内的扭力偶矩轴单位长度内的扭力偶矩）例例 试分析图示轴的扭矩试分析图示轴的扭矩)(xlmT 表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（

7、T-x 曲线）扭矩图曲线）扭矩图截面法求扭矩截面法求扭矩T1 1、实验：、实验：16-3 关于切应力的若干重要性质关于切应力的若干重要性质一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力 薄壁圆筒轴的扭转薄壁圆筒轴的扭转0101rt , r0为平均半径）(壁厚壁厚实验实验变形规律变形规律应力的分布规律应力的分布规律应力的计算公式。应力的计算公式。2 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变

8、成了平行四边形。3 3、剪应变（角应变）：直角角度的改变量、剪应变（角应变）：直角角度的改变量 。认为剪应力沿壁厚均匀认为剪应力沿壁厚均匀分布分布, ,而且方向垂直于其半径方向。而且方向垂直于其半径方向。3 3、剪应变（角应变）：直角角度的改变量、剪应变（角应变）：直角角度的改变量 。4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力, 0（1 1）00（2 2）因为圆周上剪应变相同，所以剪因为圆周上剪应变相同，所以剪( (切）应力沿圆周均匀分布切）应力沿圆周均匀分布。（3 3）0,Dt Dt5 5、切应力的计算公式：、切应力的计算公式： dA 对圆心的矩对圆心的矩 d dAr0 02.2

9、020200trtdrrdATAtrT202d 薄壁圆筒扭转时薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力计算式横截面上的切应力计算式二、关于切应力的若干重要性质二、关于切应力的若干重要性质1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律l为扭转角为扭转角lr0即即lr0做薄壁圆筒的扭转试验可得做薄壁圆筒的扭转试验可得T 纵轴纵轴 TtrT202psblr0横轴横轴剪切虎克定律剪切虎克定律,pG)1 (2EG在弹性范围内切应力在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。与切应变成正比关系。psb从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体zyddzxddxyzabOcddxd

10、ydz 0yF0zM自动满足自动满足0 xF且由于yzxxzydddddd存在存在得得2 2、切应力互等定理切应力互等定理Me Me 切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小应力总是成对出现，并且大小相相等，等，方向同时指向或同时背离两方向同时指向或同时背离两个面的交线。个面的交线。一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）一、圆轴扭转时横截面上

11、的应力（超静定问题）几何关系：几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律物理关系：物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律静力关系静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。应力的计算公式。一）、几何关系一）、几何关系：1 1、实验：、实验：16-4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力2 2、变形规律：、变形规律： 圆周线圆周线形状、大形状、大小、间距不变，各圆周小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一线只是绕轴线转动了一个不同的角度。个不同的角度。2 2、变形规律：、变形规律：圆

12、周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3 3、平面假设：、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。小、间距不变，半径仍为直线。4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力00（1）00（2） 因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径

13、方向。力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。5 5、切应变的变化规律：、切应变的变化规律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究对象为研究对象微段扭转微段扭转变形变形 d DD D bbA ADA点处的切应变点处的切应变a点处的切应变点处的切应变dxd二）物理关系：二）物理关系： 弹性范围内弹性范围内PmaxG GdxdG方向垂直于半径。方向垂直于半径。d / / dx扭转角变化率扭转角变化率 扭转切应力分布扭转切应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）dxddxdG三）静力关系：三）静力关系：AdAATAdAIApd2令xGI Tpdd

14、 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pIT圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。pGITx dd dAdAdAAxGAddd 2AxGAddd2OA扭转扭转变形计算式变形计算式dxdG?dxd横截面上横截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：PWTmaxmax三、公式的使用条件：三、公式的使用条件：1 1、等直的圆轴，、等直的圆轴， 2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定44,

15、 mmm.,33mmm单位单位：maxpPIW PWpIT圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式: :四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心圆截面：实心圆截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面33p16dDW44p32dDIDdOdmN1993605 . 795509550nNmmN199

16、 mT441cm95. 732DIP4442cm38. 632dDIPMPa5 .37Pa105 .37261maxDITPACAC外MPa8 .46Pa108 .462DIT62PCBCBmax外解：（解：（1 1）计算外力偶矩、扭矩）计算外力偶矩、扭矩由截面法（2 2）计算极惯性矩）计算极惯性矩 , AC, AC段和段和CBCB段段横截面的极惯性矩分别为横截面的极惯性矩分别为 （3 3）计算应力）计算应力 minr/360n，kW5 . 7Ncm3Dcm2d例例 AB轴传递的功率为轴传递的功率为，转速，转速 。 如图所示，轴如图所示，轴AC段为实心圆截面，段为实心圆截面，CB段为空心圆截面

17、。段为空心圆截面。已知已知。试计算试计算AC以及以及CB段的最大切应力。段的最大切应力。1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度: : .)1 (16,16433空心空心实心实心DDWP16-5 16-5 扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算PWTmaxmax PWmaxT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外载荷）确定外载荷: :maxTPWm一、一、 扭转强度计算扭转强度计算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :例例 已知已知 T =1.5 k

18、N . m， = 50 MPa，试根据强度条件设，试根据强度条件设计实心圆轴与计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。的空心圆轴。解：解：1. 1. 确定实心圆轴直径确定实心圆轴直径 316dT 316 Td mm 54 d实心轴取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxdT 2. 2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1 (1643DT mm 3 .76)1 (1634TDmm7 .68 Dd mm 68 mm 76 dD，取：3. 3. 重量比较重量比较%5 .394)(4222ddD空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻43p116DW

19、 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，试试根据强度条件根据强度条件设计实心圆轴与设计实心圆轴与 = = 0.9 的空心圆轴。的空心圆轴。mm 54 d实心轴取：解：1. 计算扭矩作扭矩图计算扭矩作扭矩图例 R050 mm的的薄壁圆管，左、右薄壁圆管，左、右段的壁厚段的壁厚分别为分别为 d d1 1 5 5 mm，d d2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，试校核圆管强度。试校核圆管强度。2. 2. 强度校核强度校核危险截面：危险截面：1202d d RTAA 2202d d RTBB 截面截面 A 与与 BMPa 6 .442120 d d RmlMPa 9 .2722220 d d Rml圆管强度足够圆管强度足够 R050