简单的超静力问题PPT学习教案

1、会计学1简单的超静力问题简单的超静力问题26-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法. . 关于超静定问题的概述关于超静定问题的概述(b)第1页/共90页3 图图a所示静定杆系为减小杆所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点中的内力或节点A的位移的位移( (如图如图b) )而增加了杆而增加了杆3。此时有三个未知内力。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题一次超静定问题。(b)第2页/共90页4 图图a所示简支梁为减小内力和位移而如图所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未

2、知成为连续梁。此时有四个未知约束力约束力FAx, , FA, , FB, , FC，但只有三个独立的静力平衡方程但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。一次超静定问题。 超超静定静定问题问题( (statically indeterminate problem) )：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA第3页/共90页5. . 解超静定解超静定问题的基本思路问题的基本思路基本静定系基本静定系(primary statically determinate s

3、ystem)解除解除“多余多余”约束约束(例如杆例如杆3与与接点接点A的连的连接接)例例1第4页/共90页6在基本静定系上加在基本静定系上加上原有荷载及上原有荷载及“多多余余”未知力未知力并并使使“多余多余”约约束处满足变形束处满足变形( (位位移移) )相容条件相容条件相当系统相当系统 (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 第5页/共90页7 331N32111N3coscos2AElFAElFF 于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容条件由位移相容条件 ，利用物理关系利用物理关系( (位移或变形计算公式位移或变形计算公式)

4、)可得补充方程：可得补充方程：AA 12BCAF AFN3AA FN3ADA 第6页/共90页8基本静定系统基本静定系统ABl补充方程为补充方程为048384534 EIlFEIqlC于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FC。FC位移相容条件位移相容条件Cq+CFc=0 相当系统相当系统ABl/2ql例例2超静定梁超静定梁yxl/2l/2CABq第7页/共90页9. 注意事项注意事项 (1) 超静定次数超静定次数=“多余多余”约束数约束数=“多余多余”未知力未知力=位移相容条件数位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (

5、2) 求出求出“多余多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) 无论怎样选择无论怎样选择“多余多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。第8页/共90页10 (4) “多余多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。 如上所示连续梁若取如上所示连续梁若取B处铰支座为处铰支座为“多余多余”约束，则求解比较复杂。约束，则

6、求解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq第9页/共90页116-2 拉压超静定问题拉压超静定问题. . 拉压超静定基本问题拉压超静定基本问题举例说明拉压超静定问题的解法。举例说明拉压超静定问题的解法。第10页/共90页12 求图求图a所示等直杆所示等直杆AB的约束力，并求的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为截面的位移。杆的拉压刚度为EA。例题例题 6-1第11页/共90页131. 有两个未知约束力有两个未知约束力FA , FB（图（图a），但只有一个独立的平衡方程），但只有一个独立的平衡方程 FAFBF=0故为一次静不定问题。故为一次静不定问题。例题例题 6-1第

7、12页/共90页14 2. 取固定端取固定端B为为“多余多余”约束，约束，FB为多余未知力。相当系统如图为多余未知力。相当系统如图b所示，它应满足相容条件为所示，它应满足相容条件为D DB0，利用叠加法得，利用叠加法得D DBF+D DBB=0，参见图参见图c ， d 。例题例题 6-1第13页/共90页15 3. 利用胡克定律后可得补充方程为利用胡克定律后可得补充方程为 0 EAlFEAFaBlFaFB 由此求得由此求得所得所得FB为正值，表示为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。的指向与假设的指向相符，即向上。例题例题 6-1第14页/共90页16得得 FA=F- -Fa/l=F

8、b/l。4. 由平衡方程由平衡方程 FA+FB- -F=0例题例题 6-15. 利用相当系统（图利用相当系统（图b）求得）求得D DC。 lEAFabEAalFbEAaFAC第15页/共90页171.拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为拉压超静定问题的相当系统应满足变形的相容条件，本例的相容条件为D DlAC+D DlBC0。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件。因为变形和位移在数值上密切相关，可用已知的位移条件D DB0代替相容条件。代替相容条件。2.小变形的情况下，利用叠加法求位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以小变形的情况下，利用叠加法求

