指对数函数衔接课(教案)

1、学科教师辅导教案学员编号:学员姓名:级：新高辅导科目：数学课时数：3 学科教师：授课类型授课日期及时段T知识点梳理C分类题型T综合运用教学内容党1同为（一）指数与指数骞的运算1 .根式的概念：一负数没有偶次方根;般地，如果a ,那么x叫做a的n次方根，其中n >1,且n e N .0的任何次方根都是 0,记作炕0。当n是奇数时，qa彳a ,当n是偶数时，van | a |(a 0)a (a 0)2.分数指数哥正数的分数指数哥的意义，规定:manma nn m /、a (aQ m, n*N ,n 1)1m ann1 (a*0,m, n N , n 1)0的正分数指数哥等于3.实数指数哥的运

2、算性质0的负分数指数哥没有意义(1)(a 0,r,s R)；(2)r s(a )rsa(a Qr,s R);(3)(ab)r(a0,r,s R).（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地, 数的定义域为R.函数y ax(a 0,且 a1）叫做指数函数，其中 X是自变量，函注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和2.指数函数的图象和性质a>10<a<125651 J411321 1一.-210-2定义域R定义坦R值域y>0值域y>0在R上单 调递增在R上单 调递减非奇非偶 函数非奇非偶 函数函数图象 都过定点 (0, 1)函数图象 都过定点(0

3、, 1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在a,b上，f(x) ax(a 。且 a1)值域是f (a),f (b)或f (b),f(a)若x 0,则f(x) 1； f(x)取遍所有正数当且仅当x R;(3)对于指数函数f(x) ax(a 0且a1),总有f(l) a；考向一指数哥的化简与求值【例1】？化简下列各式(其中各字母均为正数).-2 a- 5 b3；a2 b 1 3 5 121123 1(2守§ b 2(3a 2b 1)刊a§ b 岳 审题视点熟记有理数指数哥的运算性质是化简的关键.(1)原式=1111a-3b2 ”2b3a6b61 ="3

4、1_12-6bL +1-5b2 3 651 323 151 313(2)原式=ga6b Fag b 3)q= _ 4a 6b +a3b 55135 15 ab=4"2b 一 丁一4 痛 4ab2.方法总结化简结果要求 (1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数哥的形式给出，则结果用分数指数哥表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数哥，也不能既有分母又有负指数哥.【训练1】计算： (1)0.027-3-7 2+ 29 (V2-1)0；(2)1 _14ab 1 342 0.1 2 a3b 3 2(1)原式=271 0002591051 = 3 49+31 =

5、45.(2)原式=41 4342 33 3100 a2 " 2 b2b-2A.25aof.考向二指数函数的性质【例1】求下列函数的定义域与值域:1 (1)y = 32x (2)y = £'2x2 1(3)y = v 3 3x1解 (1)定义域为x C R且xw2 .值域y >0 H y 1 .(2)由 2x+2-1>0,得定义域x|x 2,值域为 y>0.(3)由 3 3x-1 >0,得定义域是x|x <2 ,0<3-3x-1<3,1练习：y 2氏y守；(3) y 4x 2x 1 1;【例2】指数函数y=ax, y=bx,

6、y = cx, y=dx的图像如图2. 62所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 A. avb1vcvdB. a< b< 1 <d< cC. b v av 1 v dv cD. cvdv1vavb解 选(c),在x轴上任取一点(x , 0), 则得 bv av 1 v d v c.练习：指数函数/（工）三倒"鼠用"疗满足不等式1）理）布）口 ,则它们的图象是（）.【例3】比较大小:亚、也、钝、冢8、9，16的大小关系是:3（2）4(2)0.6 5(3)4.5 4.1 3.7 3.62_3_425 , V8 2.，9彳6 2 ,_1_1_解;也2

7、2 ,4223 , V4函数y=2x, 2>1,该函数在（一°°, +oo）上是增函数, 又1<8<5<9<；底<版</跟亚43 1解（2） v 0.6 5>1, 1>（_）2,243 1 0.65 > 勺）2 解（3）借助数4.5 3.6打桥，利用指数函数的单调性， 4.5 4.1 >4.53.6,作函数y1 = 4.5x, y2=3.7x的图像如 图 2. 6-3,取 x=3.6 ,得 4.5 3.6 >3.7 3.64.5 4.1 >3.7 3.6说明 如何比较两个哥的大小：若不同底先化为同

