全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全

1、全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.典型例题精讲【例1】如图，在ABC中，BAC60,AD是B

2、AC的平分线，且ACABBD,求ABC的度A【解析】法一：如图所示，延长AB至E使BEBD,连接ED、EC由ACABBD知AEAC,而BAC60,则AEC为等边三角形.注意至UEADCAD,ADADAEAC故aed0从而有DEACD故所以BEDDECDCBDEDCE法二：在AC上取点DECDCEDCEDEC2DEC20ABCBECBCE602080E，使得AE在ABD和AED中，ABAEAB,则由题意可知CEBDBADEADADAD贝uABD©AED,从而BDDE进而有AEDDECEECD注意到ABDABCACB故ABC80ECDEDCAEDABC则:12EDCECDABC3一ABC

3、180BAC12021/13【答案】见解析.【例2】已知ABC中,AA60,BD、CE分别平分ABC和.ACB,BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【解析】BECDBC理由是：在BC上截取BFBE,连结°F,利用SAS证得BE°0BFO,，12,1BOC90-A120【答案】A60-2ADOE180-AEO1 3180,2 4180,12,利用AAS证彳导CDOCFO,-BCBFCFBECD,.见解析.-DOE120ADO18034,.CDCF【例3】如图，已知在ABC内，BAC60,40,P、Q分另1J在BC、CA上，并且AP、BQ2/13分

4、别是/BAC、/ABC的角平分线，求证:BQAQABBP【解析】延长AB至D,使BDBP,连DP.在等腰4BPD中，可得BDP40,从而BDp40ACp,AADPACP(ASA)，故ADAC又QBC40QCB,故BQQCBDBP从而BQAQABBP见解析.【例4】如图，在四边形ABCD中，BCBAADCD,BD平分/ABC,求证:C180延长BA至F,使BFBC，连FDBDFBDC(SAS),故DFBDCBFDDC又ADCD故在等腰ABFD中,DFBDAF故有BADBCD1803/13BDC120,MDN60,求【答案】见解析.【例5】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动，BDDC,证：M

5、NMBNC.【解析】延长NC至E,使得CEMBDCB30BDC是等腰三角形，且BDC120,.DBCABC是等边三角形.-ABCACBBAC60MBDABCDBCACBDCBDCNDCE90在DBM和DCE中，BDDCMBCEDBM咨DCE.DEDM,12.又1NDC60,22+NDCEND60在MDN与EDN中，NDNDMDNEDN60DEDMMNDENDMNENNCMB【答案】见解析.例6如图在ABC中，ABAC,12,P为AD上任意一点，求证:ABACPBPC4/13A【解析】延长AC至F,使AFAB,连pdAABPAFP(SAS)故BPPF由三角形性质知PBPCPFPC<CFAF

6、ACABAC【答案】见解析.【例7】如图，四边形ABCD中，AB/DC,BE、CE分别平分/ABC、/BCD,且点E在AD上.求证：BCABDC.【解析】在BC上截取BFAB,连接EF.BE平分/ABC,ABEFBE又.BEBE,/.MBEzEBE(SAS),ABFE. .AB/CD,AD180 .BFECFE180.DCFE ,又DCEFCE,CE平分/BCD,CECE5/13ZDCEzECE(AAS),.CDCF.-.BCBFCFABCD【答案】见解析.DM且与/ABC外角的平分线交于【例8如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN点N,MD与MN有怎样的数量关系?【解析】猜测dm

7、mn.在AD上截取AGAM,DGMB/AGM45/DGMZMBN135/ADM/NMB-DGM9MBN-DMMN*),【答案】见解析.【例9已知：如图，ABCD是正方形,FADFAE,求证：BEDFAE.【解析】延长CB至M,使得BMDF,连接AM.ABADADXCDAB±BMBMDF?ABM©ADFAFDAMBDAFBAM-AB/CDAFDBAFEAFBAEBAEBAMEAMAMBEAMAEEMBEBMBEDF【答案】见解析.6/13【例10如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE2DAM.求证：AEBCCE.【解析】分析证明一条线段等于两

8、条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等.(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等.我们用(1)法来证明.【答案】延长AB到F,使BFCE，则由正方形性质知AFABBFBCCE卜面我们利用全等三角形来证明AEAF.为此，连接EF交边BC于G.由于对顶角BGFCGE,所以RtABGF目CGEAAS1BGGC-BC,FGEG从而2,BGDM工日RtAABG省RtAADMSASEAF的平分线1BAGDAM-BAEEAG所以2,AG是【例11】五边形AB

9、CDE中，ABAE,BCDECDABCAED180，求证：AD平分/CDE.7/13【解析】延长DE至F,使得EF一ABCAED180BC,连接AC.AEFAED180ABCAEFABAEBCEFBCACEF,ABCAEF.AFBCDECDCDDEEFDF,?.ZADCADF,即AD平分/CDE.【答案】见解析.ADCADF【例12若P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120则点P叫做ABC的费马点.(1)若点P为锐角ABC的费马点,ABC60PA3,PC4的值为(2)求证:如图，在锐角ABC外侧作等边ACB'BB'过ABC的费马点P,且BB'PA连结BB&#

10、39;.PBPC【解析】(1)(2)证明：在BB'上取点P,使BPC120连结AP,再在PB'上截取PEPCBPC120EPC60连结,PCECE为正三角形,.PCCEPCE60CEB'120ACB'为正三角形,ACPCAACEACEBCECB'60ACB'60PCAECB'ACP0BCEAPCBCE120PAEB',APBAPCBPC120.P为ABC的费马点，BB'过ABC的费马点P且BB'EB'PBPEPAPBPC【答案】见解析.8/13CB'9/13课后复习【作业1】已知，AD平分/BAC,

11、ACABBD,求证:D【解析】延长AB至点E,使AEACDE.AD平分/BAC,EADCAD.AEAC,ADADAEDSCD(SAS)ACABBDAEABBDAEABBE,.BDBEBDEBDEABCE,ABC2【答案】见解析.【作业2】如图，ABC中,AB2AC,AD平分/BAC,且ADBD,求证：CDXAC.10/13A【解析】在AB上取中点F,连接FD.则"DB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DF±AB,故AFD90AADFADC(SAS)ACDAFD90,即：CDLAC【答案】见解析.【作业3】如图所示，为顶点作一个ABC是边长为60的MDN1的正三角形，BDC是顶角为120N分别在AB、AC上，求的等腰三角形，以DAMN的周长.【解析】如图所示，延长在BDM与AC至！E使CECDE中，因为BDBMCDMBDECD90BMCE,所以BDM省CDE因为BDC120又因为BDM,故MDMDNED.o60,所以BDMNDC60CDE在MND与END中,所以DNDNMDNEDNMDN60EDN60DMDE所以MND9END,则NE【答案】见解析.MN所以AMN的周长为