第六章规划模型-颜文勇

1、1. 1.掌握建立线性规划问题、整数规划问题和非掌握建立线性规划问题、整数规划问题和非线性规划问题模型的方法；线性规划问题模型的方法； 2. 2.掌握求解线性规划问题、整数规划问题和掌握求解线性规划问题、整数规划问题和非线性规划问题的求解方法；非线性规划问题的求解方法；3. 3.了解多目标规划的建立及求解方法了解多目标规划的建立及求解方法 数学规划是指在一项活动中决策者如何采用最数学规划是指在一项活动中决策者如何采用最好的资源配置方式以获得最大效用或达到最佳效好的资源配置方式以获得最大效用或达到最佳效果如利用有限的人力、物力、资金等资源使得生果如利用有限的人力、物力、资金等资源使得生产活动支付

2、的成本最小或获得的利润最大数学规产活动支付的成本最小或获得的利润最大数学规划问题一般是求在给定条件下目标函数的最大值划问题一般是求在给定条件下目标函数的最大值（max）或最小值（）或最小值（min），其一般形式为），其一般形式为1,2min(max)(,)nzf x xx或1212(,)0 (1,2,). .(,)0 (1,2,)ining x xxims th x xxil目标函数标函数决策变量决策变量约束条件约束条件数学规划模型的结构一般包括以下三个方面：数学规划模型的结构一般包括以下三个方面：1 1决策变量决策变量：该问题的决定因素，也是通过模型：该问题的决定因素，也是通过模型建立与求解

3、将确定的未知量建立与求解将确定的未知量2 2目标函数目标函数：指所关心的目标：指所关心的目标( (某一变量某一变量) )与相关与相关的因素的因素( (某些变量某些变量) )的函数关系的函数关系3 3约束条件约束条件：实现目标的制约因素：实现目标的制约因素 6.1.1 生产活动问题生产活动问题 6.1.2 运输问题运输问题 6.1.3 投资问题投资问题线性规划模型的一般形式为：线性规划模型的一般形式为： nnxcxcxcz2211minnjxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsjmnmnmmnnnn, 2 , 1, 0)()()(. .22112222212111212111或表示为：

4、或表示为： njjjxcz1min., 2 , 10., 2 , 1,(. .1njxmibxatsjijnjij），其中，其中， ),2, 1( ,njcj),2, 1(mibi),2, 1;,2, 1(njmiaij为已知常数，为已知常数， ),2, 1(njxj为为决策变量决策变量， njjjxcz1为为目标函数目标函数 问题问题1 1 【生产安排模型生产安排模型】 咏乐豆腐店用不同质量的黄豆制作两种不同口咏乐豆腐店用不同质量的黄豆制作两种不同口感的豆腐制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要一级感的豆腐制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要一级黄豆黄豆0.2kg0.2kg及二级黄豆及二级黄豆0.1kg0

5、.1kg，售价为，售价为5 5元元/kg/kg；制作；制作口感较厚实的豆腐每千克需要一级黄豆口感较厚实的豆腐每千克需要一级黄豆0.1kg0.1kg及二及二级黄豆级黄豆0.3kg0.3kg，售价，售价3 3元元/kg/kg现小店购入现小店购入9kg9kg一级黄一级黄豆和豆和8kg8kg二级黄豆问豆腐店应制作两种豆腐各多二级黄豆问豆腐店应制作两种豆腐各多少少kgkg，才能获得最大收益，最大收益是多少，才能获得最大收益，最大收益是多少？ 一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明1.1.假设制作的各种豆腐均能全部售完假设制作的各种豆腐均能全部售完 2.2.假设豆腐售价无波动假设豆腐售价无波动 3.

6、3.设计划制作口感鲜嫩和厚实的豆腐各设计划制作口感鲜嫩和厚实的豆腐各 x1kg和和x2kg，可获得可获得R元收益元收益 二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立 该问题是在原材料一定的情况下确定各种豆腐的该问题是在原材料一定的情况下确定各种豆腐的生产量，以获得最大收益生产量，以获得最大收益. .目标：目标：获得的总收益最大而总收益可表示为获得的总收益最大而总收益可表示为 2135xxR约束条件：约束条件： 1受一级黄豆数量的限制：受一级黄豆数量的限制： 91 . 02 . 021xx2受二级黄豆数量的限制：受二级黄豆数量的限制： 83 . 01 . 021xx综上分析，得到该问题的线性规划模型

7、综上分析，得到该问题的线性规划模型 2135maxxxR0,83 . 01 . 091 . 02 . 0. .212121xxxxxxts三、模型求解三、模型求解x=sdpvar(1,2);C=5 3;a=0.2 0.1;0.1 0.3;b=9 8;f=C*x;F=set(0=x=inf);F=F+set(a*x=b);solvesdp(F,-f);double(f)double(x) 据此建立此问题的据此建立此问题的m m文件文件fun6_1.mfun6_1.m 运行结果如下运行结果如下： ans = 232 ans = 38.0000 14.0000 由此可知，制作口感鲜嫩和由此可知，制作

