chpter8一元气体动力学基础

1、第八章可压缩COMPRESSIBLE FLOWn 一、音速（Speed of Sound）n 二、马赫数（Mach Number）n 一、音速（Speed of Sound）1 音速的定义w 狭义的理解，音速是声音的速度u 广义的理解，微小扰动在流体中的音速，用c来表示 。速度就是注1：不要把流体的与声波的运动混为一谈：注意区分扰动的速度和流体本身的运动速度是两回事；扰动的无关；速度只决定于流体的状态参数，而和扰动幅度大小、扰动源注2：声音的过程和气体的过程是两回事，过程可以是等温过程、绝热过程，或等熵过程，而声音的过程是等熵过程。zp、Tpdp2 音速的计算公式这有一个静止管道中活塞的运动。

2、c-czxpdp、dr、TdTp、Tp、T?u0 -cu-cAxVcVVdtu0u0cdtc2d r = dpdp = rcV(r + d r )(V - c) A = -rcAV (r + d r ) = cd r连续性方程( p + dp) A - pA = -rcA-c -(V - c)动量定理c2rd r = (r + d r )dpV (r + d r ) = cd rV rc = dp= rdp + d rdpV (r + d r ) Vcrcd r=c2rd r = rdpdp音速的微分形式公式dpdrc =它是从微弱扰动平面波导出的，适用于气体和液体的微激波。波，但不能用于气体

3、的强波，如dpd rE = rBulk modulus of elasticityn 对于液体来说dpdrErc =c =对于水来说，B=2.06×109pa（T=5）, =1000kg/m3Erc = 1435m / s这就是在水中的速度。拉斯认为声音的过程是等熵过程：对于气体来说，由于微弱扰动的过程进行得很快，热交换和摩擦阻力都可以忽略不计，因此，微弱扰动的以看作是一个等熵过程（Isentropic Process）。过程可 P = constpr kp = C r k等熵过程关系式为= Cr kp = rRT等熵过程的音速计算公式pr dpdrc =c =kc =kRTprc

4、=c =kkRT对于常温、常压下的空气，k1.4，R287J/kg·K ，空气中的音速公式为c =kRT =1.4´ 287´T = 20.1 Tw 当T15，T288K，c340m/s，这就是常温下声音在空气中的速度。k pdpdrc =c =c =kRTr 综上分析，可以看出 :w d/dp表示密度随压强的变化率，若流体的压缩性越大， d/dp也越大， 其倒数dp/d则越小，因而音速c也越小，说明音速在一定程度上反映了流体压缩性的大小。w 音速与流体的性质有关。不同的气体有不同的k和R，因而有不同的音速c值。同一种介质中，音速随流体温度的升高而增大。若流场中各

5、点在不同瞬时的流体温度不同，则各点的音速也不相同。所以音速是指某点在某瞬时的音速，即所谓的当地音速。n 二、马赫数（Mach Number）1. 马赫数的定义？w 马赫数是气流中某点速度同该点当地音速的比值，即M = uaMa = ua2.可压缩的分类(1) 扰动点源速度u=0，Ma0，扰动点源静止不动，微弱扰动的波面是同心球面。u=0(2) u<c，Ma<1，为亚音速流，扰动仍能向各个方向到整个空间，扰动在扰动源之前。utCtu<c(3) u=c，Ma1，为等音速流(跨音速流)，所有扰动的波面叠合形成一个平面。utCtu=c寂静区(4) u>c，Ma>1，为超音

6、速流，扰动波面叠一个圆锥面寂静区Ctutu>c马赫锥:扰动波面叠一个圆锥面，称为马赫锥（Mach Cone），马赫锥的母线就是微弱扰动波的边界线.马赫锥外面的气体不受扰动的影响。马赫角:马赫锥的圆锥顶角一半，称为马赫角，用表示。sinq = c =1寂静区uMaCtutu>c8.2 一元气流基本特性一、一元气体的基本方程二、气流速度与气流密度的关系三、截面变化对气流参数的影响四、拉伐尔（Laval）喷管8.2 一元气流基本特性一、一元气体等熵（一）连续方程（二）运动方程（三）等熵方程（四）气体状态方程（五）音速方程的基本方程注1：由于气体的密度很小，重力的影响甚微，故如不加说明的话