9、位移时，均是利用构件的原始尺寸进行计算的，所以D DBBFBl/EA，而不用，而不用D DBBFB(l+D DBF)/EA ，A为在为在F力作用下变形后横截面的面积。力作用下变形后横截面的面积。例题例题 6-1第16页/共90页18 求图求图a所示结构中所示结构中1, 2, 3杆的内力杆的内力FN1 , FN2 , FN3。AB杆为刚性杆，杆为刚性杆，1, 2 , 3杆的拉压刚度均为杆的拉压刚度均为EA。aaaACDB132EFF(a)a例题例题 6-2第17页/共90页191. 共有五个未知力，如图共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。所示，但只有三个

10、独立的静力平衡方程，故为二次静不定问题。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题例题 6-2解：解：第18页/共90页20 2. 取取1杆和杆和2杆为杆为AB杆的多余约束，杆的多余约束，FN1和和FN2为多余未知力。得基本静定系如图为多余未知力。得基本静定系如图c。CF3(c)AB例题例题 6-2第19页/共90页213. 由变形图（图由变形图（图d）可得变形相容条件为）可得变形相容条件为FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC1123122llll (2)(1)例题例题 6-2第20页/共90页2

11、24. 利用胡克定律，由利用胡克定律，由(1)(2)式可得式可得补充方程：补充方程： EAaFEAaFEAaFEAaFN12NN31N2 22 ，解得解得 FN1=2FN3, (3) FN2=2FN1=4FN3 (4)例题例题 6-2FN2DD Dl2F(d)FN1CD Dl1EFCAD Dl1D Dl3D Dl2FBFN2DFN13CD45oC1第21页/共90页23 5. AB杆受力如图杆受力如图b所示，所示，MA=0得得)5(0)3()2(212N3N1N aFaFaFaF联立求解得联立求解得)(12. 121012124)(56. 02101262)(28. 02101233N2N3N

12、1NN3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例题例题 6-2第22页/共90页24II. 装配应力和温度应力装配应力和温度应力(1) 装配应力装配应力 超超静定静定杆系杆系(结构结构)由于存在由于存在“多余多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力装配内力，以及相应的，以及相应的装配应力装配应力。第23页/共90页25 图图a中所示杆系中所示杆系( (E1A1=E2A2) )中杆中杆3的长度较应有长度短了的长度较应有长度短了D

13、 De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点在结点 A 处受到装配力处受到装配力FN3作用作用( (图图b) )，而杆而杆1, ,2在汇交点在汇交点A 处共同承受与杆处共同承受与杆3相同的装配力相同的装配力FN3作用作用( (图图b) )。(a)第24页/共90页26求算求算FN3需利用位移需利用位移( (变形变形) )相容条件相容条件( (图图a) )列出补充方程列出补充方程由此可得装配力由此可得装配力FN3，亦即杆亦即杆3中的装配内力为中的装配内力为eAAAAD D eAElFAElFD D 21113N333N3cos2 D D21

14、113333Ncos2AElAEleF ( (拉力）拉力）(a)第25页/共90页27 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力( (轴力轴力) )除以杆的横截面面积即得。除以杆的横截面面积即得。 由此可见，计算超静定杆系由此可见，计算超静定杆系( (结构结构) )中的装配力和装配应力的关键中的装配力和装配应力的关键, ,仍在于根据位移仍在于根据位移( (变形变形) )相容条件并利用物理关系列出补充方程。相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆而杆1和杆和杆2中的装配内力利用图中的装配内力利用图b中右侧的图可知为中右侧的图可知为 压力压力 D D 211

15、13333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF第26页/共90页28 两根相同的钢杆两根相同的钢杆1、 2，其长度其长度l =200 mm，直径直径d =10 mm。两端用刚性块连接在一起如图两端用刚性块连接在一起如图a所示。将长度为所示。将长度为200.11 mm，亦即亦即D De=0.11 mm的铜杆的铜杆3（图图b）装配在与杆装配在与杆1和杆和杆2对称的位置对称的位置( (图图c) )，求各杆横截面上的应力。已知：铜杆求各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量铜的弹性

16、模量E3=100 GPa。例题例题 6-3第27页/共90页291. 装配后有三个未知的装配内力装配后有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，如图如图d所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明所示。但平行力系只有二个独立的平衡方程，故为一次静不定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以这仍然是一次静不定问题。所以这仍然是一次静不定问题。例题例题 6-

