习题行列式的性质

1、1、用行列式的性质计算下列行列式:34215352152809229092【分析】可见行列式中1,2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000,易于化为下三角行列式，于是,【解法一】【解法二】342150280921000342150280921000下三角6123000。下三角6123000。abacaebdcddebfcfef【分析】各行、列都有公因,抽出后再行计算。abacaea1bceb5111bdcddedradf2bcecPadfbcec2111bfcfeff%bceec3111解上三角abcdef(1)224abcdef。【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式,上三角1

2、238。2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值:【解法一】【解法二】270上三角22_1)(135)270【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将1010r?10r31042r2r4r23、设行列式aj10m(i,j交换第一行与第五行，再转置,第二行各元素。上三角101(r12,3,104)21,2,|,5),依下列次序对用2乘所有元素，再用【解】1交换第一行与第五行，行列式变号，结果为2再转置，行列式的值不变,工r1cc21012511001524列加到第160aj进行变换后,求其结果:(-3)乘以第二列加到第四列，最后用53用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2,这等于用2

3、乘以行列式，结果为m2532m；32m；最后用4除第二行各元素，即第二行有公因i、入ei,，八，,这等于用一乘以行列式，结果为再用（-3）乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为4、用行列式的性质证明下列等式:biCiCiaibiCia2b2C2C2a2b2C2a3kb3b3C3C3a3b3【证法一】左边aibia2kb2b2a3kb3b3C3CiC2C3kb3bib2b3CiC2C3biCi【证法二】右边cikc2a2a3b3C3=右边，证毕。aia3a2kbikb2biCib2C2aikbibiCiCia2kb2b2C2C2a3kb3b3C3C3b3C3kb3C2C3=左边

4、，证毕。aikbibiCiCia?kb2b2C2C2分拆CiaibiCiCikbibiCiCia2b2C2C2+kb2b2C2C2a3kb3b3C3C3a3b3C3C3kb3b3C3C3【证法三】左边aib1ciaiCiCikbibcikbicici都分拆c2a2b2C2+a2C2C2+kb2b2c2+kb2C2C2a3b3C3a3C3C3kb3b3C3kb3C3C3aiCiaiCi第2,4行列式C2C3第3行列式c:c2=k:ia2a3bib2b3C2C3+0+0+0=a2a3bib2b3C2C3=右边，证毕。【证法一】左边2(xz)c(cq)2(xz)2(xz)yyxyzyr22(xz)对

5、比即得左边=右边，证毕。【证法二】左边前C3-Ci后c2-C1xzxzxyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzxyxyyzxxzyz前C2-C3后C3-C2y=右边，证毕。5、计算下列行列式:airx【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2列以后各列加到第1歹U:【解】设axIIIIIIaaxaa为n阶行列式,则每行中有1个x,n-1个a,于是aaaaaaaxrmininaaxaaxn1上三角x(n1)a(xa)123103120IIIIIIIII123123n1nn1nn1nIIIIII0n(n1)0因此，将首行加到以下各行，将【分析】该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反

6、数,化为上三角行列式。III1123103120IIIIIIIII123123a1a1IIIa1a?a2a2b2IIIa2n1n1n1III0(n1)anan上三角123汁(n1)nn12(n1)2(n1)IIIn10n!on2n2nIII2nnanIIIanbn【分析】这是为n+1阶行列式。该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等，因此，将首行的-1倍加到以下各行，将化为上三角行列式。a2ob2woa1bowo1ooHuoCT1sHMM.cnbnnnhaaaHMoanaIII中I其2，%bm%1oo"an2ab2a1a1Md1oa"oSI1a1oo1111ao1111【

7、分析】为化成上三角行列式，须将以下方元素全化为0,这样就需要次第地（以一定顺序,个接一个地），将S0化为-1后加到第1歹U,将ai化为-1后加到第2歹U,a。111a1010a2IIIIII1*11001a0a101III11a10III010a2III0100Ida01a1aOa2an1C1-Cn1a00lb011a100a2IIIIII00lb0i1a.1III10a1000a2IIIIIIIII000an上述的n次列倍加运算也可以叠加进行:6、解下列方程:12x233232315219x20;【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，注意到1,2两行及3,4两行有较多的相同元素，得:

8、11231123一2一一12x23rr1201x002315rr'4'32315一一一22319x0004左边=3232x原方程为c1上三角(1)(4x2),(1x2)(4x2)0,即得4个根为2。1III11III1xIII1(n1III2)1(n【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式,1III11)将第一行的0；-1倍加到以下各行即成为上三角行列式。左边=1III11III1III11III(n2)1(n上三角x(1x)(2x)|(n3)原方程为x(1x)(2x)|(n3)1III11)xx(n2)x(n2)x即得n-1个根为xk,(k0,1,2,U|,n1,n2。)

9、7、设n阶行列式Ddet(aj),把D上下翻转，或逆时针旋转90°,或依副对角线翻转，依次D1"1n11aannna1nI111aannanna1证明D1D2(1)n(n1)/2DD3【证明】1D1(1)n(n1)/2D,这就是将D变换成D1:得到Di,n|卜21a11an1a1nan1IIIHIanna11翻转变换中，元素aj的列码仍为列码，顺序没变,由于排列12311n变成n|321要经过(nanna1n行码则由顺序,由于把D上下翻转123|n变成了逆序1)(n2)|n(n1)/次对换,2证毕。可知把D上下翻转得到Di,须经过n(n1)、,次行对换,从而D1(1)n(n

10、1)/2D。D2(1)n(n1)/2D,a11这就是将D变换成D2：an1a1na11由于把D逆时针旋转90。得到D2：旋转变换中，元素aj的第一码i变成了第二码,都作为行码看待时,由顺序123|n变成为逆序n321；而第二码j变成了第一码i,都作为列码看待时，顺序不变,由于排列123”|n变成n|“321要经过(n1)(n2)|2n(n1)/次对换,2可知把D旋车990o得到d2,须经过n(n1)次对换,从而D2(1)n(n1)/2D。证毕3D3aii这就是将D变换成D3线翻转得到D3:an1ainIIIannan1IIIaiiannIIIain,由于把D依副对角翻转变换中，元素aj的第一码i变成了第二码j,都作为行码看待时，由顺序1成为逆序n“321；第二码j变成了第一码i,都作为列码看待时，由顺序123”卜变成为逆序n|321,从而,把D依副对角线翻转得到D2,须经过n(n1)2n(ni)n(ni)次偶数对换，从而D3(1)n(n1)DD。证毕。8、已知255,459,527都能被i7整除，不求行列式的值，证明行列式能被17整除。【分析】若行列式的任一项含有而这样只须行列式中有一行以经观察，行列式第一列恰有行列式第二列恰有255,459,527这三个数之一，则行列式必能被25