九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习

1、九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习圆周角定理及其推论一、知识点总结1 .圆心角：顶点在圆心的角.注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数.2 .在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1如图，AB为。O的弦，点CD为弦AB上两点，且OC=OD延长OCOD分别交。O于点E、F,试证明弧AE=弧BF.分析：“弧AE=瓜BF"-"/=/"把证弧相等转化为证.证明：例2如图，点O是/BPD的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边

2、分别交于点A、B和C、D.求证：AB=CD分析：把证明弦相等转化为证明弦心距相等.例3如图所示，已知AB为。的直径，CD是弦，且AB，CD于点E,连接AC、OC、BC.(1)求证：/ACO=/BCD.（2）若EB=8cm,CD=24cm,求。的直径.分析：（1）/ACO=/,而/=/.（2）在Rt，中，利用勾股定理列方程求例4已知，如图，在，ABC中，AD,BD分别平分/BAC和/ABC,延长AD交，ABC的外接圆于E,连接BE.求证：BE=DE分析：把证BE=DE转化为证/=/.1 .如图1,在。O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2 .如图2,BE是半径为

3、6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知ABACD渠同圆的两段弧，且ABA=2CD,则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDBABV2CDCAB>2CDD不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°,则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：等弧的长度相等；直径是圆中最长的弦；相等的圆心角对的弧相等；圆中90°角所对的弦是直径；同圆中等弦所对的

4、圆周角相等.其中正确的有（）7、如图3,AB是。的直径，AB=AC,BC交。O于点D,AC交。O于点E,/BAC=45,给出下列五个结论：/EBC=22.5;BD=DCAE=2EC劣弧AE是劣孤DE的2倍；AE=BC其中正确结论的序号是（）图1图2图38 .如图所示，。半径为2,弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9 .如图，在。O中，AB是直径，CD是弦，AB±CD.（1） P是CADA上一点（不与C、D重合），求证：/CPD=ZCOB;（2）点P'在劣弧CD上（不与C、D重合）时，/CP'D与/COB有什么数量关系？请证明你

5、的结论.3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.1 .如图1,/A是。O的圆周角，且/A=35°,则/OBC=.2 .如图2,圆心角/AOB=100°,则/ACB=3:如图3,AB是。O的直径，点C,D,E都在。O上，若/C?/D?/E,则/A?/B?o.CF?EOD?404:如图4,OO的直径CD过弦EF的中点G,则？D?COABGBD图3A图4c4 .圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题.考

6、点2:圆周角定理1、如图，ABC中，/A=60°,BC为定长，以BC为直径的。O分别交AB,AC于点D,E.连接DE,已知DE=EC下列结论：BC=2DEBD+CE=2DE其中一定正确的有（）5 .一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m,测得圆周角/ACB=45,则这个人工湖的直径人口为（）6 .如图AB是。的直径，ACA所对的圆心角为60°,BEA所对的圆心角为20°,且/AFC=ZBFD,/AGD=/BGE,则/FDG的度数为（）7 .如图，AB是。的直径，C,D两点在。O上，若/C=40°,则/ABD的度数为（）1题图2

7、题3题4题5:已知：如图，AD?是。0?的直径，/ABC=?30?,贝（J/CAD=C6:已知。0中，？C?30,AB?2cm,则。的半径为？cm.7.已知：如图等边ABC内接于。O,点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D,使BD?AP,连结CD.(1)若AP过圆心O,如图，请你判断PDC是什么三角形？并说明理由.(2)若AP不过圆心O,如图，PDC又是什么三角形？为什么？图图8 .如图AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，若AC=8cm,AB=10cm,OD±BC于点D,求BD的长9 .如图，在。O中，直径AB与弦CD相交于点P,/CAB=40°,/APD=65&

8、#176;.(1)求/B的大小；(2)已知圆心0到BD的距离为3,求AD的长.10 .11 .如图，AB、CD是。O的两条弦，它们相交于点P,连接AD、BD,已知AD=BD=4,PC=6,那么CD的长是12 .如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OCXBD于点M,CFLAB于点F交BD于点E,BD=8,CM=2.(1)求。O的半径；(2)求证：CE=BE13.5 .圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6 .圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，/AOC=100°,则/A

9、BC等于()A.140°B.110°C.120°D.130°7 .确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A.第块B.第块C.第块D.第块8 .三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形。直角三角形的外心在斜边上1 .如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、Co用直尺画出该圆弧所在圆的圆心

10、M的位置；2 .如图，已知：4ABC是。的内接三角形，AD±BC于D点，且AC=5,DC=3,AB=42,则。O的直径等于3 .如图，在RtAABC中，/ACB=90°,AC=5,CB=12,AD>AABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DB(1)求证：AC=AE;(2)求4ACD外接圆的半径。思维导图如下：B综合练习一一.选择题1 .如图，在。O中，若圆心角/AOB=100°,C是上一点，则/ACB等于（）.A.80°B.100°C.130°D.140°2 .已知，如图，AB为。的直径，AB=

11、AC,BC交。O于点D,AC交。于点E,/BAO45°。给出以下五个结论：/EBO22.5°BD=DC;AE=2EC;劣弧AE是劣弧DE的2倍；AE=BG其中正确的有（）个A.5B.4C.3D.2第1题图第2题图第3题图3 .如图，设。O的半径为r,弦的长为a,弦与圆心的距离为d,弦的中点到所对劣弧中点222的距离为h,下面说法或等式：r?d?h4r?4d?a已知r、a、d、h中任意两个，可求其它两个。其中正确结论的序号是（）A.仅B.C.D.4 .如图，在。O中，弦AB的长是半径OAC为AB中点，AB、OC交于点P,则四边形。人08是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.

