实对称矩阵的对角化

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10111 1一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质二、正交向量组的概念二、正交向量组的概念三、正交矩阵三、正交矩阵四、施密特正交规范化法四、施密特正交规范化法五、实对称矩阵的性质五、实对称矩阵的性质六、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法六、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法七、小结七、小结Page 21212(,) ,(,)TnTnna aab bb 两两个个 维维实实向向量量的的内内积积定定义义为为实实数数定义定义1 1一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质1 122( ,)TTnna ba ba b ，( ,)

2、记记为为。( ,)0 当当时时，则则称称 与与 正正交交。 ,:x y内内积积是是向向量量的的一一种种运运算算 如如果果都都是是列列向向量量 内内积积可可用用矩矩阵阵记记号号表表示示为为说明说明 ,.TTx yyy xxPage 3内积的运算性质内积的运算性质( ,)( , ) (1) (1) (, )( , )( , ) (2) (2) (,)( ,),kkkR (3) (3) 0( , )0;0( , )0 (4) (4) 00T(5) (0, )(5) (0, )11221122 (, ) (, )(, )(, )mmmmkkkkkk (6)(6)(4),( , )0( , ) 由由为为

3、非非负负实实数数，定定义义为为向向量量的的，记记为为( (度度或或长长) )。长长度度为为1 1的的向向量量称称为为(unit vect(unit vect单单位位向向量量or)or)。Page 4142,112 ，10 ，用用数数乘乘 叫叫做做对对 单单位位化化，( ,)0,; 则则( , )6;21; 1 所所得得向向量量是是单单位位向向量量, ,111. 即即例例1 1Page 5二、正交向量组的概念二、正交向量组的概念nnRnR 定定义义了了内内积积的的实实向向量量空空间间称称为为 维维，在在欧欧几几里里得得空空间间中中，12,(,)0,mijij (1)(1)如如果果向向量量组组(I

4、)(I)不不含含零零向向量量，且且 (I) (I)中中向向量量两两两两正正交交，即即，则则称称 (I) (I)是是一一个个正正交交组组；规规( (范范2)2)正正交交由由单单位位向向量量构构成成的的正正交交组组叫叫做做( (组组 标标准准或或正正交交组组) )；定义定义2 2Page 60,(,)1,ijijijij . . 1234001212001212,.121200001212eeee 例如例如12,nnnR (3)(3)称称含含有有 个个向向量量的的规规范范正正交交组组(II)(II) 规规范范正正交交基基标标准准正正 为为的的一一个个( (或或) )，即即 ( (交交基基II)II

5、)满满足足Page 7.1000,0100,0010,00014321 同理可同理可知知.4的一个规范正交基的一个规范正交基也为也为R ,0,1,2,3,4.,1,1,2,3,4.ijije eiji je eiji j 且且由由于于且且.,44321的一个规范正交基的一个规范正交基为为所以所以ReeeePage 8nR 中中的的任任意意正正交交组组线线性性无无关关。12,nmR 设设(1)(1)是是的的一一个个正正交交组组，考考虑虑1 两两端端分分别别与与作作内内积积，11220mmkkk，112211(,)(0,)mmkkk，由由内内积积的的性性质质，11122111(,)(,)(,)(0

6、,)mmkkk ，例例2 2证明：证明：11(0,)0,(,)0(2,)jjm 上上式式中中 1111(,)00kk 故故。20,0mkk同同理理可可得得，从从而而(1)(1)线线性性无无关关。Page 9 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量的列向量和和行向量都是标准（规范）正交基行向量都是标准（规范）正交基AA证明证明TAEA E nA若若 阶阶实实矩矩阵阵 满满足足例例3 3112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa三、正交矩阵三、正交矩阵定义定义3 3 1,TTTA AAAEAA 即即 .A则则称称 为

7、为 正正交交矩矩阵阵Page 10 1212,TTnTnE 121111222212TTTnTTTnTTTnnnnE 1,;,1,2,0,Tijijiji jnij 当当当当Page 11又又由由定定义义知知TAA正正交交正正交交TA的的列列向向量量组组是是标标准准正正交交基基, ,A的的行行向向量量组组是是标标准准正正交交基基. .12,n 是是标标准准正正交交基基，Page 12四、施密特正交规范化法四、施密特正交规范化法12,nmR 设设(1)(1)是是中中的的一一个个线线性性无无关关组组，令令11, 2122111(,),(,) 313233121122(,)(,),(,)(,) 12

8、1121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmm 定理定理1 1（1 1）正交化，）正交化，Page 13(1,2,)jjm 将将单单位位化化( (又又叫叫规规范范化化) )得得1(1,2,)jjjjm ，(1,2,)jjm 则则是是一一个个规规范范正正交交组组，1212,(1,2,)jjjm 且且满满足足与与等等价价。（2 2）规范化，）规范化，11 , .rr上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组构构造造出出正正交交向向量量组组的的过过程程 称称为为施密特正交化过施密特正交化过程程Page 14例例4 4 用施密特正交化方法，将向量用施密特正交化方法，将向量组组

9、)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1222111,b ababb b 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取Page 15 132333121122,b ab ababbb bb b 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再单位化单位化， 22212130, 2, 1,30,14141414beb 333111

