单因素优化实验设计

1、第二节第二节 单因素优化实验设计单因素优化实验设计一、定义一、定义 实验中只有一个影响因素，或虽有多个影实验中只有一个影响因素，或虽有多个影响因素，在安排实验时，只考虑一个对指标影响因素，在安排实验时，只考虑一个对指标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验，响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验，即为单因素实验。即为单因素实验。二二、步骤、步骤 1）确定实验范围）确定实验范围 x：实验点：实验点 axb 2）确定指标）确定指标 3）根据实际情况及实验要求，选择实验方法，）根据实际情况及实验要求，选择实验方法，科学安排实验点科学安排实验点三、单因素优化实验设计方法三、单因素优化实验设计方法

2、 1、均分法、均分法 2、对分法、对分法 3、黄金分割法（、黄金分割法（0.618法）法） 4、分数法、分数法 5.抛物线法抛物线法1均分法均分法 1） 作法作法 2） 优点：优点：只要把实验放在等分点上，实验只要把实验放在等分点上，实验点安排简单。点安排简单。n次实验可同时做，节约时间，次实验可同时做，节约时间，也可一个接一个做，灵活性强。也可一个接一个做，灵活性强。 3）缺点）缺点：实验次数较多，代价较大，不经济。：实验次数较多，代价较大，不经济。2对分法（中点取点）对分法（中点取点） 1）作法）作法 每次实验点都取在实验范围的中点，即中每次实验点都取在实验范围的中点，即中点取点法。点取点

3、法。 2）优点：）优点：每做一个实验就可去掉试验范围的每做一个实验就可去掉试验范围的一半，且取点方便，试验次数大大减小，故效一半，且取点方便，试验次数大大减小，故效果较好。果较好。 3）适用情况）适用情况：适用于预先已了解所考察因素适用于预先已了解所考察因素对指标的影响规律，能从一个试验的结果直接对指标的影响规律，能从一个试验的结果直接分析出该因素的值是取大了或取小了的情况，分析出该因素的值是取大了或取小了的情况，即每做一次实验，根据结果就可确定下次实验即每做一次实验，根据结果就可确定下次实验方向的情况，这无疑使对分法应用受到限制。方向的情况，这无疑使对分法应用受到限制。对分法举例对分法举例

4、例例1：如火电厂冲灰水，当水膜除尘器中出来的酸性水进入冲：如火电厂冲灰水，当水膜除尘器中出来的酸性水进入冲灰管以前，必须加碱调整灰管以前，必须加碱调整pH=78，加碱量范围，加碱量范围a，b，试确，试确定最佳投药量。因素是加碱量，指标是加药后定最佳投药量。因素是加碱量，指标是加药后pH。采用对分。采用对分法安排实验。法安排实验。第一次加药量第一次加药量 i）若加药后水样）若加药后水样pH7，加药范围中小于，加药范围中小于x1的范围可舍弃，新的实验范围的范围可舍弃，新的实验范围x1，b ，第二次加药量第二次加药量 。实验后再测加药后水样实验后再测加药后水样pH。根据。根据pH大小再次取舍，直到得

5、到满意结果。大小再次取舍，直到得到满意结果。 ii）若加药后水样）若加药后水样pH8，说明第一次实验碱加多了，舍弃加药，说明第一次实验碱加多了，舍弃加药范围中大于范围中大于x1的范围，取另一半重复实验，直至得到满意结果。的范围，取另一半重复实验，直至得到满意结果。 21bax212bxx对分法举例 例例2：称量质量为：称量质量为2060g某种样品时，某种样品时，第一次砝码的质量为第一次砝码的质量为40g，如果砝码偏，如果砝码偏轻，则可判断样品的质量为轻，则可判断样品的质量为4060g，于是，第二次砝码的质量为于是，第二次砝码的质量为50g，如果，如果砝码又偏轻，则可判断样品的质量为砝码又偏轻，

6、则可判断样品的质量为5060g，接下来砝码的质量为，接下来砝码的质量为55g，如，如此称下去，直到天平平衡为准。此称下去，直到天平平衡为准。20604050553黄金分割法（黄金分割法（0.618法）法）1）单峰函数单峰函数（实验中指标函（实验中指标函数）数）注：单峰函数不一定是光滑注：单峰函数不一定是光滑的，甚至也不一定是连续的，的，甚至也不一定是连续的，它只要求在定义区间内只有它只要求在定义区间内只有一个一个“峰峰”。函数的单峰性使我们可以根函数的单峰性使我们可以根据消去法原理逐步地缩小搜据消去法原理逐步地缩小搜索区间，已知其中包括了极索区间，已知其中包括了极小点的区间，称为小点的区间，称

7、为搜索区间搜索区间。2）0.618法（黄金分割法）法（黄金分割法）的构思的构思 设指标函数是一个单峰函数，即在某区间内只有一极设指标函数是一个单峰函数，即在某区间内只有一极小点，为最佳实验点小点，为最佳实验点 以图以图a看，设区间看，设区间a，b的长为的长为1，在与点，在与点a相相距分别为距分别为、的点处插入的点处插入c、d两点，为确定两点，为确定、 的数值，提出如下条件：的数值，提出如下条件：f(c)f(d) 3） 0.618法一般步骤法一般步骤确定实验范围确定实验范围（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了实验范围实验范围a，b ）；

