体能测试时间安排模型

1、体能测试时间安排模型何剑何政权姜伟萍（2007年获全国一等奖）摘要体能测试是各高校调查学生身体状况的重要指标之一，合理安排好测试时间计划及班级安排方式，有助于学校人员和设备管理，并节省时间。本文在满足同一班的所有学生要在同一时间段内完成所有项目测试和使整个测试时间段数最少两个条件的前提下，建立规划模型使学生的等待时间最少。并通过LINGC软件求解，然后以列表的方式给出学校班级和测试时间的安排情况。且对学校以后的体能测试从仪器数量、测试场地人员容量、是否分组等方面提出建议，并讨论说明理由。针对问题一：本模型采用分组规划的方法，先将计算出各个项目的平均测试时间，确定出平均测试时间长的测试项目，当台

2、阶测试仪器的总测试时间尽可能达到最短时间时（台阶测试项是所有测试项目中测试时间最长的项），测量完毕所有项目所需的时间就最短，从而可以减少总体测试的段数，以此建立模型，再采用穷举和列表的方法，并结合LINGO软件，计算出测完学院所有学生时的时间段数最少，且尽可能将学生等待时间减少。针对问题二：在问题一中虽然已经尽可能的减少学生等待时间，但是第四个时间段有大部分时间空余，且测试身高体重和握力时有大部分的等待时间，可以合理利用第四部分空余时间，适当分组，使身高体重测试、握力测试与其他三个项目测试的时间间隔达到最小，从而减少学生的等待时间。针对问题三：要解决此问题，我们根据仪器无空闲状态且各仪器平均每

3、人的测试时间尽可能达到相同时测试时间最短原则，采用数学方差的方法建立模型，利用LINGO软件测试出各仪器平均每人的测试时间相同时的仪器数量的比值，当引进仪器数量和现有仪器数量尽可能的达到这一比值时所测试的总体时间最短原则，根据实际情况，合理引进部分仪器数量，使得测试完学院所有学生的总体时间和学生等待时间两个方面同时达到最佳，且对场地人数、改变时间段值和是否进行分组作了进一步的讨论，最后为学校今后的人员测试给出了较优的建议。关键词时间段数等待时间数学规划穷举法LINGO一、问题陈述某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验

4、共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后，学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。学校安排每天的测试时间为8:0012:10与13:30-16:45两个时间段。5项测试都在最

5、多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。2.问题提出：很多学校在进行体能测试的过程中，根据各测试仪器的多少和所需的时间的不同，往往会出现学生等待测试仪器的现象。对于一个学生来说，节省其等待时间意义不大，但是如果对于上述全部班级来说，甚至更多个班级的话，这个节省等待时间的意义就大现针对以下问题，研究体能测试时间安排的最优设计：问题一：保证同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目测试，如何安排测试时间，使得整个测试所需时间段数最少，且需要满足同班人员在同一时间测试完所有项目问题二：用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学

6、校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，在使测试所需的时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间，并说明理由。问题三：对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。二、问题分析体能测试时间安排问题是一个规划问题，学校在安排学生进行体能测试过程中，不仅要注重班级数量，更为重要的是如何利用好现有的测试仪器，使得整个测试过程所需时间段数最少，尽量节省学生的等待时间。对于问题一：首先求得项目测试时间最长的一项，从而求得总体最短时间；对于问题二：在问题一的基础上，可以从仪器和班级人员安排两个方面考虑：1

7、 .最大限度的利用现有的测试仪器。也就是说对现有的测试仪器尽量做到完全分配，制定出五项测试仪器之间一个合理的测试分配的顺序，可以以分组的形式进行测试，使得尽量节省学生的等待时间，减少仪器出现空闲时间；2 .合理安排进行体能测试的各班级顺序。可以按照测试的分组进行安排测试，并保证同一班级的所有学生进行所有项目的测试在同一个时间段完成。对于问题三：可以根据所有测试项目仪器的测试的平均值尽可能的相等，适当增加仪器的数量，根据建立最优规划模型给出建议。处理的难点是同时考虑到同一班级不能分在两个时间段完成的限制，测试仪器的限制，学生等待时间的限制等诸多因素，问题的主要矛盾是测试仪器的限制和测试学生对仪器

