统计学第五章

1、1 第五章第五章 方差分析方差分析第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析 第二节第二节 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析 本章小结本章小结主要内容主要内容2 方差分析是在方差分析是在20世纪世纪20年代由英国统计学年代由英国统计学家费舍尔在进行实验设计时为解释实验数据而家费舍尔在进行实验设计时为解释实验数据而首先引入的。方差分析是在有关因素中找出有首先引入的。方差分析是在有关因素中找出有显著影响的那些因素的一种方法。实际上，方显著影响的那些因素的一种方法。实际上，方差分析分析的并不是方差，而是研究数据间的差分析分析的并不是方差，而是研究数据间的变异，即通过分析数据的误差

2、来源来判断各总变异，即通过分析数据的误差来源来判断各总体均值是否相等。体均值是否相等。 将要考察的指标称为试验指标将要考察的指标称为试验指标 。影响试验。影响试验指标的条件称为因素，一般用大写字母指标的条件称为因素，一般用大写字母A,B,C等表示。等表示。如果一项试验中只有一个（两个）因如果一项试验中只有一个（两个）因素在改变我们就称为单（双）因素试验。素在改变我们就称为单（双）因素试验。因素因素的不同表现称为水平。的不同表现称为水平。3例例1 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成条件合成b-b-萘酚，测定所得产品的熔点如下表所萘酚，测定所得产品

3、的熔点如下表所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析 产地产地1产地产地2产地产地3产地产地4124.0123.0123.5123.0123.0123.0121.5121.0123.0123.5121.0需考虑的因素是原料产地，这个因素有需考虑的因素是原料产地，这个因素有4个水平。个水平。4 设因素设因素A有有t 个水平个水平(总体总体)，在第，在第i个水平下进个水平下进行了行了ni次相互独立的试验次相互独立的试验(抽样抽样)，结果如下：，结果如下：第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的

4、方差分析 5 若被考察的因素对试验结果没有显著的影响，若被考察的因素对试验结果没有显著的影响，即所讨论的各正态总体的均值相等，则试验数据即所讨论的各正态总体的均值相等，则试验数据的波动完全由随机误差引起；如果各正态总体均的波动完全由随机误差引起；如果各正态总体均值不全相等，则表明试验数据的波动除了随机误值不全相等，则表明试验数据的波动除了随机误差的影响外，还包含被考察因素效应的影响。为差的影响外，还包含被考察因素效应的影响。为此，需要构造一个适当的统计量，来描述数据的此，需要构造一个适当的统计量，来描述数据的波动程度。将这个统计量分解为两部分，一部分波动程度。将这个统计量分解为两部分，一部分是

5、纯随机误差造成的影响，另一部分是除随机误是纯随机误差造成的影响，另一部分是除随机误差的影响外来自于因素效应的影响。然后将这两差的影响外来自于因素效应的影响。然后将这两部分进行比较，如果后者明显比前者大，就说明部分进行比较，如果后者明显比前者大，就说明因素的效应是显著的。因素的效应是显著的。 方差分析的基本思想方差分析的基本思想6方差分析的基本任务方差分析的基本任务 假设每个总体都服从正态总体，且各总体假设每个总体都服从正态总体，且各总体的均值和方差未知，但方差相同。在水平的均值和方差未知，但方差相同。在水平Ai下进行了下进行了ni次相互独立的试验。次相互独立的试验。 方差分析的基本任务是检验：

6、方差分析的基本任务是检验：（1）（2） 参数参数 的检验的检验012112:,ttHH 不不全全相相等等221,t7构造方差分析中的检验统计量构造方差分析中的检验统计量 水平水平Ai下的样本均值下的样本均值 总平均总平均11112inttjiiiijitXn XXnnnnnn 式式 中中 ：11 2(, , )injijiiXXitn 8总平方和总平方和 总平方和反映了全部数据的波动程度总平方和反映了全部数据的波动程度组内平方和组内平方和又称误差平方和，反映了随机误差所造成的数据变又称误差平方和，反映了随机误差所造成的数据变异异组间平方和组间平方和又称为效应平方和，它包含了因素又称为效应平方和