8、）；选实验点选实验点（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按0.618、0.382的特殊位置定点的，一次可得出两个实验点的特殊位置定点的，一次可得出两个实验点x1,x2的实验结果）；的实验结果）；根据根据“留好去坏留好去坏”的原则对实验结果进行比较，留下好点，从坏点处的原则对实验结果进行比较，留下好点，从坏点处将实验范围去掉，从而缩小了实验范围；将实验范围去掉，从而缩小了实验范围； 在在新实验范围内新实验范围内按按0.618、0.382的特殊位置的特殊位置再次安排实验点再次安排实验点，重复上述过程，直至得到满意结果，找出最佳点。重复上述过程，直至

9、得到满意结果，找出最佳点。3） 0.618法具体作法法具体作法黄金分割法举例例例2：为了达到某种产品质量标准，需要加入一种材料。已知：为了达到某种产品质量标准，需要加入一种材料。已知其最佳加入量在其最佳加入量在1000g2000g之间的某一点，现在要通过之间的某一点，现在要通过做实验的办法找到最佳加入量。做实验的办法找到最佳加入量。解：首先在实验范围的解：首先在实验范围的0.618处做第一个实验，这一点的加处做第一个实验，这一点的加入量为：入量为：x1=1000+(2000-1000) 0.618=1618g在这一点的对称点，即在这一点的对称点，即0.382处做第二个试验，这一点加入处做第二个

10、试验，这一点加入量为：量为：x2=1000+(2000-1000) 0.382=1382g比较两次试验结果，如果第二点较第一点好，则去掉比较两次试验结果，如果第二点较第一点好，则去掉1618g以上部分，然后在以上部分，然后在(1000,1618)之间，找之间，找x2的对称点：的对称点：X3=1000+(1618-1000) 0.382=1236g如果仍然是第二点好，则去掉如果仍然是第二点好，则去掉1236g以下的一段，在留下的以下的一段，在留下的部分部分(12361618)，继续找第二点的对称点，做第四次试验。，继续找第二点的对称点，做第四次试验。如果这一点比第如果这一点比第2点好，则去掉点好

11、，则去掉12361382这一段，在留下这一段，在留下的部分按同样方法继续做下去，直到找到最佳点。的部分按同样方法继续做下去，直到找到最佳点。4、分数法、分数法（Fibonacci Search） 分数法又称费波那契搜索（分数法又称费波那契搜索（Fibonacci Search），基本思想和），基本思想和0.618法是一致法是一致的，的，主要不同点是主要不同点是：0.618法每次都按法每次都按同一比例常数同一比例常数0.618来缩短区间，而分来缩短区间，而分数法每次都是按不同的比例来缩短区间数法每次都是按不同的比例来缩短区间的，它是按菲波那契数列的，它是按菲波那契数列Fn产生的分产生的分数序列为

12、比例来缩短区间的数序列为比例来缩短区间的 。3）分数法具体作法）分数法具体作法 分两种情况分两种情况4）分数法的特点）分数法的特点 1)具体搜索步骤与前述具体搜索步骤与前述0.618法基本一致，所不法基本一致，所不同之处仅仅是选的实验点位置是分同之处仅仅是选的实验点位置是分数数 ， ，且要求预先给出实验，且要求预先给出实验总次数。总次数。 2)在实验点能取在实验点能取整数整数时，或由于某种条件限制只时，或由于某种条件限制只能做几次实验时，或由于某种原因，实验范围由能做几次实验时，或由于某种原因，实验范围由一些一些不连续的不连续的、间隔不等的点间隔不等的点组成或组成或实验点只能实验点只能取某些特

13、定值时取某些特定值时，利用分数法安排实验更为有利、，利用分数法安排实验更为有利、方便。方便。 3)适合于单峰函数。适合于单峰函数。111nnFF21nnFF 通过数学计算可知，经过同样次数的分割通过数学计算可知，经过同样次数的分割 后，后，分数法的缩减速度比分数法的缩减速度比0.618法快法快，当，当N很大时，分数法比很大时，分数法比0.618法法效率高效率高17%，对于这种对于这种两方法而言，大约每分割十次，可提高两位精两方法而言，大约每分割十次，可提高两位精度，度，适用于单峰函数，对于实验范围为间断点的尤为适用于单峰函数，对于实验范围为间断点的尤为适用。适用。5、抛物线法、抛物线法 不论是

14、不论是0.618法，还是分数发，都只是法，还是分数发，都只是比较两个实验结果的好坏，而不考虑实比较两个实验结果的好坏，而不考虑实验的实际值，即目标函数值。而抛物线验的实际值，即目标函数值。而抛物线法是根据已得的三个实验数据，找到这法是根据已得的三个实验数据，找到这三个点的抛物线方程，然后求出该抛物三个点的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次试验的根据。线的极大值，作为下次试验的根据。 例例1 某厂在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率，作了如下初某厂在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率，作了如下初步实验，结果是：步实验，结果是： X： 电解温度 （）： 电解温度 （） 65 74 80 ：电解率（）：电解率（） 94.3 98.9 81.5 其中，其中，74效果最好，但是最佳温度是不是就在效果最好，但是最佳温度是不是就在 74？还有没有改？还有没有改进的余地？这就要在进的余地？这就要在 74附近安排实验。附近安排实验。第一种方案是在第一种方案是在 70、71、72、73、75、76逐个进行实验，这样工作量太大，第二种方案是对这逐个进行实验，这样工作量太大，第二种方案是对这批数据进行分析，找出科学的设计方法。批数据进行分析，找出科学的设计方法。 分析这三个数据，可以看出，分析这三个数据，可以看出，y 值中间高两边低，形成一条抛物线。值