《概率论与数理统计》第一章知识小结

1、附加知识：排列组合知识小结:一、计数原理1 .加法原理：分类计数。2 .乘法原理：分步计数。二、排列组合1 .排列数(与顺序有关)：A：n(n1)(n2)(nm1),(mn)A：n!,A°1,A1n如：A765432520,5!543211202 .组合数(与顺序无关):cmAn：m!如:C744AT M 35,c5 c75 c27 6 i212 13个数字，组成一个没 种取法。3 .例题：(1)从1,2,3,4,5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有A；54360种取法。(2)从0,1,2,3,4这五个数字中，任取有重复的3位数，共有a4簿44348(3)有5

2、名同学照毕业照，共有_A；54321120_种排法(4)有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有A2A：(21)(4321)48种排法。(5)袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有c；种取法。(6)袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3个,取到2个白球1个红球的方法有c2c3种。C3山56321第一章、基础知识小结一、随机事件的关系与运算1 .事件的包含设A,B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含于A,记作BA。2 .和事件事件”A,叶至少有一个发生”为事件A与B的和事件，记作AB或AB。性质：（1）AAB,BAB；若AB,则ABB3 .积事件：事件A,B同

3、时发生，为事件A与事件B的积事件，记作AB或AB。性质：（1）ABA,ABB；若AB,则ABA4 .差事件：黄件A发生而B不发生为事件A与B事件的差事件，记作AB（AB）。性质：（1）ABA；若AB,则AB5 .互不相容事件：若事件A与事件B不能同时发生，即AB,则称事件A与事件B是互不相容的两个事件，简称A与B互不相容（或互斥）。6 .对立事件：称事件A不发生为事件A的对立事件，记作Ao性质：（1）AA；（2）,；（3）ABABAAB设事件A旦若AB,A+B=?J称A与B相互对立.记作巨=A。7 .事件的运算律(1)交换律：ABBA,ABBA(2)结合律：A(BC)(AB)CA(BC)(AB

4、)C(3)分配律：A(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)(4)对偶律：ABAB,ABABo一c/a、rA所包含的基本事件数二'古典概率：()n基本事件总数三、有关概率的公式1.0P(A)1,P()0,P()12 .对立事件的概率：P(A)1P(A)3 .和事件的概率：P(AB)P(A)P(B)P(AB)若AB，则P(AB)P(A)P(B)4 .差事件的概率：P(AB)P(A)P(AB)若13匚A,则P(AB)P(A)P(B)若AB=0,则P(A-B)=P(A)5 .积事件的概率：P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B)若A与B相互独立，则P(AB)P(A)P(B

5、)若八与B相互独立.则P(H)=P(B|A>6.条件事件的概率:P(B| A)P(AB)P(A)P(AB)P(A|B)P(B)若A与B相互独立.则P(B|A)=P(B)7.全概率事件概率：A，A2，L,An是样本空间E上的一个划分，则P(B)P(AiB)P(A2B)LP(AnB)P(AJP(B|Ai)PA)P(B|A2)LP(An)P(B|AJP(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)8.贝叶斯公式:P(Ai|B)P(AB)P(B)P(A)P(B| A)P(B)重贝努利事件概率：Pn(k)C：pk(1p)nk,k0,1,2,3,L,n本章练习1 .设A,B为随机

6、事件，则事件A,B至少有一个发生”可表示为B.ABC.AUBD.AUB2 .甲，乙两人向同一目标射击，A表示甲命中目标”，B表示乙命中目标”，C表示命中目标"，则C=()UB3 .甲、乙两个气象台独立地进行天气预报，它们预报准确的概率分别是和，则在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是4 .从0,1,2,3,4五个数字中不放回地取3次数，每次任取一个，则第三次取到0的概率为.Ciclc；1P-=一,1I55 .设A,B是随机事件，P(A)0.7,P(AB)0,2,则P(AB)A.0.1P(A-B)=P(A)-P(AB)=0,3-02=0设A,B是随机事件，P(A尸,P(B)=P(AU

7、B尸,则P(AB尸.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=+(AB尸7.设随机事件A与B相互独立，且P(B)0,P(A|B)0.6,则P(A)=.8”随机事件A与B相互独立，且P(A|B)0.2,则P(A)=.9.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取两个球，求：(1)甲取到黑球的概率；(2)乙取到的都是黑球的概率.解：用A表示“甲先取到一个黑球”，用B表示“乙后取到两个黑球”，则(1)甲取到黑球的概率：4P(A)=-=0,410(2)由题意得：P(A)=04P(A)=00P(B|A)聿P(b|X)=C612C56P(B)=P(A)

8、P(B|A)+P(A)P(BIA)=0,4乂,+0.6x；=0312610 .设某人群中患某种疾病的比例为20%对该人群进行一种测试，若患病则测试结果一定为阳性；而未患病者中也有5%的测试结果呈阳性.求：(1)测试结果呈阳性的概率；(2)在测试结果呈阳性时，真正患病的概率。解：设A表示“某人患某种疾病”，B表示“测试结果为阳性”(1)由题意得：P（A）=0.2T（入）=S8,且P（B|A）=LP（I3|A）=0,05PCB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=0.2x1+0.8x0.05=0.24P（A）P（B|A）（2）在测试结果呈阳性时，真正患病的概率：P（A |B）=四空L一四理吧一二些口=0.P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.24'11 .()有甲、乙两盒，甲盒装有4个白球1个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球从甲盒中任取1个球，放入乙盒中，再从乙盒中任取2个球.(1)求从乙盒中取出的是2个黑球的概率；(2)己知从乙盒中取出的是2个黑球，问从甲盒中取出的是白球的概率.解：设A表示“从甲盒中任取1个球是黑球”，B表示“从乙盒中取出的2个球是黑球”，则s!_lCl 15。由题意