8、的需求。针对目标建立一个最优模型，找出在身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目仪器与台阶仪器的工作时间的均衡点，确定一个最合理的方法。三、模型假设1 .一项测试结束后在调换到下一项测试的间隔时间忽略不计。2 .测试仪器能一直保持正常工作，班级学生无缺席、迟到等意外情况。3 .每台台阶试验在做完一次测试后，学号后移以5个学号为单位，比如学号12345测完后，就后移到678910。四、符号及标语说明x:在分组进行测试时，每一组的人数;%：身高体重、立定跳远、肺活量和握力四项目中的最大时间;电：每一组测试身高体重、立定跳远、肺活量和握力四项时的学生等待时间;02：每一组台阶试验的学生等待时间；P

9、3：不同班级间连接时的学号录入的等待时间；：在分组测试时，握力测试完成后的仪器的空闲时间；三：在分组测试时，身高体重测试完成后仪器的空闲时间；T:问题一中学院所有学生完成所有项目测试的总时间；T1:问题二中学院所有学生完成所有项目测试的总时间t：问题二中每组立定跳远、肺活量与身高体重测试和握力测试之间的空闲时间；前四项：特指身高体重、立定跳远、肺活量和握力；第五项：特指台阶试验；五、模型建立与求解问题一：根据题目意思，首先测试出身高体重、立定跳远、肺活量和握力及台阶测试所用的时间分别为10s、20s、20s、15s、210s,且其台数分别为3台、1台、1台和2台，但台阶测试仪器每台能同时测5个

10、人；根据以上数据，且将身高体重和握力归为调节时间最长的项，使时间最长项测试的学号连续，可以得出每个项目平均测试一个人的平均最大时间分别为：5s/人、20s/人、20s/人、10s/人、21s/人。由此得出，台阶测试是所有项目测试的时间最长项，立定跳远和肺活量是前面四项测试的时间最长项（图1-1）:20s/人10/3s/人7.5s/人20s/人21s/人（图1-1各项目平均测试时间图）由以上分析，要使测试的总时间段数最少，只需测试的时间最长项最短，即尽可能的使时间最长项测试的时间最少，从而使整个测试时间最少。为达到这一目标，列出以下原则：1 .项目测试时间长的测试仪器优先测试；2 .项目测试时间

11、长的测试仪器学号连续；使其测试的学号连3 .项目测试时间少的测试仪器调节项目测试时间长的测试仪器,续；4 .尽可能的充分利用仪器；将5个项目分类如下（图1-2）:调节类前四项测试时间最长项（图1-2测试项目分类）由各个仪器测量时间的平均值分别为5s/人、20s/人、20s/人、10s/人、21s/人,前四项的调节类与瓶颈类的比分别为4:1和2:1,由于第一个先安排在项目测试时间最长类，则前面调节类有足够的空间调节，使测试时间最长类的学号在同班里连续。根据以上分析，假设测试分组人数为x人，根据仪器数量和测试时间及上面列出的仪器测试原则，即（前比后优先）：1 .台阶试验测试优先，且每台学号连续（项

12、目测试时间长的测试仪器优先测试），2 .立定跳远和肺活量测试优先；3 .身高体重测试和握力测试调节立定跳远和肺活量测试，使其学号连续且不出现问断时间；每组测试的流程方式分两个阶段，如下（图1-3）:x-10人测试10人测试（当x大于15人时，学号相隔5人，如1,2,3,4,5和11,12,13,14,15）第二阶段测试人员调换后x-10人10人说明：其中x为分组测试时每组的人数；由以上原则，可将分组分为以下几类:（图1-3）小组人数前四项仪器测试情况台阶试验仪器测试情况调换后前四项仪器测试情况调换台阶试验仪器测试情况x17剩余饱和不足剩余x=17饱和饱和不足剩余17x20不足饱和不足不足说明：

13、不足：测试项目人数超过仪器测试最大数目；剩余：测试项目所有仪器空闲；饱和：仪直正常工作。每组前四项所需的时间为:x1-1每组第五项所需的时间为:210212完成所有班级学生测试所需要的时间规划模型为:MinT=P1max（x：1,2102：2）3St:x-150;T43286.25根据题意，将模型分为三个阶段:P(2210-2)x17P(x：1：2)17MxM20_P(x：1-1)根据题目要求，使整个测试时间段数最少，且在整个测试时间段最少的基础上，尽量节省学生的等待时间两个原则进行分析：当x17时，由模型计算出完成前四项的时间少于140s,第五项时间为210s,所以当前四项的测试有大部分时间

