高考专题复习第三节　函数的奇偶性、周期性

1、第三节函数的奇偶性、周期性学习要求-公众号：新课标试卷:1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.1.函数的奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,且 f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y轴 对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果xI,都有-xI,且 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)就叫做奇函数关于 原点 对称提醒函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都

2、有 f(x+T)=f(x) 成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.知识拓展1.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任意一自变量x,(1)若f

3、(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a>0);(3)若f(x+a)=-1f(x),则T=2a(a>0).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是

4、()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案B3.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2(-,0(x1x2),都有 f(x2)-f(x1)x2-x1<0,则()A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)答案B4.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是()A.-13B.13 C.12D.12答案B5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x-1,1)时,f(x

5、)=-4x2+2,-1x<0,x,0x<1,则f32=. 答案1函数的奇偶性角度一函数奇偶性的判断典例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3-x2+x2-3;(2)f(x)=lg(1-x2)|x-2|-2;(3)f(x)=x2+x,x<0,-x2+x,x>0.解析(1)由3-x20,x2-30,得x2=3,解得x=±3,即函数f(x)的定义域为-3,3,关于原点对称,f(x)=3-x2+x2-3=0.f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由1-x2>0,|x-2|2得函数的定义域为(-1,0)

6、(0,1),关于原点对称.x-2<0,|x-2|-2=-x,f(x)=lg(1-x2)-x.f(-x)=lg1-(-x)2x=lg(1-x2)x=-f(x),函数f(x)为奇函数.(3) 显然函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称.当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),函数f(x)为奇函数.角度二已知函数的奇偶性求参数的值典例2已知函数f(x)=x(2x+a×2-x

7、)(xR),若f(x)是偶函数,则记a=m,若f(x)是奇函数,则记a=n,则m+2n=() A.0B.1C.2D.-1答案B当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(2x+a×2-x)=-x(2-x+a×2x),即(1+a)(2x+2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1;当f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即-x(2-x+a×2x)=-x(2x+a×2-x),即(1-a)(2x-2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=1.所以m+2n=1.角度三利用函数的奇偶性求不等式的解集典例3(

8、2020四川成都模拟)已知函数f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=x-x2,则不等式(x+1)f(x)>0的解集是()A.(0,1) B.(-1,0)(0,1)C.(-,-1)(0,1)D.(-1,0)(1,+)答案A当x<0时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-x-(-x)2=x+x2,则f(x)=x-x2,x0,x+x2,x<0,(x+1)f(x)>0x+1>0,x-x2>0,x0或x+1<0,x+x2<0,x<0或-1<x<0,x+x2>0,解得0<x<1.名师点评1.判断函数的奇偶性,其中

9、包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题:(1)求函数值:将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,

10、进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在对称区间上的图象.(2020广东广州一模)已知函数f(x)=2x+ln(x+a+x2)(aR)为奇函数,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案C函数f(x)=2x+ln(x+a+x2)为奇函数,f(-x)+f(x)=-2x+ln-x+a+(-x)2+2x+ln(x+a+x2)=ln a=0,解得a=1.故选C.函数的周期性典例4(1)(多选题)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x0,3时,f(x)=x2-3x,则下列等式成立的是()A.f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)B.f(2 019

11、)+f(2 021)=f(2 020)C.2f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)D.f(2 019)=f(2 020)+f(2 021)(2)(2020四川成都一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x-1,0时,f(x)=1-x2,则f2 0203=()A.109B.119C.139D.169答案(1)ABC(2)C解析(1)由f(x-3)=-f(x)知f(x)的周期为6,f(2 019)=f(336×6+3)=f(3)=0,f(2 020)=f(337×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(2 0

12、21)=f(337×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.故A,B,C中的等式均成立.(2)因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(-x)=f(x+2),因为f(x)=2-f(-x),所以f(x)+f(x+2)=2,所以f(x+2)+f(x+4)=2,所以f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,所以f2 0203=f168×4+43=f43,因为f43=f1+13=f1-13=f23=2f-23=21-232=139,所以f2 0203=139.故选C.名师点评函数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)

13、=f(x)(T0)便可得函数是周期函数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1-x)=-f(1+x),f(0)=1,则f(0)+f(1)+f(2 020)=()A.-1B.0C.1 D.2 020答案C因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),因为f(1-x)=-f(1+x),所以f(x-1)=-f(1+x),则f(x-2)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以f(x)是周期为4的

14、函数,易知f(1)=-f(1),所以f(1)=0,因为f(2)=-f(0)=-1,f(3)=f(-1)=f(1)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+f(2 020)=505f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(0)=505×0+1=1.故选C.函数性质的综合应用角度一单调性、奇偶性的综合应用典例5(1)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在0,+)上单调递增,则不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(1,+)D.(0,1)(2)(2020安徽马鞍山三模)已知函数