17、3解：解：第28页/共90页302. 变形相容条件变形相容条件( (图图c) )为为这里的这里的D Dl3是指杆是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。在装配后的缩短值，不带负号。)2(31ell 例题例题 6-3第29页/共90页313. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得补充方程式得补充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 例题例题 6-3第30页/共90页324. 联立求解联立求解(1)和和(3)式得式得 所得结果为正，说明原先假定杆所得结果为正，说明原先假定杆1、2的装配内力为拉力和杆的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。的装配内力为压力是正确的。 EAAElAeEFAE

18、EAleEAFF21121133333N332NN1例题例题 6-3第31页/共90页335. 各杆横截面上的装配应力如下：各杆横截面上的装配应力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉应力）（拉应力）（压应力）（压应力）例题例题 6-3第32页/共90页341.求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。求装配内力也是求解静不定问题，其关键仍是根据相容条件建立变形几何方程。2.以上计算结果表明，很小的制造误差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。以上计算结果表明，很小的制造误

19、差，却产生较大的装配应力，从而使构件的承载能力降低。因此，要尽量提高加工精度，减小装配应力的不利影响。例题例题 6-3第33页/共90页35(2) 温度应力温度应力 也是由于超静定杆系存在也是由于超静定杆系存在“多余多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。第34页/共90页36 两端与刚性支承连接的等截面杆如图两端与刚性支承

20、连接的等截面杆如图a所示。试求当温度升高所示。试求当温度升高D Dt 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为材料的弹性模量为E，线膨胀系数为线膨胀系数为 l。例题例题 6-4第35页/共90页371. 若若AB杆仅杆仅A端固定，端固定，B端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长端无约束，当温度升高时，只会产生纵向伸长D Dlt，而不会产生内力。当，而不会产生内力。当A、B均为固定端时，均为固定端时， D Dlt受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力受到约束不能自由伸长，杆端产生约束力FA和和FB。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题

21、。两个未知力，一个平衡方程，为一次静不定问题。(b)例题例题 6-4解：解：第36页/共90页38 2. 以刚性支撑以刚性支撑B为为“多余多余”约束，约束，FB为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形为多余约束未知力，设基本静定系由于温度升高产生的伸长变形D Dlt，由，由“多余多余”未知力未知力FB产生的缩短变形产生的缩短变形D DlF分别如图分别如图c、d所示。所示。(c)(d)例题例题 6-4第37页/共90页393. 变形相容条件是杆的总长度保持不变，即变形相容条件是杆的总长度保持不变，即(1)0 Ftll(c)(d)例题例题 6-4第38页/共90页404. 将将(2

22、)式代入式代入(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN, (2)0N EAlFltl 补充方程为补充方程为(3)(c)(d)例题例题 6-4第39页/共90页415. 由由(3)式解得式解得tEAFlN (c)(d)例题例题 6-4第40页/共90页426. 杆的横截面上的温度应力为杆的横截面上的温度应力为tEAFlN (c)(d)例题例题 6-4第41页/共90页43 若该杆为钢杆。若该杆为钢杆。 l =1.210- -5/( (C)，E=210 109Pa，则当温度升高则当温度升高D Dt =40时有时有 MPa100 Pa10100C40Pa10210C/102 . 1695 t

23、El （压应力）（压应力）例题例题 6-4第42页/共90页44 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面在截面C处受扭转力偶矩处受扭转力偶矩Me作用，如图作用，如图a所示。已知杆的扭转刚度为所示。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的反力偶矩以及试求杆两端的反力偶矩以及C截面的扭转角。截面的扭转角。例题例题 6-56-3 扭转超静定问题扭转超静定问题第43页/共90页451. 有二个未知的反力偶矩有二个未知的反力偶矩MA， MB，但只有一个独立的静力平衡方程但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。 0 0eBAxMMMM，(b)MAMB例题例题 6

