动力学第三讲(重修班)

1、动力学第三讲虚位移原理蒋寅军蒋寅军2022年4月26日问题的提出问题的提出问题问题1:1: 图示平面机构，受水平力P和铅垂力Q作用，对应任意角度q，要使机构保持平衡，求P和Q应满足的比例关系。(忽略各构件自重及摩擦）FoxFoyFAqaaABOBQP利用利用FR=0, Mo=0求解求解, ,需要取多次研究对象需要取多次研究对象, , 求解过程烦琐。求解过程烦琐。问题的提出问题的提出qqbtgsatgs21能否能否借助动力学的分析方法来求解静力学问题借助动力学的分析方法来求解静力学问题呢？呢？平衡条件：021bFaF(a)qS1S2在平衡位置附近，AB杆转动微小角度由于在新的位置系统仍然平衡02

2、211 SFSF(b)对于一般的非自由质点系是否能对于一般的非自由质点系是否能写出类似的平衡条件呢？写出类似的平衡条件呢？杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所作的功来建立。基本定理及其应用一、定理描述X !Fi !ri= 0具有定常、理想约束的质点系在给定位置静止平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即注意： 是广义力， 广义位移 !F !r基本定理及其应用二、典型问题类型1、求平衡时外力之间的关系；2、求支座反力；3、求杆件内力；4、求弹簧力5、求平衡时的位置。基本定理及其应用三、解题步骤1、选取研究对象（通常是整体），判断约束类型和

3、自由度数；2、受力分析受力图（只分析主动力，将非理想约束的反力视为主动力）；3、求主动力作用点的虚位移之间的关系（几何法或解析法：几何法在图上画出虚位移方向，解析法需要确定固定坐标系）；4、计算主动力的虚功（注意正负号）；5、建立虚功方程并求解基本例题例例 : : 图示平面机构，受水平力P P和铅垂力Q Q作用，对应任意角度q，要使机构保持平衡，求P P和Q Q应满足的比例关系。(忽略各构件自重及摩擦）解：解：取整体为研究对象。 qcot213PQ根据虚位移原理：0BAxPyQ由图2 cos13 sinAByaxaqq2 sin13 cosAByaxaqqqq 坐标变分：求解得到：qPQaay

4、xOAB系统受理想约束， 受力分析如图, 主动力有P P和Q Q。基本例题例例2:2:图示机构,不计各构件自重与各处摩擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩与主动力之间的关系.解：取整体为研究对象。 根据速度合成定理：（虚速度法） qqqsinhOBreqq2sinhrrac根据虚位移原理：0crFMq求解得到：q2sinFhM qh系统受理想约束，受力分析如图。q rc依照运动学中分析速度的方法建立虚位移之间的关系，这种方法称为虚速度法。 re ra rr基本例题如如图所示三铰拱，拱重不计。图所示三铰拱，拱重不计。试求在力试求在力F F及力偶矩及力偶矩M M作用作用下铰下铰B的约束力。的约束

5、力。ABMFCaaaaD 1. 求铰求铰B的水平约束力。的水平约束力。*三铰拱三铰拱是一是一个结构个结构，使用虚位移原理时，必须首先解除约束，赋予运，使用虚位移原理时，必须首先解除约束，赋予运动自由度。动自由度。 给曲杆给曲杆AC一微小转角一微小转角 ，曲杆，曲杆BC的转动的转动中心在中心在C* ，可得各力作用点的虚位移分别为，可得各力作用点的虚位移分别为 ,Daqr2BaqrFBxDAMFCaaaarDrBrCqqC*B基本例题如如图所示三铰拱，拱重不计。图所示三铰拱，拱重不计。试求在力试求在力F F及力偶矩及力偶矩M M作用作用下铰下铰B的约束力。的约束力。ABMFCaaaaDFBxDAM

6、FCaaaarDrBrCqqC*B由虚位移原理由虚位移原理0DBxBMFFqrr(2)0BxMFaFaq22BxMFFa基本例题如如图所示三铰拱，拱重不计。图所示三铰拱，拱重不计。试求在力试求在力F F及力偶矩及力偶矩M M作用作用下铰下铰B的约束力。的约束力。ABMFCaaaaD解除铰解除铰B的垂直约束，加上垂直约束力的垂直约束，加上垂直约束力FBy。给杆。给杆AC一微小转角一微小转角 ，杆杆BC的转动中心在的转动中心在A，可得有关虚位移为，可得有关虚位移为 表示表示 在在x轴的投影。轴的投影。DxDrBMFCAFByDrBrCqrDqDxaq2,Baqr 2. 求铰求铰B的垂直约束力。的垂