7、，它包含了因素A A在各水平下的不在各水平下的不同作用在数据中引起的波动同作用在数据中引起的波动 211intEjiiijSXX - - 211intTjiijSXX- 22111inttAiiiijiSXXnXX - - - - 9三个平方和的关系和作用三个平方和的关系和作用 三者关系：三者关系：如果原假设成立，则表明因素效应的影响不如果原假设成立，则表明因素效应的影响不显著，组间平方和除以自由度后的组间均方显著，组间平方和除以自由度后的组间均方 与最内平方和除以自由度后的组内均方与最内平方和除以自由度后的组内均方 差差异就不会太大；如果组间均方异就不会太大；如果组间均方 显著地大于组显著地

8、大于组内均方内均方 ，说明各水平，说明各水平(总体总体)之间的差异不仅之间的差异不仅是随机误差造成的影响，还有来自于因素效是随机误差造成的影响，还有来自于因素效应的影响。应的影响。TEASSS ASESASES10单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表方差方差来源来源平方平方和和自由度自由度均方均方F比比F临界值临界值因素因素A误差误差总和总和AETSSS1=AASESStSSn t- - - -11tntn- - - -AESFS 1(,)Ftnt - - -11 由此得到检验问题的拒绝域的形式：由此得到检验问题的拒绝域的形式： 该检验法的直观意义是：当组间差异相该检验法的直观意义是：当组

9、间差异相对于组内差异较大时就拒绝原假设对于组内差异较大时就拒绝原假设 。 在计算时，我们只要算出在计算时，我们只要算出F值，然后与值，然后与F分布的临界值比较即可；也可运用分布的临界值比较即可；也可运用Excel计计算分析算分析。1(,)AESFF tntS - - -0H12例例1 解解: 经过计算得到下列方差分析表经过计算得到下列方差分析表 由上表可知，接受原假设，由上表可知，接受原假设，即原料萘的产地即原料萘的产地对萘酚熔点无显著影响对萘酚熔点无显著影响 。方差来源方差来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F F比比 F临界值临界值原料产地原料产地误差误差总和总和4.65725.9

10、79210.636437101.55240.85421.8174 3.0713用用Excel进行单因素方差分析进行单因素方差分析 第第1步：步：选择“工具工具 ”下拉菜单第第2步：步：选择“数据分析数据分析 ”选项第第3步：步：在分析工具中选择“单因素方差分析单因素方差分析 ” ，然 后选择“确定确定 ”第第4步：步：当对话框出现时 在“输入区域输入区域 ”方框内键入数据单元格区域 在方框内键入0.05（可根据需要确定） 在“输出选项输出选项 ”中选择输出区域 选择“确定确定 ”用用Excel进行单因素方差分析进行单因素方差分析14方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较 若通过方差分析的检验

11、结果拒绝原假若通过方差分析的检验结果拒绝原假设，则希望确切找出因素设，则希望确切找出因素A在哪些水平下在哪些水平下存在差异。而通过对总体均值之间的配对存在差异。而通过对总体均值之间的配对比较可以进一步检验到底哪些均值之间存比较可以进一步检验到底哪些均值之间存在差异。在差异。 15方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较(步骤步骤)提出假设提出假设H0: i = j (第第i个总体的均值等于第个总体的均值等于第j个总体的个总体的均值均值)H1: i j (第第i个总体的均值不等于第个总体的均值不等于第j个总体个总体的均值的均值)计算检计算检验的统计量验的统计量: 决策：若决策：若 ，拒绝拒绝H0

12、。11()()ijijEijXXTt ntSnn- - - - 2()ijTtnt - -16第二节第二节 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析 在实际中，影响一事物的因素有两个或更多。在实际中，影响一事物的因素有两个或更多。下面我们讨论双因素的方差分析问题，即下面我们讨论双因素的方差分析问题，即分析两个分析两个因素因素(行因素和列因素行因素和列因素)对试验结果的影响。对试验结果的影响。 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为的双因素方差

13、分析称为无交互作用的双因素方差分无交互作用的双因素方差分析析 或或无重复双因素方差分析无重复双因素方差分析。 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因有交互作用的双因素方差分析素方差分析 或或可重复双因素方差分析可重复双因素方差分析。17第二节第二节 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析 一、双因素无重复试验的方差分析一、双因素无重复试验的方差分析 双因素方差分析的基本思路：若某一因素的双因素