14、空余等待第五项，而当转换测试时，第五项目测试有几台空余，这样，在相等人数的条件下，明显增加了总体时间，即不满足时间段最少，也出显了大量的等待时间，不满足要求；当x=17时，此时刚好开始机器完全使用，但计算出前四项的时间也小于第五项的时间，且当调换后同第一种情况一样不出现第五项的仪器出现空闲，也不满足要求；当17Vx20时，此时，前四项的人数超过10人，当人数过多时，前四项完成的时间要比第五项目大，所以第五项完成后又要出现等待时间，且当人数超过20人后调换检测时出现人数过多而等待，如果不是10的整数倍时台阶测试仪器会有可能出现空余时间，而当是10或20整数倍时，则要求等待的时间会随着x的增大而增

15、大，所以不满足要求；以上几种分类的图如下：小组人数前四项完成时间（秒）第五项完成时间（秒）10x17145425x=1714542517x2020425=635由以上模型结果分析，当x取20为一组时，是分组的最合理分法。当分组划定为20人一组时，测试方法如下：221022102102Min7=(20x-20y)2(20x-75x)2-(20x一一x)2一(20x-75x)2-(20x一一x)2一(75x-一x)2II乙1(.UA,1x2)(x1.Ux3)(x1A4)(.Ux2.Jx)(入2人4)(r.JA3人4)333s.t.xx2x3m=10xi20,且xi为整数利用数学软件Lingo编程求

16、解，计算结果见（附录一）；将班级按人数进行划分见（附录二）；由于测试场地的限制以及人员管理，安排班级分组遵循以下原则：1 .将所有班连续分组；2 .班级人数每组小于150个；3 .班级为20的整数倍分为一类；4 .多班合并以20整数倍人数从多到少班级数从少到多的原则进行划分类别;5不能被20整除的班级归为一类；根据以上原则及附录一，列出各班级的归类如下（表1-1）:表1-1班级分类表班级/人数1类（被20整除班）8/209/2017/2027/2035/2036/2042/402类（两班合并被20整除）(54,2)/120r(44,45)/100P(13,20)/80(47,11)/80(7,

17、10)/80(41,21)/80(46,22)/80(49,39)/80(1,19)/80(31,34)/80(48,40)/80(28,26)/60(23,29)/60(18,25)/603类（三班合并被20整除）(33,14,3)/140(15,51,30)/120(4,53,38)/120(6,43,52)/1004类（无法除尽）50/4516/4437/4432/335/2612/2524/2555/1756/17说明：其中小括号为班级的组合再根据表1-1,得出班级人数和测试时间的关系如下（表1-2）:表1-2班级人数和测试时间的关系表人数完成测试时间组数1类（被20整除班）20425

18、614085012类（两班合并被20整除）12025551100213018017059601280r33类（三班合并被20整除）14029851120256021002135r1:4类（无法除尽）1803845（六班合并）1962135（三班合并）1说明:1.上试中成绩录入时间以及班间的间隔时间都已计算在内；2.四类中的六班合并由于大于150,可以先叫到前面几个班之后再叫后几个班进行调节。根据以上表采用穷举法，得出以下结论:1 .整个测试中最少时间段数为四段；2 .某一段内类别次序的先后顺序调换不影响结果;3 .测试是以班级组为单位先后达测试场；尽可能的使各时间段最后的空余时间最少，用穷举法

19、算出最短时间安排如下表1-3:表1-3班级分组人数和时间段测试时间表分组班级：55,32,16,37,12,5654,233,14,315,51,304,53,388测试时间：3845+2555+2985+2560+2560+425=14930s分组班级：28,2623,2918,2513,2047,117,1041,2142测试时间：3840+6820+850=11510s分组班级：6,43,5244,4546,2249,391,1931,3448,4050,5,24测试时间：2135+2135+2130+8525=14925s分组班级：917273536测试时间：2550s对于班级到场测试

20、时是以几个班级合并为一组（20的整数倍）为单位规定时间到场测试的。根据此方法给出班级测试时间安排表如（表1-4）:表1-4班级测试时间安排表上午时间（时/分/秒）8:00:008:14:159:04:059:46:4010:36:25组合班级号55,3216,37,12,5654,233,14,315,51,30时间（时/分/秒）11:19:0512:01:4512:08:50组合班级4,53,388下午时间（时/分/秒）13:30:0013:51:2014:12:4014:34:0015:02:25组合班级号28,2623,2918,2513,2047,11时间（时/分/秒）15:30:50