15、f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2,+)上单调递减,则不等式f(ln x)-f(1)<0的解集是()A.(0,1)(3,+)B.(1,3)C.(0,e)(e3,+)D.(e,e3)答案(1)B(2)C解析(1)函数y=f(x)为偶函数,f(x)=f(|x|),由f(2x-1)>f(x-2),得f(|2x-1|)>f(|x-2|),函数y=f(x)在0,+)上单调递增,|2x-1|>|x-2|,即(2x-1)2>(x-2)2,化简得x2-1>0,解得x<-1或x>1,故不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(-,-1)(1

16、,+).故选B.(2)因为f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,且f(x+2)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.由f(x)在(2,+)上单调递减可得f(x)在(-,2)上单调递增,由f(ln x)-f(1)<0得f(ln x)<f(1),所以|ln x-2|>|2-1|=1,所以ln x<1或ln x>3,解得0<x<e或x>e3.故选C.角度二奇偶性、周期性的综合应用典例6(多选题)(2020山东威海高三模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则()A.f(x)是

17、偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x+3)是偶函数D.f(x)=f(x+4)答案CD因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2).所以f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数.名师点评函数性质综合应用的注意点(1)函数单调性与奇偶性综合:注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图

18、象的对称性.(2)周期性与奇偶性综合:此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性综合:解决此类问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.1.(2020重庆模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f34+x=f34-x,且当x0,34时,f(x)=log2(x+1)+m,若f(100)=log23,则实数m的值为()A.2B.1C.0D.-1答案B由f(x)为奇函数知f34-x=fx-34,fx+34=fx-34,即fx+32=-f(x),f(x+3)=-fx+32=f(x)

19、,f(x)是周期为3的函数,故f(100)=f(1)=f12=log232+m=log23,m=1.2.已知函数f(x)=21-x,x1,2x-1,x<1,若f(2x-2)f(x2-x+2),则实数x的取值范围是()A.-2,-1B.1,+)C.RD.(-,-21,+)答案D函数f(x)=21-x,x1,2x-1,x<1,画出函数y=f(x)的图象如图,由图可知,f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在1,+)上是单调减函数.f(2x-2)f(x2-x+2),且x2-x+2=x-122+74>1恒成立,|2x-2-1|x2-x+2-1,即|2x-3|x2-x+1,当x3

20、2时,不等式化为2x-3x2-x+1,即x2-3x+40,不等式恒成立,所以x32;当x<32时,不等式化为3-2xx2-x+1,即x2+x-20,解得x-2或x1,即x-2或1x<32.综上,当f(2x-2)f(x2-x+2)时,实数x的取值范围是(-,-21,+).数学运算抽象函数的性质及应用已知函数y=f(x)对任意xR都有f(x+2)=-f(x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为. 答案4解析因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象

21、关于点(0,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.(1)本题涉及了函数的周期性与对称性,利用函数的周期性与对称性求函数值,提升了数学运算的核心素养.(2)已知函数f(x)是定义在R上的函数:若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于

22、直线x=a+b2对称;若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x+3)=-f(x),且当x(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2 017)+f(2 018)=() A.3B.2C.1D.0答案C因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-2 017)=-f(2 017),因为当x0时,f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x0时,函数f(

23、x)的周期为6,又当x(0,3)时,f(x)=x+1,所以f(2 017)=f(336×6+1)=f(1)=2,f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=3.故f(-2 017)+f(2 018)=-2+3=1.2.已知定义在R上的函数f(x)在1,+)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)f(x-1)对任意的x-1,0恒成立,则实数m的取值范围是()A.-3,1 B.-4,2C.(-,-31,+)D.(-,-42,+)答案A因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,由f(x)在1,+)上单调递

24、减得f(x)在(-,1)上单调递增,由f(m+2)f(x-1)得|(m+2)-1|(x-1)-1|,即|m+1|x-2|对任意的x-1,0恒成立,所以|m+1|x-2|min,所以|m+1|2,解得-3m1.A组基础达标1.(2020湖北武汉高三期末)定义在R上的奇函数f(x)满足f(-x)=f(3+x),f(2 020)=2,则f(1)的值是()A.-1B.-2C.1D.2答案B2.(2020北京四中模拟)下列函数为奇函数的是()A.f(x)=x3+1B.f(x)=ln1-x1+xC.f(x)=exD.f(x)=xsin x答案B3.(2020河南洛阳模拟)已知函数f(x)=a-2ex+1(