8、底的哥， 再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的（1） .若是两个不同底且指数也不同的哥比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的（2）.其二构造一个新的哥作桥梁，这个新的哥具有与4.5 4.1同底与3.7 3.6同指数的特点，即为 4.53.6（或3.74.1）,如例2中的练习： （1） 1. 72.5 与 1 .73（2 ） 0.8 0.1 与 0.8 0.2（3 ） 1.70.3 与 0. 93.12.12.0（4）3.5 和2.72【例4】比较大小n7与式7a>0且awi, n>1).nf1解aEnan 1r1当0<a< 1, , n>1,-

9、>0, n(n 1)1 n(n 1)n 1 n j n n 1 a < 1, - a < <a、“-1当a> 1时，n>1, >0,n(n 1)1n(n 1)n 1 n 、 n n 1- a >1,<a > <a【例5】作出下列函数的图像：1,x 1x(1)y =(2)(2)y=2 2,(3)y =2|x-1|(4)y =|1 3x|.11 一解(1)y=(1)的图像(如图2. 64),过点(0,鼻)及(一1, 1). 1是把函数y=(1)x的图像向左平移1个单位得到的.解（3）利用翻折变换，先作y=2|x|的图像，再把y =

10、2|x|的图像向右平移1个单位，就得y = 2|x-1|的图像解（4）作函数y = 3x的图像关于x轴的对称图像得 y=3x的图像，再把y = 3x的图像向上平移1 个单位，保留其在 x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.*能力指数函数的综合应用 例题【例8】已知f(x)xaxa1-(a>1) (1)判断 f(x) 1的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(一8, +oo )上是增函数.解(1)定义域是R.ax 1一 f(x),，函数f(x)为奇函数.x(2)函数 y= *yW 1, 有 ax =y 1->01 y-1<

11、;y<1,即 f(x)的值域为(1, 1).(3)设任意取两个值x/*26(8, +oo )且*1<*2. f(x1) f(x 2)axl 1 ax2 12(axl ax2)(axl1)(ax21), a> 1, x1 <x2,axYax2, (ax1 + 1)(ax2 + 1)>0, .f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数.练习：1. (1)k为何值时,方程|3x1|=k无解？有一解？有两解?(2)已知定义在R 上的函数 f(x) = 2x-2-x|.若 f(x) = |,求x的值;若2tf(2t) + mf(t) > 0对于tC 1,2

12、恒成立，求实数 m的取值范围.思维启迪方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决.解(1)函数y= |3x1的图象是由函数 y= 3x的图象向下平移一个单位后，再把位于卜方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.当k<0时，直线y= k与函数y=|3x1的图象无交点，即方程无解；当k=0或k>1时，直线y=k与函数y=|3x1的图象有唯一的交点,所以方程有一解;当0<k<1时，直线y=k与函数y=出一1的图象有两个不同的交点，所以方程有两解.(2)当x<0时，f(x)=0,无解;1当 x>0 时，f(x)=2

13、x咨，13由 2x一彳导 2 22x-3 2x-2= 0,看成关于2x的一元二次方程，解得2x= 2或2,'1 2x>0,x= 1.当 te 1,2时，2t 22t-22t +m2t-2t >0,即 m(22t1) (24t1), -22t-1>0, .1.m> -(22t+1),- te 1,2, . DC 17, 5,故m的取值范围是5, +8).思维升华对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x) = g(x)解的个数即为函数 y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构.2.设函

14、数f(x) = kaxa-x(a>0且aw1)是定义域为R的奇函数.(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x) + f(x4)>0 的解集；(2)若 f(1)=U,且 g(x) = a2x+a-2x4f(x),求 g(x)在1 , +°o)上的最小值.解 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以 f(0)=0,所以 k1 = 0,即 k= 1.(1)因为 f(1)>0,所以 a-1>0,又 a>0 且 aw1, a所以a>1.因为 f' (x)=axln a + a xln a=(ax+a x)ln a>0,所以f(x)

