17代数学基础群和子群的基本概念ppt课件

1、代数学根底n内容提要n群n环和域n有限域群n普通来说，一个代数构造是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。定义 群的定义 . 群的定义：群的定义：设G是一个集合， “”是定义在G上的一个二元运算。如果下面四个条件成立，就将代数系统),(G称为群 (Group)： 1Gba,，有Gba （封闭性） 2Gcba,，有)()(cbacba （结合律） 3存在唯一的元素Ge，使得对于任意Ga，都有aaeea，元素e称为单位元 （单位元） 4Ga，存在元素Ga1，使得eaaaa11 （可逆性） 留意：n 在表示群),(G时，通常省略运算符“” ，而用G表示一个群。

2、n有限群和无限群：n假设集合 G 中的元素个数有限，就称群G为 n 有限群；否那么称为无限群。n阿贝尔群n阿贝尔群又称交换群commutative group)，本章中出现的一切群都是指交换群。举例n下面，我们给出群的一些详细例子。群的例子1n整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z, +). n (Z, +)是一个无限群、阿贝尔群。n 有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都构成无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群一样。群的例子2nQ、R 和 C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。n 这三个群的完好表示是(Q*, , (R*, , (C*, 。n 将这些群称为乘法群

3、。) ) ) 群的例子3n对恣意自然数 n , 整数模 n 集合构成一个包含 n 个元素的有限加法群，这里的加法运算是模 n 加，将这个群记为Zn 。n n 这个群的完好表示为Zn，+(mod n).n 留意: Zn 是 Z/nZ的简化表示。群的例子4n时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12 , 将 Z12 , +(mod 12)称为时钟群。群的例子5nZn=0, 1, 2, , (n-1)n n Zn中一切与 n 互素的的元素是Zn的一个子n 集, 这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群，用Zn*表示。n n 例如， (Z15*, (mod15) ) n = (1, 2, 4, 7,

4、 8, 11, 13, 14, (mod15) ) 群的例子6n集合B=0,1，在异或运算下构成群。群的例子7nx3 -1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。n x =1是方程的一个解，该方程有三个根。n 用u和v表示其它两个根。由于n x3 -1=(x-1)(x2 + x + 1)n 那么u和v是 x2 + x + 1=0的两个根。n 由二次方程根与系数的关系， u和v互逆。n 封锁性: (x2)3 1 =0 。群的例子(8)n置换群n S=1,2,nn Sn是S上一切置换构成的集合n | Sn |=n!n , 是Sn中置换, 表示和的复合, n即(x)=(x)n Sn构成群, 称为n阶对称

5、群.n置换的表示n = =n =n niiin.2121312412344123123443121234 (1234)(56) = = (132) (1432) = (1423) 31241234412312344312123423416571234567反复群运算的简化表示令G是运算“”下的一个群，对任一元素Ga，任一整数Ni，将下面的元素 iaaa 记为Gai。 注释：注释： （1）Gai只是将a与自身做1i次群运算的结果， 整数i和a之间的“运算”并不是群运算。 （2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn，+(mod n)） 。对于这些群，ia 就是ia，但简化写法中的“点”并不是群运算，

6、整数i也不一定是群中的元素。 群的性质子群设H 是群G 的一个非空子集，如果H 在群G 的运算下也构成一个群，就称H 是群G 的一个子群， 记为GH 。 用GH 表示H 是群G 的一个真子群（即GH ） 。 子群n对于群 G 的一个非空子集H，要判别H能否是G的子群，需求验证4条：n封锁性n结合律不用验证n单位元n逆元素子群的例子1n在加法运算下，Z Q R C.n留意，在这个例子中：n子群中的单位元和群中的单位元一样，都是0n子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致子群的例子2n全体偶数的集合包括0，在加法运算下，是整数加法群的一个子群。因此也是 1中一切群的子群。子群的例子3n在乘法运算

7、下， Q* R* C*。 子群的例子4令 n 是 一 个 正 奇 数 ，Fermat( n ) 表 示 Z*n的 一 个 子 集 ，其 中 的 任一 元 素 a ， 都 满 足)(mod121nan， 那 么 Fermat( n )是 Z*n的 一 个子 群 。 当 n 为 素 数 时 ，由 费 马 小 定 理 ，Fermat( n ) = Z*n；当 n 为 合 数 时 ，Fermat( n ) 是 Z*n的 一 个 真 子 群 。 子群的例子5nB=0,1在异或运算下是一个群。n0是B的一个真子群n1不是B的子群子群的例子6n设G是一个群，e是它的单位元ne和G是群G的两个平凡子群。群的阶

8、n有限群G中元素的个数称为G的阶，记为#G.n#Zn = nnB=0,1按照异或运算，#B = 2n#Roots (x3-1) = 3子群中的单位元n在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含它的群的单位元！n现实上，对恣意子群都有这样的结论成立：n 证明: 设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，Gn 中的单位元为eG。那么，在H中，有eH 。eH = eH；n 在G中，有eH 。eG = eH。从而可得到eH = eG。子群中的逆元素n由于eH = eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。子群的判别 (1)n子群的判别方法：设),(G是一个群，H是G的一个非空子集，那么),(H是G的

9、子群的充要条件是： （1）封闭性：任意Hba,，都有Hba； （2）单位元素：HeG； （3）逆元素：任意Ha，都有Ha 1。 子群的判别(2)n设H是群G的一个非空子集, H是G的子群的充要条件是对恣意的元素x, y H, 有xy-1 H.子群的判别 (3)n当 H 是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封锁性即可：设),(G是一个群，H 是G 的一个非空子集，H 只含有有限个元素， 那么只要H 满足封闭性，),(H就是G 的子群。 拉格朗日定理n陪集陪集Coset的定义的定义令G是一个（阿贝尔）群，HG，对于Ga，集合|HhhaHa称为H的一个（左）陪集。 n拉格朗日定理：若 H 是

10、G 的一个子群，则GH |#。 商群的概念n注: n此处，首先应阐明商群上的运算是一个二元运算。n实践上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，由于：HbaHbHa)()()( 商群的例子(1)n 设 n0 是一个整数，在加法运算下，集合n nZ=0, n, -n, 2n, -2n,是Z的一个子群，n 那么商群n Z/nZ=x+nZ | x为任一整数n 有n个元素，即n Z/nZ=0+nZ,1+nZ,n-1+nZn 可以看出Z/nZ=Znn 现实上，Z/nZ是Zn的正式和规范记法，为了表达的方便，n 用Zn替代Z/nZ。商群的阶商群的例子(2)设nm,是正整数，满足nm |，参照上一个例子，

11、我们有： 11,2 , 0mmnmmZmn是),(nZ的一个含有mn/个元素的子群； 2mnnZmZZ/； 3)(#/#)/(#nnmnnmZZmnnmZmZZ 群元素的阶n注：当一个元素g的阶ord(g)有限时，假设有gn =e成立，那么必有ord(g)|n，即n一定是ord(g)的倍数。定义 5.9 群元素的阶 令G 是一群， 任意Ga， 称满足eai的最小正整数Ni为元素a 的阶，记为)(aord。如果不存在这样的整数i，则称a的阶是无限的。 例子1n在时钟群Z12中：n12是满足112=0 (mod 12)的最小正整数，一切ord(1)=12；n类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3，n ord5=12。例子2n0, 1关于异或运算构成一个群，ord(0)=1, ord(1)=2.例子3n在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)=3，ord(1)=1.例子4n在Z中，ord(1)= 。推论 拉格朗日令G 是一有限群，则对任意Ga，都有)(aord|#G 。 n推论提供了群的阶和群