7、，一般在气体力学里面都忽略重力的影响。注2：在气体力学中，由于状态方程的缘故，若不加说明的话，压强均用绝对压强， 温度均用绝对温标。8.2 一元气流基本特性一、一元气体等熵（一）连续方程由质量守恒定律可得的基本方程r1u1 A1 = r2u2 A2 = mruA = const式中为 m& 质量流量(Mass Flux)。可得连续方程的微分形式为d (ruA) = 0du + d r + dA = 0rudA + uAd r + Ardu = 0即或ruA8.2 一元气流基本特性一、一元气体等熵（二）运动方程的基本方程如果忽略粘性，不考虑损失时，对于恒定我们能够列出能量方程：2p +

8、u+ z = constg2g如果忽略重力就成了下面这个式子：u2u2pgp+ = const2gr += const两边微分或者2udu + dp = 0r8.2 一元气流基本特性一、一元气体等熵（三）等熵方程的基本方程pp = Cr= constk或者r k8.2 一元气流基本特性一、一元气体等熵的基本方程（四）气体状态方程P = rRT（五）音速方程c =kRT8.2 一元气流基本特性一、一元气体的基本方程二、气流速度与气流密度的关系三、截面变化对气流参数的影响四、拉伐尔（Laval）喷管8.2 一元气流基本特性二、气体速度与密度的关系udu + dp = 0ru ´ud rr

9、dPrduudu = -= -Ma2 u´ d rd rudu = - dPd r = -Ma2durru讨论：1. du > 0,du < 0,d r < 0d r > 0dp < 0,dp > 0,气流，必然引起压强降低，气体膨胀；气流，必然引起压强增大，气体压缩。气流作或运动，实际上相当于气体的膨胀或压缩过程。一定要记住与液体不同气体运动伴随着密度变化。2. Ma ?d rrd rrduu<时密度相对变化量小于速度相对变化量;Ma < 1duMa > 1时密度相对变化量大于速度相对变化量。>u8.2 一元气流基本特性一

10、、一元气体的基本方程二、气流速度与气流密度的关系三、截面变化对气流参数的影响四、拉伐尔（Laval）喷管8.2 一元气流基本特性三、截面变化对气流参数的影响d r + du + dA = 0d r = -Ma2duuruArdA = (Ma2-1) duAuMa是否大于1，密度相对变化量与速度相对变化量的具有不同相对关系。因此，亚音速和超音速的速度与流道断面积的关系有本质的差别。8.2 一元气流基本特性d r = -Ma2d r + du + dA = 0durruuA1ö drdAæ1 -+= 0代入连续性方程ç÷r2èøAMad

11、rrP1 dp= c=P = cr k等熵方程rkkpdA = 1 - Ma2dpkMa2Ap1 - Ma2dA =dudAdp(Ma-1)=2AVkMa2Ap讨论：1. Ma<1 （亚音速时） ：dudpdAdA与符号相同；与符号相反，upAAdp > 0dA > 0du < 0dp < 0dA < 0du > 0当亚音速气流沿逐渐缩小的截面，流速增加，压强减小；当截面逐渐增大，流速降低，压强增大。变化规律仍然符合不可压缩流体规律。2. Ma>1（超音速）时：dpdAdudA符号相反；与与符号相同，pAuAdu < 0dA < 0d

12、p > 0du > 0dp < 0dA > 0当超音速时，过流断面面积减小，流速会降低，压强增加；过流断面面积增加，流速会增加，压强会减小。正好与亚音速时相反。8.2 一元气流基本特性一元等熵恒定压强速度随截面变化的关系Ma<1截面变化速度变化Ma<1Ma>1dA<0亚音速管超音速扩压管dV > 0,dp < 0，减压dV < 0,dp > 0，扩压 dA>0亚音速扩压管超音速管dV < 0,dp > 0，扩压dV > 0,dp < 0，减压8.2 一元气流基本特性由上述分析可知：要想使气流从

