新人教版八年级上册课件：第章角平分线的性质和判定(共张PPT)

1、角平分线的性质角平分线的性质复习提问复习提问1 1、角平分线的概念、角平分线的概念oBCA12复习提问复习提问 2 2、点到直线距离、点到直线距离: :从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的的长度长度，叫做叫做点到直线的距离。点到直线的距离。OPAB我的我的长度长度 如图如图,是一个平分角的仪器是一个平分角的仪器,其中其中AB=AD,BC=DC.将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一条画一条射线射线AE,AE就是角平分线就是角平分线.你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?CADB你能由上面的探究得出作已知角的平分线

2、的方法吗你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?E角的平分线的作法角的平分线的作法证明：证明： 在在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共边）（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等） AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）尺规作角的平分线尺规作角的平分线画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作

3、射线射线即为所求射线即为所求为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？ 想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明： PD

4、OA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） PDO= PEO AOC= BOC OP=OP PDO PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。DP PEAOBC角平分线的性质角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED12 1= 2 1= 2 PD OA PD OA ，PE OBPE OBPD=PEPD=PE( (

5、角角的的平分线上的点到角的两边平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等) )推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。角平分线的性质角平分线的性质BADOPEC定理应用所具备的定理应用所具备的条件条件： （1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上； （3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）

6、 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等如图，如图， OC是是AOB的平分线，的平分线， 又又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE角的平分线上的点到角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的两边的距离相等 在在OAB中，中，OE是它的角平分线

7、，且是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D.求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD D 在在ABC中，中， C=90 ，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，BC7，DE3.求求BD的长。的长。EDCBA 如图，在如图，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的的平分线，平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF这节课我们学习了哪些知识？这节课我们学习了哪些知识？ 1、“作已知角的平分线作已知角的平分线”的尺规作图法；的尺规作图法；2、角的平分线的性质：、角的平分线的性质：

8、 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 OC是是AOB的平分线的平分线, 又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点角的平分线上的点到角的两边距离相等到角的两边距离相等). EDOABPC几何语言几何语言: :，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足，垂足为为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ABCDE 2 2、如图、如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线, ,点点P P在在OCOC上上,PD ,PD OA,PEOB,OA,PEOB,垂足分别是垂

9、足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用1 . 1 . 如图，如图，DEABDEAB，DFBCDFBC，垂足，垂足分别是分别是E E，F F， DE =DFDE =DF， EDB= EDB= 6060，则，则 EBF=EBF= 度，度，BE=BE= 。ABCDCEF60BF2 2 如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，DEABDEAB，1=21=2，且，且AC=6cmAC=6cm，那么线段，那么线段BEBE是是ABCABC的的 ，AE+DE=AE+DE=。角的平分线角的平分线6cm6cm练习练习3.已知已知

10、ABC中中, C=900,AD平分平分 CAB,且且BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE你会吗？你会吗？例例 已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P P。求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等. .证明：证明：过点过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理

11、PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 如图，的如图，的的外角的平分线与的外角的平分线与的外角的平分线相交于点的外角的平分线相交于点求证：点到三边、所在直线的距离求证：点到三边、所在直线的距离相等相等F FGH更上一层楼！更上一层楼！ 如图，由如图，由 于点于点 D ， 于点于点 E，PD= PE ， 可以得到什么可以得到什么结论结论 ？ OBPE PD OA 已知：如图，已知：如图， ， ，垂足分别是，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：

12、点求证：点P在在 的角平分线上。的角平分线上。AOBOAPD OBPE BADOPE 已知：如图，已知：如图， ， ， 垂足分别是垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点求证：点P在在 的角平分线上。的角平分线上。AOB OAPD OBPE 证明：证明： 90PEOPDO作射线OP 点点P在在 角的平分线上角的平分线上AOB 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）BOPAOP （全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边公共边）PD = PE （ 已已 知知 ）PEORt PDORt 角平分线角平分线的判定的判定BADOPEOAPD OBPE 角平分线的判定角平分线的判定的应用

13、书写格式：的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）DEOPAB角平分线的性质：角平分线的性质：角平分线的判定角平分线的判定BADOPECPD = PEOP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE OP 是是 的平分线的平分线AOBPD = PEOAPD OBPE 用途：证线段相等用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线练一练练一练填空：填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB1

14、21= 2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，且，且BEBECFCF。求证：求证：ADAD是是ABCABC的角平分线。的角平分线。A AB BC CE EF FD D1.1.已知：如图，已知：如图，BEBEACAC于于E E， CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD， BD=CD

15、 BD=CD 。求证：求证： ADAD平分平分BAC BAC 。ABCFED课堂练习课堂练习拓展与延伸拓展与延伸2.已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA3、已知、已知PA=PB， 1+ 2=1800， 求证：求证：OP平分平分AOBAOBP12EFABCPEDFMN例题例题2.2.如图，如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P P。求证：点。求证：点P P也在也在A A的平分线上。的平分线上。证明：过点证明：过点P P作作PDABPDAB于于DD，PEBCPE