8、口感鲜嫩和口感厚实两种豆腐分别为口感厚实两种豆腐分别为38kg38kg、14kg14kg时豆腐店可获得时豆腐店可获得最大收益最大收益, , 最大收益为最大收益为232232元元 拓展思考拓展思考 若豆腐店还要用黄豆生产豆浆，而每若豆腐店还要用黄豆生产豆浆，而每制作制作1kg1kg豆浆需要一级黄豆豆浆需要一级黄豆8080克，又已知豆克，又已知豆浆的售价为浆的售价为1 1元元/kg/kg，受销量影响，每天最，受销量影响，每天最多只能生产多只能生产200kg200kg豆浆问豆腐店该如何安豆浆问豆腐店该如何安排生产量，才能使收益最高排生产量，才能使收益最高 建立规划模型的一般步骤建立规划模型的一般步骤

9、 1. 形成问题形成问题：提出最优化问题，包括叙述目标是：提出最优化问题，包括叙述目标是什么？约束条件是什么？求什么变量？什么？约束条件是什么？求什么变量？ 2 2建立模型建立模型：建立最优化问题的数学模型，确：建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出目标函数及约束式（等式或不等定变量，列出目标函数及约束式（等式或不等式）式） 3.3.分析模型分析模型：选择合适的求解方法目前，一般：选择合适的求解方法目前，一般利用计算机辅以计算利用计算机辅以计算 YALMIP（Matlab优化工具箱）求解线性规划，整数规划，非线性规划，优化工具箱）求解线性规划，整数规划，非线性规划，混合规划混合规划YALMI

10、P工具箱求解规划问题的方法如下：工具箱求解规划问题的方法如下：定义变量：定义变量：sqdvar（）（）:实型实型intvar（）（）:整型整型binvar（）（）:0-1型型设定目标函数设定目标函数 :f=目标函数目标函数设定限定条件：设定限定条件：F=set（限定条件）（限定条件）多个限定条件用加号相连：多个限定条件用加号相连：F=set（限定条件）（限定条件）+set（限定条件（限定条件1）+set（限定条件（限定条件2）求解：求解： solvesdp（F,f）这里解得是这里解得是F条件下目标函数条件下目标函数f的最小值，要求最大值的最小值，要求最大值f前面加个负号前面加个负号求解之后查看

11、数值求解之后查看数值 :double（f） double（变量）（变量） 一般地，设某公司有一般地，设某公司有m种资源种资源 B1,B2,Bm,生产生产n种种不同的产品不同的产品A1,A2,An其单位利润等有关数据见其单位利润等有关数据见表表6-26-2，问如何安排生产使总利润最大，问如何安排生产使总利润最大 产品产品资源资源A1A2An总量总量B1a11 a12 a1n b1B2a21 a22 a2n b2 Bmam1 am2 amn bm 单位利润单位利润c1 c2cn 设设xj表示第表示第j种产品的产量，则可得线性规划模型如下：种产品的产量，则可得线性规划模型如下： jnjjxcz1ma

12、x., 2 , 1, 0, 2 , 1,. .1njxmibxatsjinjjij若还要考虑固定成本，则需要引入若还要考虑固定成本，则需要引入0-10-1变量设第变量设第j j种种产品的固定成本为产品的固定成本为Mj，第第j种产品产量的上界为种产品产量的上界为Lj，引引入入0-10-1变量变量 种产品，不生产第种产品，生产第，jjyj, 01则模型为则模型为 jnjjjnjjyMxcz11-max., 2 , 1, 10, 2 , 1,0, 2 , 1,. .1njynjyLxmibxatsjjjjinjjij或问题问题3 3 【蔬菜运送模型蔬菜运送模型】 某市东、南、西三个蔬菜基地某市东、南

13、、西三个蔬菜基地要向市内东、南、西、北四个菜市要向市内东、南、西、北四个菜市场运送蔬菜以保证该市居民每天的场运送蔬菜以保证该市居民每天的蔬菜需求东南西三个蔬菜基地的蔬菜需求东南西三个蔬菜基地的蔬菜供应量分别为蔬菜供应量分别为2000T2000T，2500T2500T，3000T3000T东、南、西、北四个菜市场东、南、西、北四个菜市场蔬菜需求量分别为蔬菜需求量分别为2000T2000T，2300T2300T，1800T1800T，1400T1400T每吨蔬菜的运送费每吨蔬菜的运送费用见表用见表6-36-3问应该如何制订运送方问应该如何制订运送方案才能使运费最省案才能使运费最省 市场市场蔬菜蔬菜

14、 基地基地市场东市场东市场南市场南市场西市场西市场北市场北基地东基地东21271340基地南基地南45513720基地西基地西32352030表表6-3一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明1. .假设运输费用不受其他因素影响假设运输费用不受其他因素影响 2.2.假设只考虑各市场对蔬菜总量的要求，而不考假设只考虑各市场对蔬菜总量的要求，而不考虑各个市场对不同种类蔬菜需求量的要求虑各个市场对不同种类蔬菜需求量的要求 3.3.设东、南、西蔬菜基地分别运往东、南、西、设东、南、西蔬菜基地分别运往东、南、西、北市场的蔬菜数量为北市场的蔬菜数量为 xij，每吨蔬菜运费为每吨蔬菜运费为cij，其中其