12、正方形5 .如图所示，AB是。的直径，AD=DE,AE与BD交于点C,则图中与/BCE相等的角有（）A、2个B、3个C4个D、5个第4题图第5题图第6题图6 .如图所示，AB是。的直径，弦CD，AB于点E,/CDB=30°,OO,则弦CD的长为（）.A.3cmB.3cmCD.9cm2二、填空题1 .如图，AB和DE是。的直径，弦AC/DE,若弦BE=3,则弦CE=.第7题第9题8 .半径为2a的。O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是.9 .如图，。O的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5,BE=1,CD?/AED=°.10 .如图所示，AB、CD是。的两条互相

13、垂直的弦，圆心角/AOO130°,AD、CB的延长线相交于P,则/P=°.11 .如图所示，在半径为3的。中，点B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D,使BD=AB,连接AC、BCCD,如果AB=2,那么CD=.（第1012题图）题图）（第（第11题图）12.如图，MN是。的直径，MN=2,点A在。O上，/AMN=30°,点B为AN中点，P直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值是13 .已知。O的半径OA=2,弓AAB、AC分别为一元二次方程x2-（的两个根，则/BAC的度数为.三、解答题14 .如图，在。O中，AB?BC?CDOB,OC分另U交AC,BD于E

14、、F,求证OE?OF15 .如图所示，以交。于G,ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD,BC于E,F,?延长BA求证：GE?EF16 .如图所示，AB是。的直径，C为AE的中点，CD!AB于D,交AE于F,连接AC,求证：AF=CF.17 .如图所示，OO的直径AB长为6,弦AC长为2,/ACB的平分线交。O于点D,求四边形ADBC的面积.综合练习二一、选择题1、如图1,。的直径为10,圆心O至IJ弦AB的距离OM的长为3,那么弦AB的长是（）A.4B.6C.7D.82、如图2,。的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A.2B.3C.4D.5图

15、1图2图33、过。O内一点M的最长弦为10cm,最短弦长为8cm,则OM的长为（）A.9cmB.6cmC.3cmD.41cm4、如图3,小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A.12个单位B.10个单位C.1个单位D.15个单位5、如图4,。的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点，CD?6cm,则直径AB的长是（）A如图4如图5如图66.下列命题中，正确的是（）A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂

16、线必经过这条弓g所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7、如图5,某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米,拱的半径为13米，则拱高为（）A.5米B.8米C.7米D.53米8、有4个命题，直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最长的弦是通过圆心的弦；一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧。其中真命题是（）A.B.C.D.9、在半径为5cm的圆中，弦AB/CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是（）A.7cmB.1cmC.5cmD.7cm或1cm10、 如图6,EF是。O直径，OE=5cm,弓AAB=8cm,EF两点至U

17、MN的距离之和等于（）A. 12cmB. 6cmC. 8cmD. 3cm二，填空题1、A、B是半径为2的。O上不同两点，则AB的取值范围是.2、在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成个部分.3、如图，AB是。O直径，弦CD与AB交于E,若，贝CE=DE总需填写一个）；4、某圆半径为4cm,一弦中点到所对劣弧中点的距离为2cm,则止匕弦长为;5、直径30cm的。O中有两平行弦AB和CD,AB=18cm,CD=24cm,贝AB与CD的距;6、如图，OO的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范；7、如图，在半径为6cm的

18、。O中，两弦AB±CD于E,若CE=3cm,DE=7cm,贝UAB=;8、如图，C是。O直彳至AB上一点，过C作弦DE,使CD=CQ若40。，则所对圆心角度数为;所对圆心角度数为9、半径为1的圆中，长度等于的弦所对圆心角是度；10、圆的一条弦分圆为4:5两部分，则其中优弧所对圆心角为度.11、已知AB是。的直径，弦CD!AB,E为垂足，CD=8,OE=1,则AB=12、过。O内一点M的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长等于cm13、在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于三解答题1、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点Do已知：AB?24cm,CD?8cmo(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；第12页(2)求(1)中所作圆的半径。2、已知：如图，P是/AOB的角平分线OC上的一点，OP与OA相交于E,F点，与OB相交于G,H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论.3、如图，MN为半圆O的直径，半径OA,MN,D为OA中点，过D作弦BC/MN,求证：四边形ABOC为菱形.4、直径为1Om的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m,那么油的最大深度是多少？5、已知：如图，AB、CD是。O的两条直