16、BC于于E E，PFACPFAC于于F F证明：过点证明：过点P作作PD 、PE、PF分别垂分别垂直于直于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、FBM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等随堂练习随堂练习 1.已知：如图，已知：如图，ABC的的B的外角的平分线的外角的平分线BD和和C的外角平分线的外角平分线CE相交于点相交于点P。求证：点求证：点P在在BAC的平分线上。的平分线上。C

17、A B P DE2.如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？位置上？例例1 1 已知：在等腰已知：在等腰RtRtABCABC中，中，AC AC BCBC，C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于点于点E E。 求证：求证：BDBDDE DE ACAC变式变式 已知已知AB 15cm, 求求DBE的周长的周长EDCBA1、直线表示三条相互交叉的公路、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物现要建一个货物中转站中转站,要求它到三

18、条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等,则可供选择则可供选择的地址有的地址有( ) A.一处一处 B. 两处两处 C.三处三处 D.四处四处2 2、已知、已知:BDAM:BDAM于点于点D,CEAND,CEAN于点于点E,BD,CEE,BD,CE交点交点F,CF=BF,F,CF=BF,求证求证: :点点F F在在A A的平分线上的平分线上. .A A A A A A ADNE BFMCA1 1、画一个已知角的角平分线；、画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2、角平分线的性质：、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的

19、两边的距离相等3 3、角平分线的判定结论：、角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。课堂小结课堂小结判定：到角的两边的距离相判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。等的点在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE用数学语言表示为：用数学语言表示为：1.全等三角形的性质全等三角形的性质: 对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。对应边、对应角、对

20、应线段相等，周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定全等三角形的判定: 知识点知识点一般三角形全等的判定：一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL知识点知识点3.三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路： 已知一边一角 ASA找夹边已知两角 SAS找夹角已知两边SSS找另一边HL找直角 SAS找夹角的另一边边为角的邻边AAS找任一角ASA找夹角的另一角AAS找边的对角AAS找任一边边为角的对边到角的两边的距离相等的点在角的平到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。分线上。 QDOA，QEOB，QDQ

21、E（已知）点Q在AOB的平分线上（到角的两边的距到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 (已知） QDQE（角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等）边的距离相等）二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, ,

22、 PDAB于于D，PEBC于于EABCPMNDEFPD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F3.3.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相的平分线相交于点交于点F F，求证：点，求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC

23、于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM（角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的的两边距离相等）两边距离相等）.又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.FGFH（等量代换）点F在DAE的平分线上例题选析例题选析例例1：如图，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定ABE ACD的是( )AAD=AE B AEB=ADCCBE=CD DAB=ACB例例2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中

24、全等的三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对 D已知：已知： ACBC，BDAD，AC=BD. 求证：求证：BC=AD.例例3.ABCD例例4:下面条件中, 不能证出RtABCRtA BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC(C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=ABC例例5：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEH CEB。BE=EH例例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：

25、如图，已知：如图，AD是是ABC 的中线，求证：的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：延长AD到E，使DEAD，连结BEEDBADC AD是ABC 的中线BDCD又 DEAD ADC EDB AC = EB在ABE中，AE AB+BEAB+AC即 2AD AB+AC)(21ACABAD课堂练习课堂练习1.已知已知BDCD，ABDACD，DE、DF分别垂直分别垂直于于AB及及AC交延长线于交延长线于E、F.求证：求证：DEDF证明：证明：ABDACD（ ） EBDFCD（ ）又又DEAE，DFAF（已知）（已知） EF900（ ）在在DEB和和DFC中中 DEB DFC（ ） DED

26、F（ ）（已知）（已证）已证CDBDFCDEBDFE)(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等AASAAS垂直的定义垂直的定义等角的补角相等等角的补角相等已知已知2.点点A、F、E、C在同一直线上，在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF。求证：求证：ABCD。证明：AEBCFDCEAF CFAE BE又DF21DFBE 又CAABCD3、如图：在、如图：在ABC中，中，C C =900，AD平分平分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE= 。12cABDE4.4.已知，已知，ABCABC和和ECDECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且

27、点B B，C C，D D在一条直线上。求证：在一条直线上。求证：BE=ADBE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABCABC绕点绕点C C旋转一定角度（大于零度旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论而小于六十度），以上的结论海成立吗？海成立吗？证明证明： ABCABC和和ECDECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE BCA+ACE=DCE+ ACE即即BCE=DCABCE=DCA在在ACDACD和和BCEBCE中中 AC=BC AC=BC

28、 BCE=DCA BCE=DCA DC=EC DC=EC ACDACDBCE (BCE (SASSAS) ) BE=AD BE=AD5.5.如图，已知如图，已知E E在在ABAB上，上，1=21=2， 3=43=4，那么，那么ACAC等于等于ADAD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS) BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS) AC=AD6.6.如图，已知，如图，已知，ABDEABDE，AB=DEAB=DE，AF=DCAF=

29、DC。请问图中有。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABC DEF证明： ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF （SAS）7.7.如图如图, ,已知已知ACACBDBD，EAEA、EBEB分别平分分别平分CABCAB和和DBADBA，CDCD过点过点E E，则，则ABAB与与AC+BDAC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成