7、直约束力。基本例题如如图所示三铰拱，拱重不计。图所示三铰拱，拱重不计。试求在力试求在力F F及力偶矩及力偶矩M M作用作用下铰下铰B的约束力。的约束力。ABMFCaaaaDBMFCAFByDrBrCqrDq由虚位移原理由虚位移原理0DByBMFxFqr(2)0ByMFaF aq22ByMFFa 基本例题m11m11m 8m 8m 7m 32FABCNDMm 4m 41F3F求求图中无重组合梁支座图中无重组合梁支座A的约束力。的约束力。AF解：解： 取系统为研究对象取系统为研究对象解除解除A点约点约束束, ,以力以力FA代替代替 给一组虚位移给一组虚位移As 1s2sMs ; 381Ass;11

8、8AMss7118472AMsss基本例题m11m11m 8m 8m 7m 32FABCNDMm 4m 41F3FAFAs 1s2sMs 02211sFsFsFAA071183821AAAAsFsFsF21561183FFFA 列虚功方程列虚功方程基本例题已 知已 知 图 所 示 结 构 ， 各 杆 都 以 光 滑 铰 链 连 接 ， 且 有图 所 示 结 构 ， 各 杆 都 以 光 滑 铰 链 连 接 ， 且 有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在点。在点G作用一铅直方向的力作用一铅直方向的力F，求，求支座支座B的水平约束反力的水平约束反力FBx。 ABCDEG 此题可用虚位移原理来求

9、解。用约束力此题可用虚位移原理来求解。用约束力FBx代替水平约束，并将代替水平约束，并将FBx当作主动力。当作主动力。, sin3qlyGq cos2lxB其变分为其变分为因坐标因坐标 设设B，G二点沿二点沿x，y的虚位移为的虚位移为xB和和yG ，根据虚位移原理，有根据虚位移原理，有0BBxGxFyFqqcos3lyGqqsin2lxB解：解：0 sin2 cos3qqqqlFlFBx代入式代入式（a），得，得ABCDEGq cot23FFBx消去消去，解得，解得基本例题基本例题xABCqBxFqGDEyFCG间弹簧的刚度系数为间弹簧的刚度系数为k, ,图示位置图示位置弹簧已伸长弹簧已伸长0

10、 0, ,求求FBx基本例题;cos2qlxBqsinlyCqsin3lyGxABCqBxFqGDEyFGFCF0kFFGC 利用利用解析法解析法变分计算变分计算: :qqsin2lxB;cosqqlyCqqcos3lyG 列虚功方程列虚功方程0BBGGCCGxFyFyFyF032BxFFctgk ctg基本例题例例14-5 已知已知M，忽略各杆自重，忽略各杆自重, , 求平衡时弹簧受力求平衡时弹簧受力F。解：解： 取系统为研究对象取系统为研究对象解除解除E点弹簧约点弹簧约束束, ,以力以力FE代替代替 给一组虚位移给一组虚位移;4qABrr53BErr534qAB 杆瞬时平移杆瞬时平移EFO

11、ABD4m5mE3mEr qBr MAr 0ErFMq 列虚功方程列虚功方程MF203基本例题图图中两根匀质刚杆各长中两根匀质刚杆各长 2l ，质量为，质量为 m ，在，在 B 端用铰链连端用铰链连接，接， A 端用铰链固定，而自由端端用铰链固定，而自由端 C 有水平力有水平力 F 作用，求作用，求系统在铅直面内的平衡位置。系统在铅直面内的平衡位置。基本例题 本例的系统具有两个自由度，它的位置可以本例的系统具有两个自由度，它的位置可以用角用角 1 和和 2 (以顺时针为正以顺时针为正)来表示。各主动力的来表示。各主动力的作用点有关坐标是作用点有关坐标是解：解：21211sin2sin2cosc

12、os2cosllxllylyCED这就是约束方程。这就是约束方程。)cos(cos2)sinsin2(sin2211221111lxlylyCED当角当角 1 和和 2 获得变分获得变分 1 和和 2 时，各点的有关虚位移是时，各点的有关虚位移是基本例题根据虚位移原理的平衡方程，有根据虚位移原理的平衡方程，有0 )sinsin2( sin)cos(cos2 2211112211mglmgllFymgymgxFWEDC即即0)sincos2()sin3cos2(222111lmgFlmgF因为因为 1 和和 2 是彼此独立的，所以上式可以分解成两个独立方程是彼此独立的，所以上式可以分解成两个独立

13、方程0sincos20sin3cos22211mgFmgF从而求得平衡时的角度从而求得平衡时的角度1 和和 2 mgF2arctan2mgF32arctan1基本例题例例14-6 均质杆均质杆AB=BC=l , ,杆重杆重皆为皆为P1, ,滑块滑块C重重P2, ,滑轨倾角滑轨倾角 , ,求平衡时角求平衡时角。解解: : 取系统为研究对象取系统为研究对象 利用解析法利用解析法2sinlxD2coslyDqBDCFEA1P2P1Pyx2sinlxE2cos3lyE0Cxcos2lyC2coslxD2sinlyD2coslxE2sin3lyE0Cxsin2lyC基本例题例例14-6 均质杆均质杆AB=BC=l , ,杆重杆重