21、15:59:1516:27:4016:42:00组合班级号7,1041,2142上午时间（时/分/秒）8:00:008:35:359:11:059:39:3010:07:55组合班级号6,43,5244,4546,2249,391,19时间（时/分/秒）10:36:2011:04:4511:33:1012:08:45组合班级号31,3448,4050,5,24下午时间（时/分/秒）13:30:0013:37:0513:44:1013:51:1513:58:20组合班级号917273536当然，如果把班级到场但未进行测试的时间也算作等待时间时，此时只需要将每个班组的班级再在相应时间段里进行细分，

22、即当前一个班为20整数倍测算，后面的班再继续到场。这样就可以大大的减少这部分时间，但是对于学校为了管理的方便，时间安排并不会分配的如此细致，大部分情况是几个同类班一起划为一组进行测试。问题二：问题一确定了最少的时间段数为4个时间段，且最后一个时间段有大量时间的空余，可以利用这部分空余时间使学生等待时间最少。由问题一，立定跳远、肺活量和台阶测试所得的时间相等，而身高体重测试和握力测试有大量的空余时间，相对增加了学生的等待时间。在增加总体时间的基础上，改变分组的人数x,和每组测试的时间，以充分利用该部分的空闲时间，使等待时间减少。根据第一问列出的模型可知：每组第五项测试所需的时间为：2102-2每

23、组前四项中立定跳远和肺活量测试所需的时间为：X：1-M每组身高体重测试的时间为：-x15+72（当x为奇数，学取大于学的最相邻整数）222每组握力测试的时间为：m15十匕（当X为奇数，）取大于）的最相邻整数）222列出每组跳远和肺活量测试所需的时间与身高体重测试和握力测试的时间差最少为目标规划函数：Min：x2(x11-1)-(,15R)(x(x：i-2102-2)x2二1)玉10r2)3(210父2+月)(”S.t.5r)2(2102(x111V2102-2)当x为奇数，泮大于”相邻整数；T1T;根据以上模型，可以计算出在四个时间段内使学生等待时间最少的体能测试班级时间的安排方式。问题三：体

24、能测试建议要了解学生的身体状态，体能测试是最直接且可行的方法之一，针对本题，在满足要求的基础上，要提高测试效率，减少总体段数和学生等待时间，可以从以下四个方面进行更进一步的考虑：1 .引进仪器数量；2 .增加测试场所的人员容量；3 .一个班是否进行分组；4 .调节时间段；从仪器方面：补充假设：1.假设该学校在经费允许下引进测试仪器。模型的建立与求解：在此问题中，根据题意，从引进测试仪器的数量角度看，在满足补充假设条件下，对学生等待时间进行最优化，以等待时间达到最省为目标函数，建立规划模型进行求解当人数一定的情况下，增加仪器的数量可以减少总体的测试时间，但是增加仪器要考虑到费用问题，在时间和费用

25、间进行权衡。在某些特殊场合如时间非常紧迫的情况下，时问权重大于费用权重，而学校的体能测试并非属于这种状况，所以过大的花费资金购买仪器是不合理的。设身高与体重的测量仪器总共需要X1台，立定跳远的测量仪器总共需要X2台，肺活量的测量仪器总共需要X3台，握力的测量仪器总共需要X4台，台阶的测量仪器总共需要X5台，在身高与体重的测试项目中一次性出现学号不相连的个数为a1个，在立定跳远的测试项目中一次性出现学号不相连的个数为a2个，在肺活量的测试项目中一次性出现学号不相连的个数为a3个，在握力的测试项目中一次性出现学号不相连的个数为a4个,在台阶的测试项目中一次性出现学号不相连的个数为a5个。考虑到每个

26、项目测试仪器对应能测试的学生数量和一个人通过此项目所需的时间，即身高与体重的测量仪器可测%人，立定跳远的测量仪器可测X2人，肺活量的测量仪器可测X3人，握力的测量仪器可测X4人，台阶的测量仪器可测5X5人，一个人通过上面测试项目所需的时间依次为10秒/人，空秒/人，空秒/人，15秒/人，至秒/人。XiX2X3X4X5建立的目标函数为：minZ=ILXi1020201542、1220,1020201542、12-(一)-()一X1X2X3X4X55|b2X1X2X3X4X5520|X31020201542、12151020201542、12一(一一)一-(一一)一X1X2X3X4X554X1X2X3X4X5542|/51020201542121_()*-X1X2X3X4X554约束条件为:-10-0a55x5-10a4x4-10a3x3-10a2x2-10Ma1Mxi-1st-.*仅UN*a,=Nx1,3x5-2x4_24215202010