高等数学连续函数的运算法则综述

1、12函数函数 f(x) 在点在点x0 连续连续)()(lim00 xfxfxx 上一节结论：上一节结论：,cos,sinxx)1, 0( aaax在在 内都是连续函数内都是连续函数 。),( 初等函数连续性？初等函数连续性？ 由常数和基本初等函数由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算和经过有限次四则运算和有限次函数的复合所构成并可用有限次函数的复合所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.3 连续性需：连续性需：连续性连续性连续连续连续连续4定理定理1 1,),(cos,sin内内连连续续在在 xx)0)()()(0 xgxgxf若函数若函数 f(x)与与

2、g(x)在点在点x0 处连续，处连续，则则 f(x)+g(x)， f(x)g(x)，在点在点x0 处连续。处连续。故故tanx, cotx, secx, cscx在定义域上连续在定义域上连续5函数函数y=f(x) 的反函数的反函数x=f -1(y) 定理定理2 2 若函数若函数y=f(x)在在区间区间 Ix上上单调增加且连续单调增加且连续, ,则它的反函数则它的反函数x=f -1(y)在在对应区间对应区间Iy=y|y=f(x),xIx上上单调增加且连续单调增加且连续. .01234500.511.522.533.544.5y=f(x)y=f -1(x)x=f -1(y)6因为因为y=sinx在

3、在 上单调增加且连续上单调增加且连续2,2 )1, 0( aaayx故故y=logax在在(0,+)单调增加且连续。单调增加且连续。在在(-,+)单调增加且连续单调增加且连续故故y=arcsinx在在-1,1上单调增加且连续上单调增加且连续7axy xaeln ,uey xuln )(),(xuufy )(xfy 问题：问题：函数函数y=f(x)在在x0点连续点连续)()(lim00 xfxfxx )lim()(lim000 xfxfxxxx 若函数若函数y=f(x)连续，是否成立连续，是否成立?)(lim()(lim00 xgfxgfxxxx 98定理定理3 设设y=f(g(x)是由是由y=

4、f(u)与与u=g(x)复合而成复合而成,)(lim00uxgxx 若若而而y=f(u)在在u0点连续点连续,则则)()(lim00ufxgfxx 证明：证明： y=f(u)在在u0点连续点连续,)()(lim 00ufufuu , 0, 0 当当|u-u0|时，时， | )()(|0ufuf,)(lim00uxgxx , 0 当当0|x-x0|时，时， |)(|0uxg, 0, 0 当当0|x-x0|时，时， | )()(|0ufxgf)()(lim00ufxgfxx gfDxU )(0)(lim(0 xgfxx 9当外层函数连续，内层函数极限存在，且当外层函数连续，内层函数极限存在，且gf

5、DxU )(0时，时，“极限号极限号”可以可以“穿过穿过”外层外层“函数号函数号”例例1 证明当证明当x0时，时，ln(1+x)x ,xex1 xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim xxx10)1(limln 1ln e证：证： 当当x0时，时，ln(1+x)x，xexx1lim 0 1 xet设设)1ln(tx 则则xexx1lim0 )1ln(lim0ttt 1 xex1 10例例2 证明当证明当x0时，时，arcsinxx ,xtarcsin 当当x0时，时，t 0 xxxarcsinlim0tttsinlim0 1 当当x0时，时，arcsinxx证：设证：设则则 x=

6、sin t 常用等价无穷小常用等价无穷小当当x0时，时，,sinxx,tanxx,21 cos12xx ,111xnxn ,arcsinxx,)1ln(xx ,1xex 11练习练习 1. 计算极限计算极限111lim )1(220 xxex)31ln(2arcsinlim )2(20 xxxx 2. 当当x0时，时，)cos1cos(1xx 是是x的几阶无穷小？的几阶无穷小？12定理定理4 设设y=f(g(x)是由是由y=f(u)与与u=g(x)复合而成复合而成,gfDxU )(0若若g(x)在在x0点连续点连续, g(x0)=u0,而而y=f(u)在在u0点连续点连续,则则y=f(g(x)

7、在在x0点连续。点连续。 证明证明)(lim0 xgfxx)(lim(0 xgfxx )(0 xgf axy xaeln ,uey xuln 故故 y=f(g(x)在在x0点连续。点连续。 1314 定理定理4 4 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .15注注: 1. 初等函数在其定义域内不一定连续初等函数在其定义域内不一定连续;例如例如,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx函数在区间函数在区间

8、1,)上连续上连续例如例如1sinlim1 xxe1sin1 e. 1sin e16例例3 3 求极限求极限)(lim 22xxxxx xxxxxxxxx 222222)()(lim xxxxxx 222lim xxx11112lim )1111(lim2 xxx 1 计算：计算：)(lim 22xxxxx 17 设设,)()(xvxuy 1)(, 0)( xuxubxvaxu )(lim , 0)(lim bxvaxu )()(lim证证)( )(lim xvxu)(ln)(limxuxve )(ln)( limxuxve )(lnlimxube abeln baeln ba 则则幂指函数求

9、极限的方法：幂指函数求极限的方法： 当底数的极限为正，且指数的极限为常数时，当底数的极限为正，且指数的极限为常数时， 幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限。幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限。)(lnlim)(limxuxve 18例例4 4 求极限求极限 xxxsin30)21(lim 解解xxxsin30)21(lim xxxxxsin6210)21(lim xxxxxxsinlim62100)21(lim 6e 19_2sin11lim. 10 xxxxxx2tan1)2(lim 练练 习习 题题041_)2cos2ln(lim. 26 xx3. 求极限求极限作业：作业：P70：T3 (3)(5)(6)(7)， T4 (2)(4)(5)(6)xaxx1lim0 4.