第五章相似矩阵、二次型

1、西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A教学内容教学内容 向量内积向量内积 特征值与特征向量特征值与特征向量 相似矩阵相似矩阵 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化 二次型及其标准型二次型及其标准型 惯性定理、正定二次型惯性定理、正定二次型西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A基本要求基本要求1. 理解向量的内积、长度、正交、规范正交基、正交矩阵等概理解向量的内积、长

2、度、正交、规范正交基、正交矩阵等概念，掌握施密特正交化方法；念，掌握施密特正交化方法；2. 理解矩阵的特征值与特征向量的概念，掌握其性质与求法；理解矩阵的特征值与特征向量的概念，掌握其性质与求法；3. 理解相似矩阵的概念和性质，理解方阵可相似对角化的充要理解相似矩阵的概念和性质，理解方阵可相似对角化的充要条件；条件；4. 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，掌握利用正交掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，掌握利用正交矩阵将对称矩阵化为对角阵的方法；矩阵将对称矩阵化为对角阵的方法；5. 熟悉二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩。掌握用正交变熟悉二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩。掌握用正交

3、变换把二次型化为标准形的方法；换把二次型化为标准形的方法；6. 了解用配方法化二次型为规范形的方法，知道惯性定理；了解用配方法化二次型为规范形的方法，知道惯性定理；7. 知道二次型的正定性及其判别方法。知道二次型的正定性及其判别方法。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A重点、难点重点、难点1. 施密特正交化过程施密特正交化过程2. 求方阵的特征值和特征向量求方阵的特征值和特征向量3. 矩阵的相似矩阵及其对角化矩阵的相似矩阵及其对角化4. 化二次型为标准形化二次型为标准形5. 二次型的正定性二次型的正定性西南交通大学峨眉校区基础

4、课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积1向量内积向量内积定义（内积）定义（内积） 设有设有 n n 维向量维向量, n21n21yyyyxxxx令令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ，称称 x , y 为向量为向量 x 与与 y 的的内积内积. . 易知易知, , x , y = = xTy 。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积内积具有下列性质：内积具有下列性质：1. 1. x , y x , y = =

5、 y , x y , x ; ; ;y,xy,x. 23. 3. x + y , z = x , z + y , z ; ;4. 4. x , x 0 , ,当且仅当时当且仅当时 x = 0 时时 x , x = 0. .其中其中 x，y，z 是为向量，是为向量，.为为实实数数 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积向量的长具有性质：向量的长具有性质：;.xx2 .yxyx3 长为长为 1 1 的向量称为单位向量。的向量称为单位向量。若向量若向量 x x 0 , 0 , .是是单单位位向向量量则则xx1,

6、.0 x1 ;,0 x0 x 时时当当且且仅仅当当定义定义( (长度长度) ) 非负实数非负实数称为称为 n 维向量维向量 x 的长。的长。2n2221xxxxxx ,西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式x,y2x,xy,y【证明【证明】对任意的实数 t 及 n 维向量 x, y， x-ty，x-ty0 x，x- x，yt- y，xt+ y，yt20即即 x，x- 2x，yt+ y，yt20所以，所以， =(2x，y)2-4x，xy，y0即即 x，y2x，xy，

7、y 。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积由施瓦茨不等式，知道由施瓦茨不等式，知道当当 xy0 0 时，时， , 1.x yxy 定义（夹角）定义（夹角） 当当 x00，y0 y0 时，时， , arccosx yxy 称为称为 n 维向量维向量 x 与与 y 的夹角的夹角 。当当 x，y=0 时，称向量时，称向量 x 与与 y 正交正交。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积2正交向量组正交向量组定义（正交向量组

8、）定义（正交向量组）一组两两正交的非零向量。一组两两正交的非零向量。12(1,1,1),(1, 1,1).TTaa 求求一一非非零零向向量量与与向向量量都都正正交交例例1【解【解】 设所求的向量为设所求的向量为 xT=(x1，x2，x3)，那么它满足，那么它满足12312300 xxxxxx 解得解得1320 xxx 取向量取向量 xT=(1,0,-1) 即满足要求。即满足要求。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积定理定理 正交向量组必线性无关。正交向量组必线性无关。定义定义（规范正交向量组）（规范正交

9、向量组） 由单位向量构成的正交向量组。由单位向量构成的正交向量组。向量组向量组 e1，e2，er 为规范正交向量组为规范正交向量组 1 , ,1,2,., .0 ,ijije ei jrij 定理定理 设向量组设向量组 12,.,r 线性无关，则必有线性无关，则必有规范正交向量组规范正交向量组12,.,re ee12,.,r 与与等价。等价。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积Schmidt 正交化方法：正交化方法：取取11, 1122111, 231333212211, 11111111,rrrrrr

10、rr 单位化：单位化：取取121111122,.,rrreee为规范正交向量组且与为规范正交向量组且与12,.,re ee12,.,r 等价。等价。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积123123(1, 1,1), ,.Taa aa a a已已知知求求向向量量使使相相互互正正交交例例2【解【解】0 xxx321 取它的一个基础解系 101b011b32,231, ,aaa因因向向量量都都与与向向量量正正交交所以，所以， 2 2， 3 3 的分量满足齐次线性方程组的分量满足齐次线性方程组西南交通大学峨眉校

11、区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积再把再把 b2 , , b3 正交化即为所求正交化即为所求 a2 , , a3 。也就是取也就是取, 011ba222223233aaababa, 101 01121. 21121向量组向量组 a1 , a2 , a3 是所求正交向量组。是所求正交向量组。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积定义（规范正交基）定义（规范正交基） 设设 n 维向量维向量 e1，e2，er 是是 向量空间向量空间 V

12、 的一个基，如果向量组的一个基，如果向量组 e1，e2，er 为规范正交向量组在，则称为规范正交向量组在，则称 e1，e2，er 是是 V 的的 一个规范正交基。一个规范正交基。【例【例】 Rn 的自然基的自然基 e1，e2，en 就是就是 Rn 的一个规的一个规范正交基。范正交基。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积3正交阵正交阵定义（正交阵）定义（正交阵） 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA=E， 那么称那么称 A 为正交矩阵。为正交矩阵。例例11221122100100cossin,

13、0,001sincos0100ABC 都是正交阵。都是正交阵。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积定理定理 n 阶方阵阶方阵 A 为正交阵为正交阵 A 的列（行）向量组是规范正交向量组的列（行）向量组是规范正交向量组 A 的列（行）向量组构成的列（行）向量组构成 Rn 的一个规范正交基。的一个规范正交基。正交阵的性质：正交阵的性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则1. |A|=1或或-1；2. A-1 也是正交阵；也是正交阵；3. 若若 B也也为正交阵，则为正交阵，则 AB 也为正交阵；也为正交阵；4

14、. A* 是正交阵。是正交阵。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积例例3 3 设设 A、B 均为正交阵，且均为正交阵，且|A|=-|B|，证明，证明 |A+B|=0。【证明【证明】22(1)| A| 11 |B|1-1 | A|B|1| |1ABAB 或或，或或又又(2) | | | |() |TTTTTTTABAB BAA BABABBAABAB 所以，所以， |A+B|=0。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内

15、积4正交变换正交变换定义（线性变换）定义（线性变换） 变量变量 x1，x2，xn 与变量与变量 y1，y2，yn 之间的关系式：之间的关系式：11111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp ypyxp ypypy 叫做从变量叫做从变量 y1，y2，yn 到变量到变量 x1，x2，xn 的的线性变线性变换换。线性变换的系数构成矩阵线性变换的系数构成矩阵 P=(pij)nn ，则，则 x=Py 。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A一、向量内积一、向量内积定义（正交变换）定义（正交变换）

16、 若若 P 为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换 x=Py 称为称为正交变换正交变换 。正交变换具有下列性质：正交变换具有下列性质：1. 正交变换保持向量的内积不变；正交变换保持向量的内积不变；2. 正交变换保持向量的长度不变；正交变换保持向量的长度不变；3. 正交变换保持向量的夹角不变；正交变换保持向量的夹角不变；4. 正交变换把标准正交基仍变为标准正交基。正交变换把标准正交基仍变为标准正交基。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量1 概念概念定义（特征值、特征向量）定义（特征值

17、、特征向量） 设设 A 是是 n 阶方阵，阶方阵， 如果数如果数 和和 n 维非零列向量维非零列向量 p 使得使得 Ap=p ， 那么，数那么，数 称为方阵称为方阵 A 的的特征值特征值，非零列向量，非零列向量 p 称为称为 A 的对于特征值的对于特征值 的的特征向量特征向量 。( ) |pAE特征多项式特征多项式( ) | 0pAE特征方程特征方程结论结论： （1）方阵）方阵 A 的特征值是的特征值是 |A-E|=0 的根；的根； （2） 的特征向量的特征向量 p 是是 (A-E)x=0 的非零解。的非零解。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L

18、 G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量2特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法【方法【方法】 求出方阵求出方阵 A 的特征多项式，即计算的特征多项式，即计算 P()=|A-E|； 解特征方程解特征方程 P()=0，得特征值，得特征值 1，2，n； 对每一个对每一个 i，解方程，解方程 (A-iE)x=0， 其非零解都是其非零解都是 i 的特征向量。的特征向量。例例4 求下列矩阵的特征值和特征向量。求下列矩阵的特征值和特征向量。110100123(1)430 , (2)252 ,(3)213.102241336AAA 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年

19、制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量【解【解】2123110(1)( )430102(2)(1,1)2pAE 1232020 ,0;111:2,0.1pkkRkpkkRk 1 1：但但但但110430102A 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量100252241A 2123100(2)( )2523 ,1241(3)(1);pAE 123212031 ,0;1221:11,00pkkRkpkk 1 1：但但k1，k2不同时为零。

20、不同时为零。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量123213336A 123(3)( )(1)1,0,9(9);pAE 12233111 ,0;010:1,0;119:1 ,0 .2pkkRkpkkRkpkkRk 1 1：但但但但但但西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量例例5 如果矩阵如果矩阵 A 满足满足 A2=A，则称，则称 A 是幂等矩阵。是幂等矩阵。 试证：幂等矩阵的特征值

21、只能是试证：幂等矩阵的特征值只能是 0 或或 1 。【证明【证明】, (0) ,A设设则则22()AAA 2AA 又又22()0 0 ,01 或或。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量由前面的证明过程可得结论：由前面的证明过程可得结论：若若 是是 A 的特征值，则的特征值，则 2 是是 A2 的特征值。的特征值。从而从而 k 是是 Ak 的特征值。的特征值。定理定理 设设 12,.,m 是是 n 阶方阵阶方阵 A 的特征值，的特征值，12,.,mppp依次是与之对应的特征向量，依次是与之

22、对应的特征向量，如果如果 12,.,m 各不相等，那么各不相等，那么12,.,mppp线性无关。线性无关。【证明】【证明】 （数学归纳法）（数学归纳法） 略。略。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量3特征值的性质特征值的性质设设12,.,n 是是 n 阶方阵阶方阵 A 的的 n 个特征值，则个特征值，则12112212(1)( )(2)det( )nnnnaaatr AA (3) 若若 是是 A 的一个特征值，则的一个特征值，则 () ) 是矩阵多项式是矩阵多项式 (A)(A) 的特征值

23、，其中的特征值，其中0101( ),( ).mmmmaaaAa Ea Aa A （4） 当当 A 可逆时，可逆时，1/i 是是 A-1 的特征值，的特征值， -k() 是是 A-k (A) 的特征值。的特征值。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量例例6 6 设设3阶矩阵阶矩阵 A 的特征值为的特征值为1，-1，2，求，求 |A*+3A-2E|。【答案【答案】 9。例例7 7 设设A为正交阵，且为正交阵，且|A|=-1，证明，证明 =-1 是是 A 的特征值。的特征值。【证明【证明】 由特

24、征值方程的定义，由特征值方程的定义， =-1 是是 A 的特征值的特征值 |A+E|=0 为此只需证明为此只需证明 |A+E|=0，事实上，事实上 |A+E|=|A+ATA| =|(E+A)TA| =|A+E|A| =-|A+E|所以，所以， |A+E|=0 。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量例例8 8 设设 00 是是 m 阶方阵阶方阵 AmnBnm的特征值，的特征值， 证明证明 也是也是 BA 的特征值。的特征值。【证明【证明】（根据特征值的定义证明）（根据特征值的定义证明）设设

25、 是是 AB 的非零特征值，的非零特征值， 是对应的特征向量，即是对应的特征向量，即AB ()()()()()BA BB ABBB若若 B0，则有特征值的定义知道，则有特征值的定义知道， 为为BA的特征值。的特征值。事实上，若事实上，若 BB=0=0，得到，得到 =0=0， 又因为又因为 为特征向量，所以为特征向量，所以 00，所以，所以， =0=0，这与假设矛盾。，这与假设矛盾。所以，所以，B0B0 。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩阵三、相似矩阵1概念概念定义（相似矩阵）定义（相似矩阵） 设设 A , BA

26、, B 都是都是 n n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵P P ，使，使P P -1-1AP = B ,AP = B ,则称则称矩阵矩阵 A A 与与 B B 相似相似，可逆矩阵可逆矩阵 P 称为把称为把 A 变成变成 B 的的相相似变换矩阵似变换矩阵。例例 设设1211011,120311ABPPAPB 则则 A 与与 B 相似，相似，P为相似变换矩阵。为相似变换矩阵。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩阵三、相似矩阵2性质与定理性质与定理性质性质1 相似矩阵有相同的行列式，相同的秩。相似矩阵有相同的行列

27、式，相同的秩。性质性质2 若若 A 与与 B 相似，则相似，则 A 与与 B 有相同的特征多项式有相同的特征多项式和特征值。和特征值。 若若 n 阶方阵阶方阵 A 与对角阵与对角阵 12(,.,)ndiag 相似，相似，则则 即为即为 A 的的 n 个特征值。个特征值。12,.,n 定理定理n 阶方阵阶方阵 A 与对角阵与对角阵 相似相似 A 有有 n 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。12(,.,)ndiag 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩阵三、相似矩阵【定理证明【定理证明】必要性：必要性：如果有可

28、逆矩阵如果有可逆矩阵 P，使得，使得 PAP= 为对角阵，即为对角阵，即 AP=P，=diag(1，2，n) 若记矩阵若记矩阵 P=(p1，p2，pn)，其中，其中 p1，p2，pn 是是 P 的列向量组，就有的列向量组，就有 A (p1，p2，pn )=(p1，p2，pn )即为即为 (Ap1，Ap2，Apn )=(1p1，2 p2， npn )于是有于是有 Api= i pi ，i=1,2,n ，再由再由 P 可逆便知，可逆便知， p1，p2，pn 就是就是 A 的的 n 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A

29、R A L G E B R A三、相似矩阵三、相似矩阵充分性：充分性：如果如果 n 阶方阵阶方阵 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 p1，p2，pn，于是，应有数于是，应有数 1，2，n，使，使 Api=ipi，i=1,2,n 以向量组以向量组 p1，p2，pn 构成矩阵构成矩阵 P=( p1，p2，pn )，则则 P 为可逆矩阵，且为可逆矩阵，且 AP=P，其中其中 是以是以 构成的对角矩阵，即构成的对角矩阵，即 P-1AP=，即，即 A 与对角矩阵相似。与对角矩阵相似。推论推论 如果如果n阶方阵阶方阵A的特征值互不相等，则的特征值互不相等，则A与对角阵相似。与对角阵相

30、似。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩阵三、相似矩阵例例9 判断矩阵判断矩阵 A 是否与对角矩阵相似，是否与对角矩阵相似， 若是，求出相似变换矩阵和对角阵。若是，求出相似变换矩阵和对角阵。312202211A【解【解】A 的特征多项式为：的特征多项式为：P()=|A-E|=-(-1)2，因此，因此，A 的特征值为的特征值为 1=0，2=3=1 。T1123TT12320:(0)0 ,p(1,1,1) ;1:()0 ,p( ,1,0) ,p(1,0,1) .AE xAE x 解解得得解解得得所以，所以，A 有有3个线

31、性无关的特征向量，它能与对角阵相似。个线性无关的特征向量，它能与对角阵相似。令令123(,)Pppp ，则，则 P 为所求相似变换矩阵，且为所求相似变换矩阵，且1(0,1,1).PAPdiag 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩阵三、相似矩阵例例1010 设设2阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为 1，-5，与特征值对应的，与特征值对应的 特征向量分别为特征向量分别为 (1,1)T，(2,-1)T，求，求 A 。【答案【答案】34.21A 例例1111 如果如果21011,(1)0101ABAEBE那那么么于是，

32、于是，A 与与 B 有相同的特征多项式，但有相同的特征多项式，但 A 与与 B 不相似。不相似。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A三、相似矩阵三、相似矩阵例例1212 已知已知20020000100,01001AByxyx 与与相相似似 求求 ， 。【解【解】因为相似矩阵有相同的特征值，故因为相似矩阵有相同的特征值，故A与与B有相同的特征值：有相同的特征值：2，y，1 。 根据根据123123( ),det( ),tr AA 得到得到221|22oxyAy 所以，所以， x=0，y=1 。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研

33、组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩阵的对角化四、实对称矩阵的对角化1实对称矩阵的特征值与特征向量的结论实对称矩阵的特征值与特征向量的结论定理定理1 1 实对称矩阵的特征值为实数。实对称矩阵的特征值为实数。【证明【证明】设设,App 于于是是()00 ,0TTTTTTTTTp App pp App A pAp pp pp ppp p 而而即即 实对称矩阵的特征值为实数。实对称矩阵的特征值为实数。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩阵的对角化四、实对称矩阵的对角化定理定理2

34、 2 设设 1，2 是实对称矩阵是实对称矩阵 A 的两个不同的特征值，的两个不同的特征值， p1，p2 依次是它们对应的特征向量，则依次是它们对应的特征向量，则 p1 与与 p2 正交。正交。【证明【证明】设设111222,AppApp于于是是12212121211211212121212()()()00TTTTTTTTp App pp ApAppppp pp pp p 所以，所以， p1 与与 p2 正交。正交。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩阵的对角化四、实对称矩阵的对角化定理定理3 3 设设A为为n阶对称

35、矩阵，阶对称矩阵， 是是 A 的特征方程的的特征方程的 r 重根，重根， 则则 R(A-E)=n-r，从而，从而 对应于特征值对应于特征值 恰有恰有 r 个个 线性无关的特征向量。线性无关的特征向量。这条性质不作证明。这条性质不作证明。定理定理4 设设 A 为为 n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵阶实对称矩阵，则必有正交矩阵 P ，使，使 P-1AP= ， 其中其中 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元素的对角阵。个特征值为对角元素的对角阵。这个定理不作证明。这个定理不作证明。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩

36、阵的对角化四、实对称矩阵的对角化2实对称阵的对角化举例实对称阵的对角化举例步骤步骤1. 求出方阵求出方阵 A 的全体特征值；的全体特征值；2. 求出每一个特征值对应的特征向量，并正交、单位化；求出每一个特征值对应的特征向量，并正交、单位化；3. 写出正交矩阵写出正交矩阵 P 以及对角矩阵以及对角矩阵 。 （详细描述参见教材（详细描述参见教材 P127。）。）西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩阵的对角化四、实对称矩阵的对角化例例1313 设设 求一个正交矩阵求一个正交矩阵 P ， 使使 P-1AP= 为对角阵。为对

37、角阵。111111111A 【解【解】2(3),AE 故，得到特征值故，得到特征值 1233,0 .13:(3)0(1,1,1) ,TAE x解解得得单位化后得到单位化后得到113(1,1,1) ;Tp 23230:(0)0( 1,1,0) ,( 1,0,1) ,TTAE x 解解得得西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩阵的对角化四、实对称矩阵的对角化正交化：正交化： 取取22( 1,1,0) ,T 2333222111222,( 1,0,1)( 1,1,0)(,1) ,TTT 单位化，得单位化，得112326(

38、1,1,0) ,( 1, 1,2) .TTpp取取 P=(p1 , p2 , p3)，则，则 P-1AP=PTAP=diag(3,0,0) 。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩阵的对角化四、实对称矩阵的对角化例例1414 设设 21,.12nAA 求求【解【解】 因为因为 A 为实对称矩阵，故为实对称矩阵，故 A 可对角化，即可对角化，即存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P 及对角阵及对角阵 ，使得，使得 P-1AP=。于是，于是， A=PP-1，从而，从而 An=PnP-1 。2| (1)(3),1,3 ,(1,3),

39、(1,3 ).nnAEdiagdiag 1 1得得特特征征值值 11211:()0(1,1) ,3:(3)0(1, 1) ,TTAE xAE x解解得得解解得得西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩阵的对角化四、实对称矩阵的对角化取取 12(,),P 11211,11P 于于是是112121110111103111313.1313nnnnnnnAPP 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A四、实对称矩阵的对角化四、实对称矩阵的对角化例例1515 设设

40、3 阶对称矩阵阶对称矩阵 A 的特征值为的特征值为6，3，3，与特征值，与特征值 6 对应的特征向量为对应的特征向量为 p1=(1,1,1)T，求，求 A 。 【答案【答案】411141.114A 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形1基本概念基本概念,aaijji 若取若取ijjijiijjiijxxaxxaxxa2 则则于是（于是（1 1）式可写成）式可写成12,1(,.,)(2)nnijiji jf xxxa x x 定义定义( (二次型二次型) ) n 个变量个变量 x1 , x

41、2 , , xn 的二次齐次函数的二次齐次函数 称为称为二次型二次型 。22212111222121213131,1(,.,)222(1)nnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xaxx 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形对二次型对二次型 (2) (2) ，记，记, nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaaA n21xxxx, , 则则 (1) (1) 又表示为又表示为12(,.,)Tnf xxxx Ax 其中其中A为对称阵，为对称阵，叫做叫做二次

42、型二次型 f (x1 , x2 , , xn ) 的矩阵的矩阵，也把也把 f (x1 , x2 , , xn ) 叫做叫做对称矩阵对称矩阵 A A 的二次型的二次型。R(A) 叫做二次型叫做二次型 f (x1 , x2 , , xn ) = xTA x 的的秩秩。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形例例1616 用矩阵记号表示二次型用矩阵记号表示二次型 22123112233(,)242.f xxxxx xx xx 【解【解】123123110102,(,),022(,).TTAxxxx

43、f xxxx Ax 西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形2二次型的标准形二次型的标准形二次型二次型 f (x1 , x2 , , xn )经过可逆的线性变换经过可逆的线性变换11111221221122221122(3)nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 即用即用(3) (3) 代入代入 (1) (1) ，还是变成二次型，那么新二次型的矩阵，还是变成二次型，那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵与原二次型的矩阵 A A 的关系是什么？的关系是什么？可逆

