昆明理工大学---线性代数-第2章-习题册答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上习题2.1（矩阵的初等运算（不含逆运算）一、计算下列矩阵的乘积(1) ； 解：(2) ； 解：(3) . 解： 二、设，求.解：三、设，求A，A2，A4，B.解：四、设，求(为正整数).解：首先观察 由此推测 用数学归纳法证明:当时，显然成立。假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: 五、已知A,B,C均为n阶方阵，且A,B及A,C都可交换，证明A与BC可交换。证明： A,B可交换； A,C可交换 AB = BA； AC = CA 。 A(BC) = (AB)C = (BA)C = B(AC) = B(CA) = (BC)A，即A(BC) = (BC)A，A与BC可交换

2、。六. 设A,B为n阶方阵，且，证明当且仅当.证明： 即 。习 题2.2（矩阵的逆运算及分块运算）一、判断下列矩阵是否可逆并求其逆矩阵 (1) A=，解： A可逆 (2) A= 分析：用判断及用求较麻烦。但是，把A写为分块对角阵，用分块对角阵的性质判断并求解较简单。解：，其中、， 、均可逆，且、 A可逆， 且 要求B，则把含B的项合并结合律二、 设三阶方阵A、B满足，且，求B.两边同时左乘(A-1- E)-1分配律分析： (A-1- E)-1(A-1- E) = E 结合律两边同时右乘A-1 A A-1= E EBE=B 6(A-1- E)-1E = E 解： 计算如下，三、解矩阵方程解：四、

3、设, 求及.解：令、，则， ， 五、设方阵A满足A2 -A -2E = 0，证明A及 A + 2E都可逆，并求A-1及(A + 2E)-1. 推论中因子B首先因式分解出因子A分析：利用推论（若方阵A满足AB = E，则A可逆，且A-1= B）证明及求解。得到推论中因子A首先因式分解出因子A+2E（1） 得到推论中因子A推论中因子B（2） 证明：A可逆，且A+ 2E可逆，且证法2：两端同时取行列式: ，即，故所以A可逆，而，故也可逆。由又由习题2.3（矩阵的初等变换）一、把下列矩阵化为标准形(1)解：(2)解：二、试利用矩阵的初等变换，求方阵的逆矩阵.解：。 故逆矩阵为三、 设, ，试用初等变换

4、的方法求X使AX = B.解： 四、设，若，求矩阵P. 解：交换矩阵A的2、3两列得到矩阵AP，对A作列初等变换等价于对A右乘相应的初等矩阵习题2.4（矩阵的秩）一、 在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r -1阶子式？有没有等于0的r阶子式？举例说明。解：在秩是r的矩阵中，可能存在等于0的r -1阶子式，也可能存在等于0的r阶子式。例如，。同时存在等于0的3阶子式和2阶子式：取中第3，4，5行和1，2，3列的交叉处元素，构成一个等于0的三阶子式取中第1，2行和3，4列的交叉处元素，构成一个等于0的二阶子式。二、作一个秩是4的方阵，它的两个行是,解：设为五维向量，且，则所求方阵可为，秩为4。不妨设

5、，取，故满足条件的一个方阵为。三、利用初等行变换求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：（1）； （2）.解：(1)，秩为2，二阶子式。 (2) ，秩为2，二阶子式四、设，问为何值时，可使(1)；(2)；(3).解：矩阵A当=1时，只有一个非零行；当= -2时，有两个非零行；当1且-2时，有三个非零行。 (1) =1时，R(A)=1；(2) = -2时，R(A)=2；(3) 1且-2时，R(A)=3。五、设A是4×3矩阵，且A的秩等于2，求AB的秩。解：， 矩阵B可逆， 用可逆矩阵乘某矩阵，不改变该矩阵的秩。 R(AB) = R(A) =2。第二章验收测试题一、 填空题(每小题4分，

6、共40分)1.设A是主对角元为1,2,3,n的n阶三角矩阵，则= n! . 解：，2. = E . 解： 3. 对于矩阵A=，当 1/2 时，A可逆. 解：， A可逆，当 k 1/2时，A可逆 A2 . 解：A2 A可逆，且5将阶方阵的元素全部反号，则新的矩阵的行列式是.解：，6对于n阶方阵，若|A|=5，则 5 解：|AT|=|A|，|A-1|=|A|-1， |A AT A-1|=|A|·|AT|·|A-1|=|A|·|A|·|A|-1=|A|7.若是2阶方阵，且|= 2，则 512 .解：|Ak|=|A|k， |(-2)3|=|-2 A|3=(-2)2|A|3=(-2)6|A|3 = 298. 解：用-1乘以矩阵A的2列得到矩阵AQ，对A作列初等变换等价于对A右乘相应的初等矩阵 4 .解： 0 R(Am×n) min(m，n)，3阶方阵A 0， 1 R(A) 3若Am×n Bn×s=0，则R(A) + R(B) n， 1 R(A) + R(B) 3， 1 R(B) 2t =4时，R(B) 2 125 . 解：，