13、亚音速向超音速转变，用一种单纯收缩管都是无法实现的；从超音速向亚音速转变，用一种单纯收缩管逐渐收缩管道只能在出口处达到音速，想要超过音速，必须在音速断面之后立即改变管道形状，变成逐渐扩大管道，才能够使气流由亚音速转变成超音速个最小截面积。（由超音速转变成亚音速），因此就出现了一8.2 一元气流基本特性一、一元气体的基本方程二、气流速度与气流密度的关系三、截面变化对气流参数的影响四、拉伐尔（Laval）喷管8.2 一元气流基本特性能够使气流从亚音速连续到超音速的管道称为拉瓦尔喷管。由收缩管，喉部及扩张段组成，喉部就是最小截面处。8.2 一元气流基本特性拉瓦尔喷管的应用（1）超音速燃气轮机叶栅（2

14、）火箭喷管（3）冲压式喷气发（4）为超音速风洞8.3一元气体可压缩基本方程式一 基本方程式二 滞止参数与滞止关系式三 临界参数与临界关系式四 极限参数最大速度五 气体作为不可压缩流体的限度8.3一元气体可压缩基本方程式一 基本方程式Pr kdp = Ckrk -1d r= constp = Crk因为udu + dp = 0一元气体运动方程rudu + Ckr k-2d r = 0对两边u21Ckr(k - 2) +1+(k -2)+1= c02u22kk -1Crk -1+= c0p = Cr ku2kp =+Ck -1 r28.3一元气体可压缩基本方程式u2kp =+C2）音速方程k -1

15、 r21）气体状态方程p = rRTc =kRTu2c2u2kRT+= C+= Ck -1k -122n 一元气体基本方程式，使用时不必区分实际流体和理想流体，但要注意是否绝热，绝热是这些基本方程式的唯一限制条件。8.3 一元气体可压缩基本方程式u2h += h0对于绝热过程，由热力学第一定律2h = CPT质量气体的焓h等于定压比热乘以绝对温度。在热力学中提出k = CP等熵热数：kRkkp=k -1h = CpT = k -1 RT = k -1 rCpCVCP = CV+ Ru2kpu2kpk -1 r + 2= h0 = C+ = C2k -1 r可压缩流体的能量方程（可压缩流体的伯努

16、利方程）8.3一元气体可压缩基本方程式u2kp =+Ck -1 r2可压缩流体的能量方程的物理意义：质量流体的总能量守恒。质量气体的能量主要包括动能，压能和内能。也就是机械能和内能（或者热能）。nnn 使用基本方程时，不必区分理想或实际流体，但一定要注意是否绝热。所以能量方程的使用条件是：气体 必须处于绝热状态。8.3一元气体可压缩基本方程式u2kp =+Ck -1 r2可压缩流体的能量方程的物理意义：沿流线上质量理想气体的总能量守恒。u2+ p = Cr2忽略重力作用的不可压缩流体能量方程的物理意义:n 因内能没有变化，不可压缩流体的能量主要包括动能和压能，也就是机械能。n 沿流线上质量不可

17、压缩流体的机械能守恒。8.3一元气体可压缩基本方程式二 滞止参数与滞止关系式（1）滞止状态气体在某一断面处速度为零u=0，这一断面称为滞止断面，这种状态称为滞止状态。在这个断面上对应的密度、温度和压强等参数称之为滞止参数，分别用r0，T0，Po等表示。u2kp =T ，p ，+C000A2k -1 rT，p，u2kRTkRT=+ 0k -1Bk -12图8-5大容器中的滞止参数8.3一元气体可压缩基本方程式kRT2 kRT0 = kRT + u等式两端同除k - 1k -1k -12k -1k -1 u2k -1u2T= 1 += 1 += 1 +2 0TMac22kRT22T0= 1+ k