15、中i=1,2,3表示东、南、西蔬菜基地，表示东、南、西蔬菜基地， j=1,2,3,4表示东、南、西、北市场表示东、南、西、北市场 二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立该问题要求制定不同蔬菜基地向不同菜市场运送蔬菜该问题要求制定不同蔬菜基地向不同菜市场运送蔬菜的数量，使得在满足居民日常蔬菜需求的条件下运送的数量，使得在满足居民日常蔬菜需求的条件下运送蔬菜的费用最低通过简单分析，发现蔬菜的费用最低通过简单分析，发现3 3个蔬菜基地个蔬菜基地的蔬菜供应总量恰好等于的蔬菜供应总量恰好等于4 4个市场的需求总量个市场的需求总量 目标：目标：运送蔬菜总的费用最省其中运送蔬菜的总费运送蔬菜总的费用最省其

16、中运送蔬菜的总费用为用为 3141ijijijxcP约束条件：约束条件： 1受蔬菜基地蔬菜产量的限制，运往四个市场的蔬受蔬菜基地蔬菜产量的限制，运往四个市场的蔬菜总量要等于该基地产量，如以基地东为例，有菜总量要等于该基地产量，如以基地东为例，有 200014131211xxxx2受市场蔬菜需求量的限制，不同基地运往同一市受市场蔬菜需求量的限制，不同基地运往同一市场蔬菜的总量应等于其需求量，如以市场东为例，有场蔬菜的总量应等于其需求量，如以市场东为例，有 2000312111xxx综上分析，得到该问题的线性规划模型综上分析，得到该问题的线性规划模型 3141minijijijxcP4,3,2,1

17、,3,2,1,01400180023002000300025002000.342414332313322212312111343332312423222114131211jixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsij三、模型求解三、模型求解x=intvar(3,4);C=21 27 13 40;45 51 37 20;32 35 20 30; a=2000 2500 3000;b=2000 2300 1800 1400;f=sum(sum(C.*x); F=set(0=x=inf); F=F+set(sum(x)=a)+set(sum(x)=b);solvesdp(F,f)do

18、uble(f)double(x) 据此建立此问题的据此建立此问题的m文件文件fun6_3.m 运行结果如下：运行结果如下： ans = 204100ans = 2000 0 0 0 0 1100 0 1400 0 1200 1800 0由此可以得到蔬菜运输费用最省的运送方案，见表由此可以得到蔬菜运输费用最省的运送方案，见表6-4 表表6-4 市场市场蔬菜蔬菜基地基地市场东市场东市场南市场南市场西市场西市场北市场北基地东基地东542642475341基地南基地南666767600467基地西基地西792891725592拓展思考拓展思考 1. 1. 如果各市场对普通蔬菜和反季节蔬菜有不如果各市场

19、对普通蔬菜和反季节蔬菜有不同的要求，问又该如何建立模型同的要求，问又该如何建立模型2. 2. 在考虑两类蔬菜调配方案的基础上，能否在考虑两类蔬菜调配方案的基础上，能否推广至一般情形推广至一般情形问题问题4 4 【装货模型装货模型】 远洋号货轮有前、中、后三个舱位，它们的容远洋号货轮有前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量见表积与最大允许载重量见表6-56-5现有三种货物待运，现有三种货物待运，相关数据见表相关数据见表6-66-6问该货轮应装载问该货轮应装载A A、B B、C C各多少各多少件才能使运费收入最大件才能使运费收入最大 前舱前舱中舱中舱后舱后舱最大允许载最大允许载重量（重量（

20、t t）200020003000300015001500容容 积积（m m3 3）400040005400540015001500表表6-56-5表表6-66-6商品商品数量数量( (件件) )每件体积每件体积(m(m3 3/ /件件) )每件重量每件重量(t/(t/件件) )运价运价( (元元/ /件件) )A6001081000B100056700C80075600一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明1.假设物资装运时货物之间的空隙忽略不计假设物资装运时货物之间的空隙忽略不计2.2.假设每件货物不能拆分装载假设每件货物不能拆分装载3.3.假设货物的重量无差异假设货物的重量无差异4.

21、4.只考虑货物体积限制，不具体考虑货物长宽高只考虑货物体积限制，不具体考虑货物长宽高等尺寸的限制等尺寸的限制 5.5.设商品设商品A、B、C分别装入前舱、中舱、后舱的分别装入前舱、中舱、后舱的数量为数量为xij，i=1,2,3，j=1,2,3 二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立 该问题要求在满足不同舱位对重量和体积的限制该问题要求在满足不同舱位对重量和体积的限制条件下合理安排各种货物的装载数量，以获得最大收条件下合理安排各种货物的装载数量，以获得最大收入入 目标：目标：运费总收入最大其中运费总收入函数为运费总收入最大其中运费总收入函数为 3331231111000700600iiiiii

22、Rxxx约束条件：约束条件： 1受船舱重量限制受船舱重量限制( (以前舱为例以前舱为例) )： 2受船舱容积限制受船舱容积限制( (以前舱为例以前舱为例) )： 1121318652000 xxx11213110574000 xxx3受货物数量限制（以为例）：受货物数量限制（以为例）： 111213600 xxx综上分析，得到该问题的线性规划模型综上分析，得到该问题的线性规划模型 333123111max1000700600iiiiiiRxxx1121311222321323331121311222321323331112132122233132338652000865300086515001