24、-5解：解：第44页/共90页46 2. 以固定端以固定端B为为“多余多余”约束，反力偶矩约束，反力偶矩MB为为“多余多余”未知力。在基本静定系上加上荷载未知力。在基本静定系上加上荷载Me和和“多余多余”未知力偶矩未知力偶矩MB(如图如图c)；它应满足的位移相容条件为它应满足的位移相容条件为B截面的扭转角截面的扭转角j jB=0，利用叠加法可得利用叠加法可得BBMBMj jj j e(c)例题例题 6-5第45页/共90页47可由平衡方程求得为可由平衡方程求得为3. 根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程根据位移相容条件并利用物理关系得补充方程求得求得ppeGIlMGIaMB eeeelbM

25、laMMMMMBA elaMMB 例题例题 6-5第46页/共90页484. 杆的杆的AC段横截面上的扭矩为段横截面上的扭矩为lbMMMMTABACee (c)例题例题 6-5从而有从而有 peplGIabMGIaTACC j j第47页/共90页49 图图a所示组合杆，由半径为所示组合杆，由半径为ra的实心铜杆和外半径为的实心铜杆和外半径为rb，内半径为内半径为ra的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩的空心钢杆牢固地套在一起，两端固结在刚性块上，受扭转力偶矩Me作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩作用。试求实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩Ta和和Tb，并绘出它们横

26、截面上切应力沿半径的变化情况。并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。例题例题 6-6第48页/共90页501.实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta和和Tb(图图b)，但只有一个独立平衡方程但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。例题例题 6-6解：解：TbTaMe第49页/共90页512. 位移相容条件为实心杆和空心杆的位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对于截面相对于A截面的扭转角相等。在图截面的扭转角相等。在图b中都用中都用j j表示（设表示（设A端固定）。端固定）。)2(BbBaj jj

27、 j 例题例题 6-6TbTaMe第50页/共90页523. 利用物理关系由利用物理关系由(2)式得补充方程为式得补充方程为)3( ppppbbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlT ，即，即例题例题 6-6TbTaMe第51页/共90页534. 联立求解联立求解(1)式和式和(3)式得：式得：)4(epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa ，例题例题 6-6TbTaMe第52页/共90页545. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为实心铜杆横截面上任意点的切应力为 abbaaaaaarIGIGMGIT 0ppep空心钢杆横截面上任意点的切应力为空心钢

28、杆横截面上任意点的切应力为 bbbaabbbbraIGIGMGIT ppep切应力沿半径的变化情况如图切应力沿半径的变化情况如图c所示。所示。ara arb rarb(c)例题例题 6-6第53页/共90页55 由图由图c可见，在可见，在 = ra处，处， a b，这是因为这是因为 Ga D DC D DA的情况进行分析。此时，支座的情况进行分析。此时，支座B相对于支座相对于支座A 、C 沉陷后的点沉陷后的点A1 、C1 的连线有位移的连线有位移第75页/共90页77于是，如以支座于是，如以支座B1作为作为“多余多余”约束，以约束力约束，以约束力FB为为“多余多余”未知力，则作为基本静定系的简

29、支梁未知力，则作为基本静定系的简支梁A1C1(参见图参见图b)在荷载在荷载 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共同作用下应满足的位移相容条件就是共同作用下应满足的位移相容条件就是210CABBBBw 第76页/共90页78于是得补充方程于是得补充方程由此由此解得解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按按叠加原理有叠加原理有( (参见图参见图c、d):):第77页/共90页79再由静力再由静力平衡方程可得平衡方程可得 23833CABCAlEIqlF

30、F第78页/共90页80(2) 梁的上梁的上,下表面温度差异的影响下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装就位，其后，由于梁的安装就位，其后，由于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底底面温度升高至面温度升高至 t2，且且 t2t1，从而产生从而产生约束力约束力如图中所示。如图中所示。 由于未知的由于未知的约束力约束力有有6个，而独立的平衡方程只有个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。个，故为三次超静定问题。l第79页/共90页81 现现将将右边的固定端右边的固定端B处的处的3个约束作为个约束作为“多余多余”约束，则解除约

31、束，则解除“多余多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上它在上, ,下表面有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差的情况下，右端产生转角 Bt和和挠度挠度wBt( (见图见图c) )以及轴向位移以及轴向位移D DBt。第80页/共90页82 如果忽略如果忽略“多余多余”未知力未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和下表面温差和“多余多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy