2019年江苏中考相似三角形专题培优汇编真题(含答案)

1、2019年江苏中考相似三角形培优汇编1. (2019扬州)如图，在 ABC中，AB=5, AC=4,若进行一下操作，在边BC上从左到右一次取点Di、Q、C3、D4；过点D1作ARAC的平行线分别交于AGAB与点Ei、Fi；过点D2作AR AC的平行线分别交于 AC AB于点3、F2；过点6作AR AC的平行线分别交于 AC+5 ( D1F1+DF2+C2019F2019)=AB于点 Ei3>F3 ,则 4 (D E1+D2E2+D2019E2019)解： DE / ABD 1F1 / ACABD1E1CD1CBD1F _ BD1AC -BC.AB=5AC=4DE5CD1 CBD1F4BD

2、1BCDK5CD1BD1CB BC BC，4D1E+5DF=20B 0|0.有 2019 组，即 2019X 20=403802. (2019扬州)如图，平面内的两条直线1 1、12,点A、B在直线12上，过点A、B两点分别作直线11的垂线，垂足分别为 A、B,我们把线段AB叫做线段AB在直线12上的正投影,其长度可记作 T (AB, CD) 或T (AB, 1 2) ，特别地，线段AC在直线12上的正投影就是线段 AC请依据上述定义解决如下问题(1)如图1,在锐角 ABC中，AB=5, T(ac, ab) =3,贝U T (BC, AB) = ；(2)如图2,在 RtABC中，/ ACB=9

3、0 , T (ac, ab) =4, T (bc, ab) =9,求4 ABC的面积;(3)如图3,在钝角 ABC中，/ A=60°，点 D在AB边上，/ ACD=90 ,T (AB, AQ =2, T (BC, AB) =6,求 T ( BC, CD .解：过C作C已AB,垂足为E由 T (AC, AB) =3 投影可知 AE=3, BE=2 即 T (bc, ab) =2(2)过点C作CF, AB于F / ACB=90 CF± ABT ACM CBF，CF2=AF - BF . T (AC, AB) =4, T (BC AB) =9, AF=4 BF=9 即 CF=6

4、Saabc= (AB- CF) +2=13X6 + 2=39过C作CML AB于M过B作BN± CDT N / A=60° / ACD=90 / CDA=30 T (AB, AQ =2, T (BC AB) =6, AC=2 BM=6 ./A=60° CM± AB.AM=1 CM=<3 / CDA=30 MD=3 BD=3 / BDNh CDA=30 . . DN=337 .T (BC, CD =CN . CN=CD+DN=3 +3=33. （2019泰州）如图，O。的半径为5,点P在。上，点A在。内，且AP 3,过点A作AP的垂线交于。点B、C.

5、设PB=x,PC=y，则y与x的函数表达式为 .解：如图，连接 PO延长交。于点N,连接BN,. PN是直径， ./ PBN=90 . AP± BC,/ PAC =90° , / PBN4 PAG又 / PNBh PCA . PBNT PAGPB PNPA PGx 107=30.故答案为: xy=30x4. （2019无锡）如图，在 ABC中，AB= AC= 5, BC= 4J5 , D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形 CDEF连接BE,则 BDE面积的最大值为I HD I1 C fl AB IB*?!4. n.JfM“if *I藩:取讪“/ /Hrnit

6、 =:揭 F *Rf门,"MS J.DH-SG, 5. （2019宿迁）.如图，在钝角 ABC, / ABC= 30。，AO4,点D为边AB中点，点E为边BC中点，将 BD凝点B逆时针方向旋转 “度(0W a W 180).(1)如图，当0v a <180时，连接 AD CE求证： BD/V BEC(2)如图，直线 CE AD交于点G在旋转过程中，/ AGC勺大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；解：(1)如图中,BC中点,DE/ AC,BD =BE-BA BC '，四再 丽nc. / DBE= / ABC/ DBA= / EBCDBM EB

7、C(2) /AGC勺大小不发生变化，/ AGC 30理由：如图中，设 AB交CG点O. DBM EBC/ DAB= / ECB/DAB/AOG/ G= 180 , / ECBZ COB/ABO 180 , / AO3 / COB G= / ABC= 30 .6. (2019连云港)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线Li： y = x2+bx + c过点C(0 ,1 2 3-3),与抛物线L2： y = x2 x + 2的一个交点为 A,且点A的横坐标为2,点P、Q22分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点.(1)求抛物线L1对应的函数表达式；(2)设点R为抛物线L1上另一个动点，且 CA平分

8、/ PCR若OQ PR求出点Q 坐标.、一.一 1 2 3详斛：（1）将x = 2代入y = x x + 2,得y = -3 故点A的坐标为（2, 3）.22将 A(2,3), C(0,3)代入 y = x2+bx + c,L 3 = 22 2b cb = -2得，解得i-3=0 0 cc = -3所以抛物线Li对应的函数表达式为 y = x2-2x-3.（2）当点P在y轴左侧时，抛物线 Li不存在动点R使得CA平分/PCR.当点P在y轴右侧时，不妨设点 P在CA的上方，点 R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为 S T ,过点P作PH _LTR,垂足为H ,则有2PSC=/R

9、TC = 90 +由 CA平分 / PCR ,得 NPCA =/RCA ,则 /PCS =NRCT ,PS TR故 APSC s 织TC，所以 PS = TRCS TC ,设点P坐标为（x1，x； 2x1 3 ）,点 R坐标为(x2, x2 -2x2 -3),Xi所以有X2x2 -2x1 3 （3） 3 （x；2x23）'在 RtPRH 中，RH 二RH天一打整理得x1 +x2 =4.1 c 3过点Q作QK _L x轴，垂足为K .设点Q坐标为 m, m - m +2 I.22若 OQ/ PR,则需 ZQOK =/PRH .所以2m = _1m2 _3m +2.解得m二一 （2019连

10、云港）问题情境：如图 1,在正方形ABC珅，E为边BC上一点（不与点 R C重合），垂直于 AE的一条直线吊刈别交AB AE CD于点M P、N判断线段 DN MB EC之间的数量关系，并说明理由.工而 222所以点Q坐标为 -7+相 7+V652,-7-、.65 .问题探究：在“问题情境”的基础上,(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点，连接BQ交MNF点Q连接EQ并延长交边 AD 于点F.求/ AEF的度数；(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD勺对角线BD上时，连接 AN将 APN占着AN翻折, 点P落在点P处.若正方形 ABCD勺边长为4 , AD的中点为S,求P'S的最小值.

11、一王B ECra)问题拓展：如图4,在边长为4的正方形ABC珅，点M N分别为边AB CD±的点，将正方形ABC册着MN1折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A, C'N交AD于点F.分别过点. .5 A F作AGL MN FHL MN垂足分别为 G H.若AG= 一，请直接写出 FH的长.2图4解：问题情境：因为四边形 ABCD是正方形，所以 NABE =NBCD =90 ' AB=BC=CD, DC /AB.过点B作BF / MN分别交AE、CD于点G、F .所以四边形MBFN为平行四边形.所以 NF =MB .所以 BF _L AE, ZBGE

12、 =90"，所以 ZCBF +ZAEB =90*,又因为 /BAE +/AEB =90°,所以 NCBF =/BAE . AABE BCF ,所以 BE = CF .因为 DN + NF +CF = BE + EC ,所以 DN + NF = EC ,所以 DN + MB = EC .问题探究:(1)连接AQ ,过点Q作HI / AB,分别交AD、BC于点H、I .易得四边形 ABIH为矩形.所以 HI 1 AD, HI _L BC 且 HI = AB = AD.因为BI是正方形ABCD的对角线，所以 /BDA = 45±所以DHQ是等腰直角三角形，HD =HQ

13、.所以AH =QI .因为MN是AE的垂直平分线，所以 AQ = QE .所以 RtAHQRtzXQIE.所以/AQH =/QEI .所以 NAQH +ZEQI =90 口所以/AQE =90 .所以AQE是等腰直角三角形，/EAQ =/AEQ =45"即/AEF =45,(2)如图所示，连接 AC交BD于点O ,由题意易得LAPN的直角顶点P在OB上运动.设点P与点B重合，则点 p'与点D重合；设P与点O重合，则点P的落点为O,.易知/ADO' = 45 土 当点P在线段BO上运动时，过点P作CD的垂线，垂足为G ,过点P'作PH _LCD ,垂足为点H .

14、易证：RtA PGN 0 RtANHP*,所以 PG =NH, GN = P H ,因为BD是正方形 ABCD的对角线,所以 /PDG =45。易得 PG =GD，所以 GN = DH .所以DH = P H .所以 ZPDH =45©,故/PDA = 45'所以点P '在线段DO'上运动.过点S作SK _l DO :垂足为K ,因为点S为AD的中点, 所以DS = 2 ,则P S的最小值为 拒.问题拓展：解：延长 AG交BC于E,交DC的延长线于 Q延长FH交CD于P,如图4:AE= 5,在 RtABE中，be= JAE2 _ab2 =3,.CE= BC-

15、BE= 1, . /B= / ECQ= 90° , / AEB= / QEC.AB& QCE 1- QE = AE = ,AQ = AE QE =333 AGL MN ./ AGIM= 90° =/ B, / MAG= / EABAMAE5二2，4 . AGMh ABEAG=,即AMAB 丁一25斛得：AM =,由折叠的性质得： AB' = EB= 3, /B'=/B= 90° , / C'= / BCD= 90° , b'm= Jam 2 -ab'2 =7,ac '=i , 8 . / BAD=

16、90° ,.B'AM= / C'FA,AFC'A MAB；, ，AF AC AF 1aM " mBt,"25 一 7 , "8 8解得：AF=25,DF=4-25=3 777. AGL MN FHI± MN .AG/ FH, . AQ/ FP, . DFP DAQ3FPDFFP7AQ DA204 '3 一 5解得：FP=一,715FH= FP = .2148. (2019南通)如图，矩形 ABCD43, AB=2,AD=4,E,FF分别在 AD,BC上，点 A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点，(

17、1)连接AF, CE求证四边形 AFC既菱形；, , _ , , DP .(2)当APEF的周长最小时，求 的值；CP(3)连接BP交EF于点M当/EMP=45时，求CP的长。E D解：(1)连接AC,交EF于点O.由对称可知：OA=OC AC± EF.AF=CF2 .四边形 ABC比矩形，AD/ BC.3 / OAEh OCF / OEAW OFC.OA监 OCIF AE=CF，四边形AFC弱平行四边形.，平行四边形 AFCN菱形.(2)PEF的周长=PE+PF+EF又EF长为定值， PEF的周长最小时，即PE+PF最小.作E关于直线CD的对称点E',连接FE交DC于点P&

18、#39;,则PE + PF =PE'+PF之E'F ,因此，当点P与点P'彼此重合时， PEF的周长最小. AB=2, AD=4AC =2旗.OC =寸丐.由 COS CBA 彳导 OC=CF- .CF =-.BC CA25 3DE =BF =4 =一.2 233DP DE' o 3由回图可知：DE' = DE.由DE'Ps/XCFP ,得-DP D =/.2CP CF552(3)设BP交AC于点Q,彳BNLAC于点N. / EMP=45 ,OM=OQ NQ=BN由 AB*BC = AC BN ,得 2M 4=2BN .4 _NQ =BN = 一

19、，5 .5在 RtABN中，an = Jab2 - bn2 =：22 4751=2V5.5<5 5 5. AQ =AN +NQ =675 . CQ = AC -AQ =4V5 . 55由 AB/ CP，得 ABQo CPQ 得ABCPAQCQ2PC6.5=_54"5 m4解得PC =一.39. (2019常州)如图，在矩形 ABCD中，AD =3AB = 3日0 ,点P是AD的中点，点E在BC上，CE =2BE,点M、N在线段BD上.若APMN是等腰三角形且底角与 ZDEC相等，则MN =【详解】作PF _L MN于F ,如图所示:则/PFM =/PFN =90°,二

20、四边形ABCD是矩形， 二 AB=CD, BC = AD =3AB =3后，/A=/C=901，AB=CD=V10, BD = Jab2+AD2 =10，点P是AD的中点,13 .行PD = 一 AD =丫 /pdf =/bda ,二 PDS BDAPFABPDBD3 10，即 PJ = F1010-3解得：PF二， 2v CE =2BE,BC =AD =3BE ,; BE =CD,二 CE =2CD,丫 APMN是等腰三角形且底角与 /DEC相等，PF _L MN ,二 MF =NF , /PNF =/DEC ,: /PFN =/C =90口，二 apnfL &DEC ,NF CE二二=2 ,PF CD:.NF =2PF =3,二 MN =2NF =6;故答案 ：6.10. (2019徐州)如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半9轴上. M