23、057400010575400. .1057150060010008000,1,2,3,1,2,3ijijxxxxxxxxxxxxxxxs txxxxxxxxxxxxxxZ ij三、模型求解三、模型求解x=intvar(1,9);C=1000 1000 1000 700 700 700 600 600 600;a1=8 6 5;a2=10 5 7;b1=2000 3000 1500;b2=4000 5400 1500;f=C*x;F=set(0=x=inf); 据此建立此问题的据此建立此问题的m文件文件fun6_4.m F=F+set(a1*x(1) x(4) x(7)=b1(1)+set(a

24、1*x(2) x(5) x(8)=b1(2)+set(a1*x(3) x(6) x(9)=b1(3)+set(a2*x(1) x(4) x(7)=b2(1)+set(a2*x(2) x(5) x(8)=b2(2)+set(a2*x(3) x(6) x(9)=b2(3)+set(x(1)+x(2)+x(3)=600)+set(x(4)+x(5)+x(6)=1000)+set(x(7)+x(8)+x(9)=800);solvesdp(F,-f)double(f)double(x)运行结果如下：运行结果如下：ans = 801000ans = 150 375 75 0 0 150 160 0 0 表

25、表6-7由此得到各类货物装在不同舱位获利最大的方案，见表由此得到各类货物装在不同舱位获利最大的方案，见表6-7 商品商品前舱前舱中舱中舱后舱后舱A A1501503753757575B B0 00 0150150C C1601600 00 0拓展思考拓展思考 1.1.此模型获得的最大收益时可能导致前舱，中舱此模型获得的最大收益时可能导致前舱，中舱货物过多，从而出现头重脚轻，致使行船危险货物过多，从而出现头重脚轻，致使行船危险性增大请查阅相关资料考虑在尽量平衡的状性增大请查阅相关资料考虑在尽量平衡的状态下的最优货物装载方式态下的最优货物装载方式2.2.该问题与上一问题同属物流配送问题不同的该问题

26、与上一问题同属物流配送问题不同的是该问题考虑的是在装载空间有限的条件下的是该问题考虑的是在装载空间有限的条件下的物资配送在实际物流配送中，我们往往要考物资配送在实际物流配送中，我们往往要考虑诸多因素，首先是对不同地区物资运送量的虑诸多因素，首先是对不同地区物资运送量的分配（如问题分配（如问题3 3），其次是运往每一地区的物资），其次是运往每一地区的物资运送方案的确定（如本题）运送方案的确定（如本题） 一般地，设某产品有一般地，设某产品有m个产地个产地 A1,A2,Am ，n个销个销地地B1,B2,Bn各产地的产量、各销地的需求量及各产地的产量、各销地的需求量及各产地运往各销地的单位运价如表各产

27、地运往各销地的单位运价如表6-86-8，且，且设设 ，问在满足各地需求以及生产能力问在满足各地需求以及生产能力允许的条件下如何调运使总运费最少允许的条件下如何调运使总运费最少 销品销品产地产地B1B2Bn总量总量A1c11 c12 c1n a1A2c21 c22 c2n a2 Amcm1 cm2 cmn am 需求量需求量b1 b2bn jnjimiba11设设xij表示从产地表示从产地Ai运往销地运往销地Bj的数量，则可得线性规划模的数量，则可得线性规划模型如下：型如下： miijnjijxcz11., 2 , 1, 2 , 1, 0, 2 , 1, 2 , 1,. .11njmixnjbx

28、miaxtsijjmiijinjij问题问题5 5 【投资收益模型投资收益模型】 中财证券承诺为宏远建筑公司提供以下贷款：中财证券承诺为宏远建筑公司提供以下贷款：从从20102010年起连续年起连续4 4年内，于每年年初提供如下数额年内，于每年年初提供如下数额的贷款：的贷款：20102010年年100100万元，万元，20112011年年150150万元，万元，20122012年年120120万元，万元，20132013年年110110万元以上贷万元以上贷款中财证券已于款中财证券已于20092009年年底已全部筹集到但为了年年底已全部筹集到但为了充分发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额的前充分

29、发挥这笔资金的作用，在满足每年贷款额的前提下，中财证券可将多余资金分别用于下列投资项提下，中财证券可将多余资金分别用于下列投资项目：目： （1）20102010年初购买年初购买A种债券，期限种债券，期限3 3年，到期后本年，到期后本息合计为投资额的息合计为投资额的140140，限购，限购6060万元万元；（2）20102010年初购买年初购买B种债券，期限种债券，期限2 2年，到期后本年，到期后本息合计为投资额的息合计为投资额的125125，限购，限购9090万元万元；（3）20112011年初购买年初购买C种债券，期限种债券，期限2 2年，到期后本年，到期后本息合计为投资额的息合计为投资额的

30、130130，限购，限购5050万元万元；（4）银行年息银行年息4 4问中财证券应如何安排这笔筹集到的资金，使得问中财证券应如何安排这笔筹集到的资金，使得20092009年年底需要筹集到的资金数额最少年年底需要筹集到的资金数额最少一、模型假设与变量说明一、模型假设与变量说明1.假设各项投资收益稳定假设各项投资收益稳定2.2.假设投资金额能及时回收用于贷款，无时间担假设投资金额能及时回收用于贷款，无时间担搁搁3.3.假设证券公司每年年初将用于贷款和投资后多假设证券公司每年年初将用于贷款和投资后多余的资金全部存入银行，年底取出余的资金全部存入银行，年底取出4.4.设设20092009年年底筹集的资