10、21,1, 2,0,06666beb 得规范正交向量组如得规范正交向量组如下下 11111 1 1 11,1,1,1,22 2 2 2bebPage 161231231 1 ,1,. 已已知知求求一一组组非非零零向向量量使使两两两两正正交交例例5 5解解.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为231123,0, 0.TXxxx 应应满满足足方方程程即即Page 17把基础解系正交化，即合所求亦即把基础解系正交化，即合所求亦即取取 1211,1,2, 其其中中于于是是得得210,1 301111102.22111 21, 1232111(,)(,) Page 18 ,AX 设设复复数数

11、 为为对对称称矩矩阵阵 的的特特征征值值 复复向向量量 为为对对应应的的特特征征向向量量定理定理2 2实实对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .证明证明 ,0.AXXX 即即, 的的表示表示用用 共轭复数共轭复数 AXAX 则则 .AXXX五、实对称矩阵的性质五、实对称矩阵的性质说明说明：以下所提到的对称矩阵，除非特别：以下所提到的对称矩阵，除非特别说说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵 ,XX表表示示 的的共轭复向量共轭复向量Page 19于是于是有有TX AX TX AX及及 TXXA TXX ,TX X TXX A TAXX TXX .TX X 两式相减，两式相减，得得 0

12、.TX X 0,X 但但因因为为 , 0 , 即即.是实数是实数由此可得由此可得 211 0,nnTiiiiiX Xx xx所所以以Page 20定理定理2 2的意的意义义 , ()0,0,.iiiAEA XEA 由由于于对对称称矩矩阵阵 的的特特征征值值 为为实实数数 所所以以齐齐次次线线性性方方程程组组是是实实系系数数方方程程组组 由由知知从从而而对对应应的的必必有有实实的的基基础础解解系系特特征征向向量量取取实实向向量量Page 2112121212,.Apppp 设设是是对对称称矩矩阵阵的的两两个个特特征征值值是是对对应应的的特特征征向向量量 若若则则 与与 正正交交证明证明,2122

13、2111 AppApp,AAAT 对称对称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT定理定理3 3Page 22定理定理3 3的意的意义义 1nAn对对于于 阶阶实实对对称称矩矩阵阵，由由以以上上定定理理， 的的 个个属属于于不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量组组构构成成正正交交组组。 2A属属于于 的的同同一一个个特特征征值值的的一一组组线线性性无无关关的的特特征征向向量量不不一一定定相相互互正正交交， 可可用用施施密密特特正正交交化化方

14、方法法将将其其正正交交化化，A 得得到到 的的属属于于该该特特征征值值的的正正交交特特征征向向量量组组。 3AnA特特别别地地， 有有 个个正正交交的的特特征征向向量量， 相相似似于于对对角角形形矩矩阵阵，我我们们有有以以下下的的重重要要结结论论。Page 231AnQQ AQA 若若 为为 阶阶实实对对称称矩矩阵阵，则则一一定定存存在在正正交交矩矩阵阵 ，使使正正交交相相得得为为对对角角似似于于对对角角形形矩矩阵阵( (称称为为形形矩矩阵阵).). nAn阶阶实实对对称称矩矩阵阵 存存在在 个个正正交交的的单单位位特特征征向向量量。定理定理4 4推论推论Page 24六、利用正交矩阵将对称矩

15、阵六、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法对角化的方法 (1,2,)iirimA (1)(1)，设设其其重重数数求求出出 的的全全部部不不为为同同的的特特征征值值；1AQQ AQ 对对于于实实对对称称矩矩阵阵 ，求求正正交交矩矩阵阵 ，使使得得为为对对角角形形矩矩阵阵的的方方法法：1(1,2,)()0imiiiArAimEAAnXr (2)(2)， 得得到到 的的 个个属属于于 的的正正交交求求出出的的基基础础解解系系，将将其其正正交交化化特特征征向向量量。 共共求求出出 的的个个正正交交特特征征向向量量；Page 25nQ(3)(3)，由由所所得得向向量量 作作将将以以上上 个个正正交交特特

16、征征向向量量为为列列构构成成正正单单化化交交矩矩阵阵位位，则则11(,)TmQ AQQ AQdiag 。将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2. 0,;iEA XA 由由求求出出 的的特特征征向向量量1.;的特征值的特征值求求A即以下四步即以下四步Page 26解解22021202EA 412 0 . 2, 1, 4321 得得220212 ,020A 例例6 6 对下列实对称矩阵，求出正交矩阵对下列实对称矩阵，求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P第一步第一步 求求 的特征值的特征值APage 27 0,iEA XA 第第二二步步由由求求

17、出出 的的特特征征向向量量 14,40,EA X 对对由由得得 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 21,0,EA X 对对由由得得 0202202323121xxxxxx解之得基础解解之得基础解系系.2122 Page 28 32,20,EA X 对对由由得得 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向

18、量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令Page 29,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则Page 301 1将一组极大无关组规范正交化的方法：将一组极大无关组规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将极大无关组正交化，先用施密特正交化方法将极大无关组正交化，然后再将其单位化然后再将其单位化 ;11TAA ;2EAAT 3;A的的列列 行行 向向量量是是两两两两正正交交的的单单位位向向量量七、小结七、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：APage 313.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质： (1) (