44、线性变换可逆线性变换 (3),(3),记作记作x = C y ,x = C y , ).(ijcC 其中矩阵其中矩阵西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形把可逆的线性变换把可逆的线性变换 x = C y 代入二次型代入二次型 f = xTA x , , 得二次型得二次型f = xTA x = (C y)TA(C y) = yT(C TAC ) y 就是说，若原二次型的矩阵为就是说，若原二次型的矩阵为 A ，那么新二次型的矩阵为，那么新二次型的矩阵为 C CT TAC AC , ,其中其中

45、C C 是所用可逆线性变换的矩阵。是所用可逆线性变换的矩阵。 f (x1 , x2 , , xn ) g(y1 , y2 , , yn ) x = C y 可逆线性变换可逆线性变换AT = A C C T TA AC C = B=B = B=BT T西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形主要问题：主要问题： 求可逆线性变换求可逆线性变换 x=Cy，将二次型将二次型 f=xTAx 化为只含平方项，即化为只含平方项，即 用用 (3) 代入代入 (1) ，使得，使得 222121122(,.,)

46、nnnf xxxk yk yk y称上式为二次型称上式为二次型 (1) 的的标准形标准形。换句话讲换句话讲，就是，就是 已知实对称矩阵已知实对称矩阵 A ，求一个可逆矩阵，求一个可逆矩阵 C，使得，使得 CTAC= 为对角阵。为对角阵。注意：注意： 二次型的标准形如果存在，则不唯一二次型的标准形如果存在，则不唯一 。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形定理定理5 任意二次型任意二次型 12,1(,.,)(),nnijijijjii jf xxxa x xaa 总有正交变换总有正交变换 x

47、=Py，使，使 f 化为标准形化为标准形 2221122nnfyyy其中其中 12,.,n 是是 f 的矩阵的矩阵 A=(aij) 的特征值。的特征值。西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形例例1717 求一个正交变换求一个正交变换 x=Py，把二次型，把二次型222122335222fxxx xx化为标准形。化为标准形。【解【解】二次型的矩阵为二次型的矩阵为500021012A 下面先求下面先求 A 的特征值：的特征值：123(1)(3)(5)1,3,5 .AE西南交通大学峨眉校区基础课

48、部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形下面求出对应的特征向量：下面求出对应的特征向量：111:()0(0, 1,1) ,TAE x解解得得单位化后得到：单位化后得到：11122(0,) ;Tp 223:(3)0(0,1,1) ,TAE x解解得得单位化后得到：单位化后得到：11222(0,) ;Tp 235:(5)0(1,0,0) ,TAE x解解得得单位化后得到：单位化后得到：2(1,0,0) ;Tp 所以，所以， 取取 P=(p1 , p2 , p3) ，正交变换为，正交变换为 x=Py ，二次型的标准形为：二

49、次型的标准形为：22212335.fyyy西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形例例1818 已知在直角坐标系已知在直角坐标系 ox1x2 中，二次曲线的方程为：中，二次曲线的方程为：221122321xx xx试确定其形状。试确定其形状。【解【解】 先将曲线方程化为标准方程，也就是用正交变换把先将曲线方程化为标准方程，也就是用正交变换把二次型二次型 化为标准形。化为标准形。22112232fxx xx二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为323212A A 的特征值为的特征值为 511222,西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作L I N E A R A L G E B R A五、二次型及其标准形五、二次型及其标准形对应的特征向量为对应的特征向量为3311122222( ,) ,(, )TTpp设设 P=(p1,p2)， x=Py ，则二次型的标准形为：，则二次型的标准形为：22511222fyy在新坐标系在新坐标系 oy1y2 中该曲线的方程为：中该曲线的方程为：225112221yy这是