31、金为年年底筹集的资金为P万元，购买万元，购买A,B,C债券的金额分别为债券的金额分别为xA,xB,xC万元，每年存银行万元，每年存银行金额为金额为xi，i=1,2,3 二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立该问题是在满足对建筑公司每年贷款数额要求的条件该问题是在满足对建筑公司每年贷款数额要求的条件下，合理安排每年的投资计划，使得下，合理安排每年的投资计划，使得20092009年底筹集到年底筹集到的贷款金额最少的贷款金额最少目标：目标：20092009年年底筹集的贷款金额年年底筹集的贷款金额P最少最少 Pmin约束条件：约束条件： 1受受20102010年年初贷款数额限制年年初贷款数额限制：

32、2受受20112011年年初贷款数额限制：年年初贷款数额限制： 1100ABPxxx210.04250ABCPxxxxx3受受20122012年年初贷款数额限制：年年初贷款数额限制： 3120.250.04()370ABCPxxxxxx4受受20132013年年初贷款数额限制：年年初贷款数额限制： 310.40.250.30.04480ABCiiPxxxx综上分析，得到该问题的线性规划模型综上分析，得到该问题的线性规划模型 Pmin121312311000.042500.250.04()370. .0.40.250.30.04480060,090,0500,1,2,3ABABCABCABCii

33、ABCiPxxxPxxxxxPxxxxxxstPxxxxxxxxi三、模型求解三、模型求解x=intvar(1,7);a1=-1 0 0 -1 -1 0 1; 0.04 -1 0 -1 -1 -1 1; 0.04 0.04 -1 -1 0.25 -1 1; 0.04 0.04 0.04 0.4 0.25 0.3 1;b1=100 250 370 480;f=x(7);F=set(0=x=b1)+set(x(4)=60)+set(x(5)=90)+set(x(6)=50);solvesdp(F,f)double(f)double(x)据此建立此问题的据此建立此问题的m文件文件fun6_5.m 运

34、行结果如下：运行结果如下： ans = 421ans = 175 10 0 58 88 22 421由此可知，在由此可知，在10，11，12年初分年初分别存入银行别存入银行175万，万，10万，万，0万，万，购买购买A种债券种债券58万，万，B种债券种债券88万，万，C种债券种债券22万，这样在万，这样在2009年底只年底只需要筹集到需要筹集到421万元资金，就能满万元资金，就能满足今后足今后4年内提供的贷款需求年内提供的贷款需求拓展思考拓展思考 1. .请调查某一保险基金的投资管理情况，并请调查某一保险基金的投资管理情况，并对影响投资收益的相关因素作出分析，给对影响投资收益的相关因素作出分析

35、，给出结论出结论2 2请参考几种实际的基金或者保险业务，制请参考几种实际的基金或者保险业务，制定出一套投资方案定出一套投资方案3 3如果你是位投资理财师，该如何为客户制如果你是位投资理财师，该如何为客户制订较好的投资理财方案订较好的投资理财方案 6.2.1 生产活动问题生产活动问题 6.2.2 人力资源管理问题人力资源管理问题 数学规划问题中有很多决策变量都只能取整数，数学规划问题中有很多决策变量都只能取整数，如人员数量、机器设备台数、服装件数、汽车辆数如人员数量、机器设备台数、服装件数、汽车辆数等如果规划问题中的决策变量等如果规划问题中的决策变量xi(i=1,2,n),要求要求取整数值，则称

36、这个模型为取整数值，则称这个模型为整数规划模型整数规划模型 njjjxcz1min.,2, 1N.,2, 1,(.1njxmibxatsjijnjij），其中， ),2, 1(),2, 1(mibnjcij), 2 , 1;, 2 , 1(mjmiaij为已知常数， ), 2 , 1(njxj为决策变量。 问题问题7 7【销售安排销售安排模型模型】乐家百货商场准备派小李、小张、乐家百货商场准备派小李、小张、小王三位销售人员去销售库存的小王三位销售人员去销售库存的120120件大衣由于他们以前的销件大衣由于他们以前的销售业绩不同，每销售一件产品小售业绩不同，每销售一件产品小李、小张、小王的报酬分

37、别为李、小张、小王的报酬分别为6 6元、元、4 4元、元、3 3元商场为保证销售元商场为保证销售速度，规定小李至少要承担速度，规定小李至少要承担3030件件销售任务，小张至少要承担销售任务，小张至少要承担2020件件销售任务，而小王承担的销售任销售任务，而小王承担的销售任务不能超过务不能超过5050件问应该如何安件问应该如何安排销售计划使总销售成本最低排销售计划使总销售成本最低 一、模型假设与变量说明一、模型假设与变量说明1假设三位销售人员能销售完假设三位销售人员能销售完120120件大衣件大衣2 2小李、小张、小王承担的销售任务分别为小李、小张、小王承担的销售任务分别为 x1,x2,x3二、

38、模型的分析与建立二、模型的分析与建立 该问题是在对三位销售人员销售数量进行一定限该问题是在对三位销售人员销售数量进行一定限制的情况下，合理安排各销售人员的销售数量，使得制的情况下，合理安排各销售人员的销售数量，使得公司支付给三位销售人员的总报酬最少公司支付给三位销售人员的总报酬最少 目标：目标：三位销售人员的总报酬最低而总报酬为三位销售人员的总报酬最低而总报酬为 321346xxxC约束条件：约束条件： 1受总销售数量的限制受总销售数量的限制： 120321xxx2受销售员销售数量的限制（如小李）受销售员销售数量的限制（如小李）： 301x综上分析，得到该问题的整数规划模型综上分析，得到该问题