25、aR)是奇函数,则函数f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)答案A4.(多选题)(2019福建厦门模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.f(x)=1x B.f(x)=1x2C.f(x)=-xD.f(x)=-x|x|答案CD5.(2020课标文,12,5分)已知函数f(x)=sin x+1sinx,则()A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图象关于y轴对称C. f(x)的图象关于直线x=对称D. f(x)的图象关于直线x=2对称答案D6.(2020河南焦作一模)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(4-x),当x0

26、,2时,f(x)=x2+x,则不等式f(x)>2的解集为()A.(2k+1,2k+3),kZB.(2k-1,2k+1),kZC.(4k+1,4k+3),kZD.(4k-1,4k+1),kZ答案C因为f(x+4)=f(4-x-4)=f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为4,当x0,2时,f(x)>2的解集为(1,2,易知f(x)的图象关于直线x=2对称,所以当x0,4时,f(x)>2的解集为(1,3),所以当xR时,f(x)>2的解集为(4k+1,4k+3),kZ.7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f-5

27、2+f(2)=. 答案-2解析f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,又f(x)的周期为2,f(2)=0,又f-52=f-12=f12=412=-2,f-52+f(2)=-2.8.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=. 答案2解析显然函数f(x)的定义域为R,f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)m

28、ax+g(x)min=2.9.已知定义域为R的减函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-2x.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的解析式;(3)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0.(2)因为当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x3-2-x.又因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=x3+2-x.综上,f(x)=x3-2x,x>0,0,x=0,x3+2-x,x<0.(3)由f(t2-2t)+f(2

29、t2-k)<0得f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),又因为f(x)在R上是减函数,所以t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0对任意tR恒成立.令3t2-2t-k=0,则=4+12k<0,解得k<-13.故实数k的取值范围为-,-13.B组能力拔高10.(2020课标理,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)()A.是偶函数,且在12,+单调递增B.是奇函数,且在-12,12单调递减C.是偶函数,且在-,-12单调递增D.是奇函数,且在-,-12单调

30、递减答案D由|2x+1|>0,|2x-1|>0xxx±12,xR,函数f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函数,排除A、C;当x-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f(x)=22x+1-21-2x=41-4x2>0,f(x)在-12,12单调递增,排除B;当x-,-12时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f(x)=-2-2x-1-21-2x=41-4x2<0,f(x)在-,-12单调递减,D正确.11.(多选题

31、)(2020山东潍坊高三一模)已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(2)=-1,若g(x)=f(x-1),则下列结论一定成立的是()A.g(1)=0B.g(2)=-12C.g(-x)+g(x)>0D.g(-x+1)+g(x+1)<0答案AC因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,因为g(x)=f(x-1),所以g(1)=f(0)=0,故A中结论正确;因为f(x)为定义在R上的减函数,且f(2)=-1,f(2)<f(1)<f(0),即-1<f(1)<0,所以-1<g(2)<0,故B中结论错误;因为g(x)=f(x-1),所以g(

32、-x)=f(-x-1)=-f(x+1),所以g(-x)+g(x)=f(x-1)-f(x+1),因为f(x)是定义在R上的减函数,所以f(x-1)>f(x+1),所以f(x-1)-f(x+1)>0,即g(-x)+g(x)>0,故C中结论正确;因为g(x)=f(x-1),所以g(-x+1)=f(-x)=-f(x),g(x+1)=f(x),所以g(-x+1)+g(x+1)=-f(x)+f(x)=0,故D中结论错误.12.(多选题)(2020山东淄博高三一模)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意xR,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x0,2)时,f(x)=2x-1

33、,给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在-6,-2上单调递增D.函数y=f(x)在-6,6上有3个零点答案AB在f(x+4)=f(x)+f(2)中,令x=-2,得f(-2)=0,又函数y=f(x)是R上的奇函数,所以f(2)=-f(-2)=0,所以f(x+4)=f(x),故y=f(x)是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f(x)的图象的对称中心,所以(4,0)也是函数y=f(x)的图象的一个对称中心,故A、B正确;作出函数y=f(x)的部分图象如图所示,易知函数y=f(x)在-6,-2上不具有单调性,故C不正确;因为f(2)=-f(-2)=0,且f(x)的周期为4,所以f(-6)=f(-2)=f(2)=f(6)=0,f(4)=f(0)=f(-4)=0,即函数y=f(x)在-6,6上有7个零点,故D不正确.故选AB.13.已知函数y=f(x)满足f32-x=f(x),当x34时,f(x)=sin x,则函数f(x)>-12在区间0,32内的解集为. 答案3,76