14、方差分析的基本思路：若某一因素的几个水平会引起事物很不同的结果，则这个因几个水平会引起事物很不同的结果，则这个因素就是重要的；若某一因素的几个水平仅是导素就是重要的；若某一因素的几个水平仅是导致事物相近的结果，则这个因素就是不重要的。致事物相近的结果，则这个因素就是不重要的。 如在实际中已知因素之间无交互作用，或交如在实际中已知因素之间无交互作用，或交互作用对试验指标的影响很弱，则可以忽略交互作用对试验指标的影响很弱，则可以忽略交互作用。这样的双因素方差分析互作用。这样的双因素方差分析即为无重复试即为无重复试验的双因素方差分析。验的双因素方差分析。18 例例2 为了研究为了研究4种水稻品种对产

15、量有无显著影响，种水稻品种对产量有无显著影响，分别在分别在5块面积相同的试验地上种上同一品种的块面积相同的试验地上种上同一品种的水稻，总共种了水稻，总共种了20块地。虽然每块地的面积是相块地。虽然每块地的面积是相同的，但各块地的土质可能有较大的差异。为获同的，但各块地的土质可能有较大的差异。为获得试验结果的正确性，把得试验结果的正确性，把20个试验单位按土质分个试验单位按土质分为为5类，每个组内有类，每个组内有4个试验单位，它们的基本条个试验单位，它们的基本条件认为是相同的。在每一个组中，件认为是相同的。在每一个组中，4种品种的水种品种的水稻种子随机地播种在其中的一个试验单位上。下稻种子随机地

16、播种在其中的一个试验单位上。下表是将表是将4个品种的水稻播种在个品种的水稻播种在5个组上测得收获量个组上测得收获量的数据（单位：公斤）。在每一试验单位上水稻的数据（单位：公斤）。在每一试验单位上水稻的播种量及其它条件可以认为都相同。设品种和的播种量及其它条件可以认为都相同。设品种和地块的各水平搭配下收获量的总体都服从正态分地块的各水平搭配下收获量的总体都服从正态分布且方差相同。问在水平下，品种对水稻收成有布且方差相同。问在水平下，品种对水稻收成有无显著影响。无显著影响。 19试验数据试验数据 地块地块B品种品种AB1B2B3B4B5A1A2A3A432.333.230.829.534.033.

17、634.426.234.736.832.328.136.034.335.828.535.536.132.829.420试验结果试验结果 列因素列因素B行因素行因素AB1B2BsA1X11X12X1sA2X21X22X2sArXr1Xr2Xrs一、双因素无重复试验的方差分析一、双因素无重复试验的方差分析21此假设检验问题为此假设检验问题为对对行因素行因素 提出的假设为提出的假设为H01: 1 = 2 = = i = = r ( i为第为第i个水平的均值个水平的均值)H11: i (i =1,2, , r) 不全相等不全相等对对列因素列因素 提出的假设为提出的假设为H02: 1 = 2 = = j

18、 = = s ( j为第为第j个水平的均值个水平的均值)H12: j (j =1,2, s) 不全相等不全相等一、双因素无重复试验的方差分析一、双因素无重复试验的方差分析22一、双因素无重复试验的方差分析一、双因素无重复试验的方差分析 构造检验统计量：构造检验统计量：总误差平方和总误差平方和行因素行因素A效应平方和效应平方和 列因素列因素B效应平方和效应平方和 误差平方和误差平方和 22.111rssBjjijjSXXrXX - - - - 211rsTijijSXX - - 22.111rsrAiiijiSXXsXX - - - - 2.11rsEijijijSXXXX - - - TEAB

19、SSSS23方差分析表方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比行因素行因素A 列因素列因素B 误差误差 总和总和 ASBSESTS1r - -1s- -(1)(1)rs- - -1rs- -1AASSr - -1BBSSs - -(1)(1)EESSrs -AAESFS BBESFS 24此假设检验问题的拒绝域的形式为：此假设检验问题的拒绝域的形式为：在显著性水平在显著性水平 下，检验问题的拒绝域分别为下，检验问题的拒绝域分别为假设假设 的拒绝域为的拒绝域为假设假设 的拒绝域为的拒绝域为01H(1,(1)(1)AFFrrs -(1,(1)(1)BFFsrs -02H一、