39、的整数规划模型 321346minxxxC12312312312030. .20050,xxxxstxxx xxN三、模型求解三、模型求解x=intvar(1,3);f=6 4 3*x;F=set(0=x=30)+set(x(2)=20)+set(0=x(3)=50);solvesdp(F,f)double(f)double(x)据此建立此问题的据此建立此问题的m文件文件fun6_7.m 运行结果如下：运行结果如下： ans = 490ans =30 40 50由此可知，小李，小张，小王分由此可知，小李，小张，小王分别承担别承担30，40，50件销售任务件销售任务时，公司支付的总报酬最少时，公

40、司支付的总报酬最少 拓展思考拓展思考 1. 请调研销售行业营销人员薪酬的确定方式请调研销售行业营销人员薪酬的确定方式2 2我国营销人员数量众多，一般来说，营销人员我国营销人员数量众多，一般来说，营销人员的收入都与销售额有关而某些企业为提高产的收入都与销售额有关而某些企业为提高产品销售量，留住优秀的营销人员，建立的激励品销售量，留住优秀的营销人员，建立的激励机制便是卖出的产品越多，提成也越高如果机制便是卖出的产品越多，提成也越高如果本题中，营业员销售超过本题中，营业员销售超过2020件产品时，每件产件产品时，每件产品可多提成一元，品可多提成一元，4040件多提成两元，以此类推，件多提成两元，以此

41、类推，最高提成不超过最高提成不超过1010元问在这种情况下应如何元问在这种情况下应如何安排销售任务安排销售任务3 3如果营业员销售超过如果营业员销售超过2020件产品时，超出部分每件产品时，超出部分每件多提成一元，结果又如何？件多提成一元，结果又如何？ matlab的优化工具箱的优化工具箱YALMIP可以解决线性规划、非可以解决线性规划、非线性规划、整数规划和混合规划用线性规划、整数规划和混合规划用Matlab公具箱编写求解公具箱编写求解此类问题的几个函数为：此类问题的几个函数为：intvar（m，n）：生成整数型变量；）：生成整数型变量；sdpvar（m，n）：生成变量；）：生成变量；sol

42、vesdp（F，f）：求解最优解（最小值），其中）：求解最优解（最小值），其中F为约束为约束条件（用条件（用set连接），连接），f为目标函数；为目标函数；double：显示求解的答案：显示求解的答案注：注：intvar，sdpvar生成的变量可以像矩阵一样使用生成的变量可以像矩阵一样使用 问题问题8 8【汽车调度汽车调度模型模型】丰顺汽车运输队有丰顺汽车运输队有8 8辆载重量为辆载重量为6T6T的的A A型卡车和型卡车和6 6辆辆载重量为载重量为10T10T的的B B型卡车，有型卡车，有1010名驾驶员此车队承名驾驶员此车队承担了每天从甲地运送至少担了每天从甲地运送至少720T720T蔬菜到

43、乙地的任蔬菜到乙地的任务已知每辆卡车每天往返的次数为务已知每辆卡车每天往返的次数为A A型卡车型卡车1616次，次，B B型卡车型卡车1212次每辆卡车每天往返的成本费为次每辆卡车每天往返的成本费为A A型车型车240240元，元，B B型车型车378378元问每天派出元问每天派出A A型车与型车与B B型车各型车各多少辆可使运输队花费的成本最低多少辆可使运输队花费的成本最低 一、模型假设与变量说明一、模型假设与变量说明1. .假设卡车不能超载假设卡车不能超载2.2.假设卡车往返次数不受驾驶员驾驶速度、车况假设卡车往返次数不受驾驶员驾驶速度、车况等因素影响等因素影响3.3.假设每种型号每辆车的

44、运输成本只与车次有关，假设每种型号每辆车的运输成本只与车次有关，与其他因素无关与其他因素无关4.4.假设每位驾驶员都能驾驶各种类型的车辆假设每位驾驶员都能驾驶各种类型的车辆5. 5. 设每天派出设每天派出x1辆辆A型车和型车和x2辆辆B型车，总的运型车，总的运输成本为输成本为C元元二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立 该问题是求在满足卡车数量、往返次数、司机数该问题是求在满足卡车数量、往返次数、司机数量等限制条件下完成运输任务所需的运输成本最小量等限制条件下完成运输任务所需的运输成本最小 目标：目标：求运输的总成本最小其中运输总成本为求运输的总成本最小其中运输总成本为 12240378Cx

45、x约束条件：约束条件： 1受受A型车数量限制型车数量限制： 81x2受受B型车数量限制：型车数量限制： 62x3受司机数量限制受司机数量限制： 4受每天运输任务的限制受每天运输任务的限制： 1216 612 10720 xx1210 xx综上分析，得到该问题的整数规划模型综上分析，得到该问题的整数规划模型 12min240378Cxx1212121286. .1096120720,xxstxxxxx xN三、模型求解三、模型求解x=intvar(1,2);C=240 378;a=1 0;0 1;1 1;b=8 6 10;f=C*x;F=set(0=x=inf); F=F+set(a*x=720

46、);solvesdp(F,f)double(f)double(x)据此建立此问题的据此建立此问题的m文件文件fun6_8.m 运行结果如下：运行结果如下： ans = 1920ans = 8 0由此可知，运输队每天只需要派由此可知，运输队每天只需要派出出8辆型卡车就既能完成运输任辆型卡车就既能完成运输任务又能使得成本最低，最低成本务又能使得成本最低，最低成本为为1920元元 拓展思考拓展思考 1.若每天的运输任务增至若每天的运输任务增至792T792T，结果如何？，结果如何？2.2.若每吨蔬菜的运费为若每吨蔬菜的运费为5 5元，试确定运输队每天的元，试确定运输队每天的最大收益最大收益3. 3.