15、在R上为增函数，原不等式可化为f(x2+2x)>f(4 x),所以 x2+ 2x>4 x,即 x2 + 3x4>0,所以x>1或x< 4.所以不等式的解集为xx>1或x< 4.(2)因为 f(1) = |,所以 a：=3,1即 2a23a2=0,所以 a= 2 或 a= 2(舍去).所以 g(x)= 22x+ 2 2x 4(2x 2 x) = (2x 2 x)2 4(2x 2 x)+ 2.一 , 一， _3令 t(x) = 2x-2 x(x> 1),则 t(x)在(1, +8)为增函数(由(1)可知)，即 t(x)>t(1)=-,所以原函数

16、为 co(t) = t24t+2=(t2)22,所以当 t=2 时，co(t)min = 2,此时 x= 10g2(1+打).即g(x)在x= log2(1 + 42)时取得最小值一2课后作业1、化简132A、1322、VVa9A、16a3、1,bA、4、函数f(x)A、5、A、6、A、7、2 16B、140,且ab卜列函数式中，满足12(x 1)卜列f（x）奇函数已知a(1b, ab13212 3212 32C、2#,则 aba b的值等于（在R上是减函数，则a的取值范围是a .2,2f(x 1)X2 x 日a ）中是（、偶函数0,下列不等式1， ，一尸的是（）(1)立的有（)A、1个8、函

17、数yB、2个C2x 12-1 是()2x 1A、奇函数B 、偶函数C9、函数yA、,11的值域是()2x 1B 、,0 U 0,10、已知0a 1,b1,则函数yA、A象限11、若 10xB 、第二象限C3,10y 4,则 10x y _、2x、非奇非偶函数22aa b ； (2) 2、既奇又偶函数1,D、既奇且偶函数D、非奇非偶函数xa b的图像必定不经过（(4)、（，1）U、第三象限D 、第四象限11a*b3 ；b1中恒成30,2x2 8x 112、函数y1(3< x<31)的值域是13、函数y32 3x2的单调递减区间是O14、设0a1,解关于x的不等式2x2 3x 22x2

18、 2x 3aa。1115、已知x 3,2 ,求f(x) 1的最小值与最大值。4216、设 aa 2x a 2R， f(x) x(x2x 1R),试确定a的值，使f(x)为奇函数。答案题号 1234567891011、12、13、14答案 ACCDDBCADA0,39，令Uy 0 39。，令 y 3U2x2,U8x 12(x2)2 9,30xW1,9&UW 9,又 yU为减函数,3x3U为增函数,-2 3x2 ,、，、32 3x的单调递减区间为0,2x2 a3x 22x22x 32x23x2 2x2 2x15、f(x)3,2 , .1<24则当1 ,一,即x 1时,2f (x)有最

19、小值3时,f( x)有最大值57。16、要使f (x)为奇函数,R,.需 f(x) f (x) 0,2 一、a 二，f ( x) a21x 122x a2 x 12x2 a2x 12x 1-0 ,得 2a 12(2x2xJ)11.对数的概念(1)对数的定义当x> 1时，y>0当0Vx< 1, y<0当 x> 1 时，y<0 当 0Vx< 1 时，y>0是(0, +00)上的增函数是(0, +00)上的减函数4.反函数指数函数y= ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线 y= x对称.一种思想 对数源于指数，指数式和对数式可以互

20、化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明，两个防范 解决与对数有关的问题时,一 (1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的一取值范围二三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1), (1,0)5 1., - 1 . a四种方法对数值的大小比较方法411化回底后利儿函数的单调性一.一作差或作司法工利川担间量一。或一 1)(一4)一化同真数后利川图 象比较.考向一对数式的化简与求值【例11 ?求值：log89log23;(2)(lg 5)2+lg 50 1g 2;132 4(3)引g 49-31g V8+ig V245.审题视点运用对数运算法则及换底公式.2

21、解原式=9=3.(2)原式=(1g 5)2+1g(10X5)1g 105=(1g 5)2+ (1 + 1g 5)(1 1g 5) = (1g 5)2+1-(1g 5)2= 1.14 31(3)法一 原式=/51g 2-21g 7) 3 X 引g 2 + 2(21g 7 + 1g 5)51111= 21g 2-1g 7-21g 2+1g 7 +21g 5 = 2(1g 2+ 1g 5)=引g 10=2.法二原式= 1g42- 1g 4+1g(7 乖)=1g4* :y=1gV!o= 1.方法总结对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、 对数恒等式和对数的换底