20、双因素无重复试验的方差分析一、双因素无重复试验的方差分析25例例2 解解: 经过计算得到方差分析表经过计算得到方差分析表 由此可知，不同的水稻品种对水稻收成有显著由此可知，不同的水稻品种对水稻收成有显著的影响，不同的地块对水稻的收成无显著影响的影响，不同的地块对水稻的收成无显著影响 。方差来源方差来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F比比F临界值临界值品种品种A地块地块B误差误差总和总和3412193.493.2644.882AS 2.190ES 3.525BS 134.646AS 14.098BS 26.282ES 175.026TS 20.49AF 1.61BF 26二、双因素可重

21、复试验的方差分析二、双因素可重复试验的方差分析 在上面的分析中，我们考虑了双因素间在上面的分析中，我们考虑了双因素间无交互作用的情况。无交互作用的情况。下面要讨论情况稍复下面要讨论情况稍复杂的双因素有交互作用的情况。杂的双因素有交互作用的情况。为了检验为了检验因素之间的交互作用是否显著，对于两个因素之间的交互作用是否显著，对于两个因素水平的每一组合因素水平的每一组合至少要试验两次至少要试验两次。27 例例3 某种火箭使用某种火箭使用4种燃料（种燃料（A A），），3种推进器种推进器（B B）进行射程试验。在每种燃料与每种推进器）进行射程试验。在每种燃料与每种推进器的组合下火箭各发射两次，射程数

22、据见下表。的组合下火箭各发射两次，射程数据见下表。 试在显著性水平试在显著性水平0.050.05下，检验不同燃料下，检验不同燃料（因素（因素A A）、不同推进器（因素）、不同推进器（因素B B）下射程是否）下射程是否有显著差异？交互作用是否显著？有显著差异？交互作用是否显著？ B1B2B3A1A2A3A458.2，52.649.1，42.860.1，58.375.8，71.556.2，41.254.1，50.570.9，73.258.2，51.065.3，60.851.6，48.439.2，40.748.7，41.428 行因素行因素A有有r 个水平，列因素个水平，列因素B有有s 个水平，重复

23、试验个水平，重复试验t 次次试验结果。试验结果。 列因素列因素B行因素行因素A B1 B2 Bs A1 A2 Ar11111211,tXXX12112212,tXXX1 11 21,ssstXXX21121221,tXXX22122222,tXXX2 12 22,ssstXXX11121,rrr tXXX21222,rrr tXXX12,rsrsrstXXX二、双因素可重复试验的方差分析二、双因素可重复试验的方差分析 29方差分析表方差分析表1BBSSs - -方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素A因素因素B交互作用交互作用误差误差总和总和ASBSA BS ESTS1

24、r - -1s- -(1) (1)rs-(1)rs t - -1rst - -1AASSr - -(1)(1)A BA BSSrs -/AAEFSS /BBEFSS /A BA BEFSS (1)EESSrs t - -二、双因素可重复试验的方差分析二、双因素可重复试验的方差分析30此假设检验的拒绝域分别为此假设检验的拒绝域分别为:在显著性水平在显著性水平 下，下，假设假设 的拒绝域的形式为：的拒绝域的形式为：假设假设 的拒绝域的形式为：的拒绝域的形式为：假设假设 的拒绝域的形式为：的拒绝域的形式为：01H(1,(1)AFFrrs t - - -(1,(1)BFFsrs t - - -(1)(

25、1),(1)A BFFrsrs t - - - -02H03H二、双因素可重复试验的方差分析二、双因素可重复试验的方差分析31解：解： 经过计算得到方差分析表经过计算得到方差分析表 由于由于3 3个假设检验中的个假设检验中的F F值都大于其临界值，故可以认值都大于其临界值，故可以认为燃料和推进器这两个因素对射程的影响是显著的，为燃料和推进器这两个因素对射程的影响是显著的，且交互作用是显著的。且交互作用是显著的。方差来源方差来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F比比 F临界临界值值因素因素A因素因素A交互作用交互作用A B 误差误差总和总和261.675370.9811768.693236.9502638.298326122387.225185.490294.78219.746FA=4.42 FB=9.39 FAB=14.9 3.