47、 目前由于许多高校多校区办学，因此开通了目前由于许多高校多校区办学，因此开通了各校区之间的交通车请调查校内校车运行成各校区之间的交通车请调查校内校车运行成本，座位数量等数据，制定一套合理的客车调本，座位数量等数据，制定一套合理的客车调度方案度方案问题问题9 9【生产成本控制生产成本控制模型模型】 吉发汽车生产商正在制订来年四个季度的汽车吉发汽车生产商正在制订来年四个季度的汽车生产计划根据前几年生产销售经验估计，明年前生产计划根据前几年生产销售经验估计，明年前两个季度汽车生产成本为每辆两个季度汽车生产成本为每辆3000030000元，后两个季元，后两个季度为度为3500035000元每个季度汽车

48、的需求量分别为元每个季度汽车的需求量分别为700700辆，辆，800800辆，辆，10001000辆，辆，12001200辆工厂每个季度最多生产辆工厂每个季度最多生产900900辆汽车，为了应对特殊情况，工厂允许第二、辆汽车，为了应对特殊情况，工厂允许第二、三两个季度加班每个季度加班最多可增加三两个季度加班每个季度加班最多可增加300300辆辆汽车，但每辆汽车的成本将增加汽车，但每辆汽车的成本将增加60006000元过剩产品元过剩产品的存贮费用为每个季度的存贮费用为每个季度30003000元元/ /辆问汽车生产商辆问汽车生产商应如何安排生产，使得总成本最低应如何安排生产，使得总成本最低 一、模

49、型假设与变量说明一、模型假设与变量说明1 . .假设汽车的需求量为厂家可销售的数量假设汽车的需求量为厂家可销售的数量2 .2 .假设在一个季度内生产的车辆不考虑存储费假设在一个季度内生产的车辆不考虑存储费3. 3. 设四个季度正常工作时间内生产的汽车分别为设四个季度正常工作时间内生产的汽车分别为 x1,x2,x3,x4辆；第二、三个季度加班生产的汽车为辆；第二、三个季度加班生产的汽车为 x5,x6,辆总成本为辆总成本为C元元=二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立该问题是在生产规模受限，市场需求一定的情况下，该问题是在生产规模受限，市场需求一定的情况下，制定不同季度的汽车产量，使汽车制造总成

50、本最低制定不同季度的汽车产量，使汽车制造总成本最低 目标：目标：汽车的总成本最低而总成本包括正常工作时汽车的总成本最低而总成本包括正常工作时间生产的成本，加班时间的生产成本和每季度过剩车间生产的成本，加班时间的生产成本和每季度过剩车辆的存贮费其中辆的存贮费其中正常工作时间的生产成本为正常工作时间的生产成本为 1123430000()35000()Cxxxx加班时间的生产成本为加班时间的生产成本为 2563600041000Cxx第一季度末过剩车辆在第二季度的存贮费为第一季度末过剩车辆在第二季度的存贮费为 第二季度末过剩车辆在第三季度的存贮费为第二季度末过剩车辆在第三季度的存贮费为 13000(

51、700)x 第三季度末过剩车辆在第四季度的存贮费为第三季度末过剩车辆在第四季度的存贮费为 要使总成本最低，第四季度末应没有过剩车辆，因此要使总成本最低，第四季度末应没有过剩车辆，因此第四季度末无存贮费第四季度末无存贮费 因此总的存贮费为因此总的存贮费为 3123563000(3224700)Cxxxxx123563000(2500)xxxxx1253000(1500)xxx约束条件：约束条件： 1受第一季度需求量的限制受第一季度需求量的限制： 2受前二季度需求量的限制受前二季度需求量的限制： 3受前三季度需求量的限制受前三季度需求量的限制： 1700 x 1251500 xxx12356250

52、0 xxxxx约束条件：约束条件： 4受四个季度总需求量的限制受四个季度总需求量的限制： 5受正常工作时间内产量的限制受正常工作时间内产量的限制： 6受加班时间产量的限制受加班时间产量的限制： 1234563700 xxxxxx12340,900 x xx x560,300 x x综上分析，得到该问题的整数规划模型综上分析，得到该问题的整数规划模型 123456min39000360003800035000420004400014100000Cxxxxxx11251235612345612345612345670015002500. .37000,9000,300,xxxxxxxxxstxxx

53、xxxx xx xxxx xx xxxN 三、模型求解三、模型求解x=intvar(1,6);C=39000 36000 38000 35000 42000 44000 a1=1 1 0 0 1 0;1 1 1 0 1 1;b=1500 2500;a2=1 1 1 1 1 1;f=C*x- 14100000;F=set(0=x=b)+set(x(1)=700)+set(x(5)=300)+set(x(6)=300);solvesdp(F,f)double(f)double(x) 据此建立此问题的据此建立此问题的m文件文件fun6_9.m 运行结果如下：运行结果如下： ans = 1230000