22、公式进行.在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等 价性和对数式与指数式的互化.1 1【训练11 (1)若2a=5b=10,求a + b的化(2)若 x1og34=1,求 4x+4-x 的值.解 (1)由已知 a=1og210, b=1og510,-J 1则1+ b= 1g 2+1g 5 = 1g 10=1.(2)由已知 x=1og43,E3 一110则 4x+4 x= 41og43 + 4-1og43 = 3 + - = .3 3考向二对数值的大小比较【例2】？已知f(x)是定义在(一8, +oo)上的偶函数，且在(一OO, 0上是增函数，设a = f(1og47), b =

23、 f(1ogL3), c=f(0.2 0.6),则 a, b, c 的大小关系是().2B. c<b<aA . c< a< bC. b< c< aD. a<b<c审题视点利用函数单调性或插入中间值比较大小.11解析 10g23= 1og23= 1og49, b=f(1og23) = f( 1og49) = f(1og49), 10g47< 1og49,0.2 0.6=5 > 32=2>log49,又f(X)是定义在(一8, +OO)上的偶函数，且在(8, 0上是增函数，故f(X)在0, + °°)上是单调递减

24、 的，1 . f(0.2 °.6)<f(log23)<f(log47),即 c<b<a,故选 B.答案 B方法总结一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理，一般是利用中间值来比较大小，同指(同 真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决.1 【训练 2】 设 a=log32, b=ln 2, c=5 2，则（）.A . a< b< c B. b< c<a C. c< a< b D. c< b< a1.一111 一一解析 法一 a=l0g32=log23, b=ln 2=log2e, 而 log23

25、>log2e> 1,所以 a<b, c= 52=75,而J5> 2=log24>log23,所以 c<a,综上 c<a<b,故选 C.法二 a=log32=i 1 O, b=ln 2= J, 1 <log2e<log23<2, ' <1一<1； c= 5 4 =<7= 丫log23'log2e'g g 2 log23 log2e'2 q5 y41=2,所以c<a<b,故选C.答案 C考向三对数函数性质的应用【例3】？已知函数f(x) = loga(2ax),是否存在实

26、数a,使函数f(x)在0,1上是关于x的减函数，若存 在，求a的取值范围.a>1审题视点a>0且a*1,问题等价于在0,1上恒有八 八.2 ax> 0解, , a>0,且 aw 1,. u=2ax在0,1上是关于x的减函数.又f(x) = loga(2ax)在0,1上是关于x的减函数，函数y= logau是关于u的增函数，且对xC0,1时，u = 2 ax恒为正数.其充要条件是a>12a>0,即 1<a<2.；a的取值范围是(1,2).方法总结研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则.研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题

27、.复合函数的单调性的法则是“同增异减”.本题的易错点为：易忽略 2 ax>0在0,1上恒成立，即2 a>0.实质上是忽略了真数大于0的条件.【训练3】已知f(x)=log4(4x 1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性；1 一 ，一(3)求f(x)在区间2 2上的值域.解(1)由 4x 1>0 解得 x>0,因此f(x)的定义域为(0, +00).(2)设 0<x1 <x2,贝U 0<4x1 1<4x2 1,因此 log4(4x1 1)<log4(4x21),即 f(x1)<f(x2), f(x)在(0, + 00 )上递

28、增.、1(3)f(x)在区间2, 2上递增,1又 f 2 =0, f(2) = log415,一一 ，1因此f(x)在2上的值域为0, log415.对数函数有关的解不等式问题21 x, x01,【示例】？设函数f(x)=则满足f(x) < 2的x的取值范围是1 lOg2x, x>1 ,I由叶”分段函数分段求解JL 当< I时仆.所以俅解)一，1、当上 '、【时】一teg 3我“3.所以J国领一工)金；2的的取他地闱是了,f =7I -(<_> .解这类问题.除经过讨论代入函数解析式外, 史沙-任用到函数用网性直接求解2、已知函数 f (x) loga(1

29、 ax)(其中 a 0 , a 1)。(1)求反函数f 1(x)及其定义域; 解关于x的不等式loga(1 ax) f 1(1)解1)当0 a 1时，由1 ax0得出函数定义域x (0 ,)；当2 1时，由1 ax0得函数定义域为x (,0)。x、yx由 y log a(1 a ) a 1 aax 1 ay x loga(1 ay)则f 1(x) loga(1 ax)故当 0 a 1时，f 1(x) loga(1 ax), x (0,)；当 a 1 时，f 1(x) loga(1 ax) , x (,0) loga(1 ax) f 1(1)loga(1 ax) log a(1 a)由1 a 0

30、0 a 1则原不等式1ax1 a axax1x0x0x0课堂检测1. 2 10g510+log50.25=().A. 0 B. 1 C. 2 D. 4解析 原式=10g5100+log50.25= 10g525 = 2.答案 C2.已知 a=log0.70.8, b=log1.10.9, c= 1.10.9,则 a, b, c 的大小关系是().A . a< b< cB. a< c< b.10.9>1.C. b<a<cD. c<a<b解析 将三个数都和中间量1相比较：0<a=log0.70.8<1, b=log1.10.9<

31、;0, c= 1答案 C3 .函数 f(x) = log2(3x+ 1)的值域为().A. (0, +8)B. 0, +oo)C. (1, +00)D. 1 , +00)解析设丫= f(x), t=3x+1.则 y=log23 t=3x+1, x R.由y=log2t, t>1知函数f(x)的值域为(0, 十 °°).答案 A4 .下列区间中，函数f(x) = |ln(2 x)|在其上为增函数的是().4 八 3A.(一巴 1 B. -1, 3 C. 0, 2 D. 1,2)解析 法一 当2x> 1,即x0 1时，f(x)=|ln(2x)| = ln(2 x),

32、此时函数f(x)在(一8,1上单调递减.当 0<2-x<1,即 10x<2 时，f(x)=|ln(2 x)|= ln(2 x),此时函数 f(x)在1,2)上单调递增，故选 D.法二f(x)= 11n(2 x)|的图象如图所示.小但叩：2 3 4 >由图象可得，函数f(x)在区间1,2)上为增函数，故选D.答案 D-2，5 .右1oga>1,则a的取值氾围是3课后作业lgi-lg25+ln Je + 2L231、求 4的值. 一 1 x2、已知 f(x) = log (a>0 , aw1). a 1 x求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明

33、； 求使f(x)>0的x的取值范围.解(1)f(x) =ioga 1-K,需有 Lx>0,即(1 + x)(1 x)>0 ,即(x + 1)(x 1)<0 , 1<x<1.，函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)为奇函数，证明如下：匕. f( x) =loga = logaU-41I + '=loga一 = f(x) f(x)为奇函数.1 + M.(3)loga 1x>o(a>o , aw1),1 +三当0<a<1时，可得0<L先<1,解得1<x<0.又1<x<1,则当0<

34、a<1时，f(x)>0的x的取值范围为(一1,0).1 + x当a>1时，可得x>1,解得0<x<1.即当a>1时，f(x)>0的x的取值范围为(0,1).综上，使f(x)>0的x的取值范围是：a>1 时，x (0,1) ； 0<a<1 时，x (-1,0).3、已知函数,=1呜+ 1)。(1)求证：函数八工)在(一叫依)内单调递增；(2)记/ 7打为函数产值)的反函数。若关于*的方程/ 1二尴+ ”工)在L2上有解，求解的取值范围。证明(1)任取占电，则"2苟+】硝-5)二】修n Q 十。7鸿式2坨+1卜卜孙百下 一 ?; 丁之工二，= Q < 2y, +1 < 2携 +1<Uog22r, -bl2问+1<0- 八工”了出),即函数/在(-8，+°°)内单调递增。(2)二阳的取值范围是4、已知函数 个)=够(八吁且川) = 1/2”吗12,(1)求白、%的值；(2)当天巨口2时，求的最大值 解：(1)相=4 ,8=2/=电(47)工32_ ,r _1Y_2令辽= 4