54、00ans = 900 900 900 900 100 0由此可知，在第一、二、三、四季由此可知，在第一、二、三、四季度分别生产度分别生产900，900，900，900辆汽车，第二季度加班生产辆汽车，第二季度加班生产100辆辆汽车可使得成本最低，最低成本为汽车可使得成本最低，最低成本为123000000元，即元，即1.23亿亿 问题问题1010【超市人力资源需求模型超市人力资源需求模型 】开心购物开心购物2424小时营业超市需要小时营业超市需要招收一批服务人员，要求每人招收一批服务人员，要求每人每天连续工作八小时（即两个每天连续工作八小时（即两个时段）时段）. .每日各个时段超市需要每日各个时

55、段超市需要服务员的最低数量见表服务员的最低数量见表6-6-1010问超市至少需要招聘多少问超市至少需要招聘多少名服务人员，才能满足超市日名服务人员，才能满足超市日常业务需求？常业务需求？ 时段时段时间时间最低人数最低人数12：00-6：001026：00-10：0020310：00-14：0040414：00-18：0050518：00-22：0080622：00-2：0020表表6-10 一、模型假设与符号说明一、模型假设与符号说明1假设服务员在某一时段一起开始上班，在某假设服务员在某一时段一起开始上班，在某一时段结束时一起下班一时段结束时一起下班2 2假设每个服务员必须连续工作两个时段假设

56、每个服务员必须连续工作两个时段3 3假设不考虑上下班人员交接班、中途吃饭和假设不考虑上下班人员交接班、中途吃饭和休息等时间休息等时间4. 4. 设设 xi为第为第 i时段开始上班的人数时段开始上班的人数 (i=1,2,6)二、模型的分析与建立二、模型的分析与建立 该问题是在满足超市每天每个时段最低服务人数要该问题是在满足超市每天每个时段最低服务人数要求的条件下，给出总人员最少的配置方案由于每个求的条件下，给出总人员最少的配置方案由于每个时段都有可能有人刚上班也有可能有人刚下班，因此时段都有可能有人刚上班也有可能有人刚下班，因此需要找出每个时段上下班人员流动情况，再计算出总需要找出每个时段上下班

57、人员流动情况，再计算出总的服务人员数量的服务人员数量 目标：目标：服务员人数最少所需服务员的总数为服务员人数最少所需服务员的总数为 61iixN约束条件：约束条件： 受每个时段最低人数要求的限制，如第一时段开始上受每个时段最低人数要求的限制，如第一时段开始上班的人与第六时段开始上班的人均服务于第一时段班的人与第六时段开始上班的人均服务于第一时段 1016 xx综上分析，得到该问题的整数规划模型综上分析，得到该问题的整数规划模型 61miniixN611223344556102040. .508020,(1,2,3,4,5,6)ixxxxxxstxxxxxxxN i三、模型求解三、模型求解x=i

58、ntvar(1,6);a=10 20 40 50 80 20;f=sum(x);F=set(0=x=a(1)+set(x(2)+x(1)=a(2)+set(x(2)+x(3)=a(3)+set(x(3)+x(4)=a(4)+set(x(4)+x(5)=a(5)+set(x(6)+x(5)=a(6);solvesdp(F,f)double(f)double(x)据此建立此问题的据此建立此问题的m文件文件fun6_10.m 运行结果如下：运行结果如下： ans = 130ans =10 40 0 60 20 0由此可知，超市至少需要招聘由此可知，超市至少需要招聘130名服务人员名服务人员 拓展思考

59、拓展思考 1.请调研企业（如大型工厂或超市）确定招聘人请调研企业（如大型工厂或超市）确定招聘人员数量的方案，并思考其合理性员数量的方案，并思考其合理性. .2. 2. 本问中没有考虑员工中途吃饭、休息以及不同本问中没有考虑员工中途吃饭、休息以及不同时间段超市应支付不同工资等因素若员工的时间段超市应支付不同工资等因素若员工的月基本工资为月基本工资为10001000元，在晚上元，在晚上2222：00-00-早上早上6 6：0000这两个时间段超市要多支付这两个时间段超市要多支付2020（元（元/ /人、时段）人、时段）的夜班费的夜班费. .问应如何招聘服务人员既能满足日常问应如何招聘服务人员既能满

60、足日常业务需求又能使公司所支付的工资总数最少业务需求又能使公司所支付的工资总数最少 问题问题1111【人员配置模型人员配置模型 】 平安自行车零部件厂生平安自行车零部件厂生产组装自行车所需的座垫、产组装自行车所需的座垫、脚踏、车轴和车筐四种零脚踏、车轴和车筐四种零部件，一车间有部件，一车间有4 4个技术工个技术工人，每个工人加工各个部人，每个工人加工各个部件所用时间见表件所用时间见表6-116-11问问应如何安排加工任务使加应如何安排加工任务使加工总时间最少工总时间最少 表表6-11部件部件1（座垫）（座垫）部件部件2（脚踏）（脚踏）部件部件3（车轴）（车轴）部件部件4（车筐）（车筐）A109