18、-1 M 2绝热滞止温度与任一点处的温度比关系式aT等熵2kök -11ök -1kr2æ r2P2æ T2æ T2öP2= ç r÷ø= ç T=÷ç T÷rPP1è1 øè1øè111 k ök -1T0，p0，0A 1 kP0 = æ r0P0 = æ T0r0röæ T0ök -1=ç T ÷ç r÷ç

19、; T÷PèøPèøèøT，p，k1-1æöp0k r0r-1Bk -æök 1k -1= 1 +2aç÷M= 1 +2açM÷pè2ø2èø图8-5大容器中的滞止参数8.3一元气体可压缩基本方程式T0，p0，0AT0，p0，0MaT，p，uT ，p =，1A ，c*,*B图8-5大容器中的滞止参数图8-6 管道喉部临界参数T0，c0对整个是常数，由于滞止状态时T0最大，c0 =所以，也是最大值。kRT 0

20、8.3一元气体可压缩基本方程式三 临界参数与临界关系式某一断面其流速恰好等于当地声速u=c ，也就是Ma=1断面称为临界断面。这种状态称为临界状态。临界断面上的一切参数均称为临界参数，并用上标*表示，T*、r*、p*、A*等。= k +12= 1+ k -1 M 2T0 Ta2T0，p0，0kkk -11 æ k +1 ök -1æöp0k -= 1 +2a= ççM÷÷Mapè2øè2øu=1T*，p*，*, A*，c*1r 1 ök -1æö

21、k -1æ k +1 k -1÷= ç1 +M 2 ÷0= çraè2øè2ø图8-6 管道喉部临界参数8.3一元气体可压缩基本方程式临界参数与滞止参数关系k -1k +1T *2T= 1+=M 2 0Ta.= 0.8333k + 1aT220kp*æö k -12 k 1 k 1k +1= çk -1æöæö÷p0 pb.k -k -= 0.5283= 1 +=2açM÷ç÷è

22、; k + 1 øpè2øè2ø01r *æö k -12 1 1c. 1 1= çk +1÷æö= 0.6339r0rk -1æök - r0k -= 1 +ça ÷2Mç÷è k + 1 øè2øè2øk=1.4Ma=18.3一元气体可压缩基本方程式kkkk8.3一元气体可压缩基本方程式四 极限参数最大速度最大速度状态时（u=um，p = 0） ：u2u2kp+=

23、 m2k -1 r22kRTu=自滞止状态到最大速度状态列方程 0k -1 m22kRT0k - 1u=mp=0绝对真空状态是永远达不到的。最大速度状态也是永远实现不了的;在设计喷管时不要超过实际条件所允许的速度界限。8.3 一元气体可压缩基本方程式五 气体作为不可压缩流体的限度p0 - p = 1p + 1 ru 2 = p不可压缩1 ru 2022可压缩气体的kk-1)( k -1 M 2 ) + k -1( k -1 M 2 )2kk -1= 1+.k -1 k p= (1+aaM 2 )k -1k -12 0p2!2a2+ k(2 - k) M 6= 1+ k M 2 + k M 4+

24、.aaa2848+ k(2 - k) M 6p - p = p é k M 2 + k M 4+ .ùêë 2úû0aaa8481 ru21 u21 rkpu=22kp =kp2 c2kp =2Ma22M+ (2 - k)2d =+ .4 a Map424c =k r8.3 一元气体可压缩基本方程式五 气体作为不可压缩流体的限度p0 - p = 1p + 1 ru 2= p不可压缩1 ru 2022p - p =M+ (2 - k)21 +4+ . 0 a Ma可压缩气体的1 ru24242例8-1M+ (2 - k)2d =Ma +

25、 .4a424Ma00.10.20.30.40.500.25%1%2.25%4%5.4%若认为压强计算允许的误差为1%，则 Ma £ 0.2当时可视气体为不可压缩流体。一般来说，当Ma < 0.3时，气流可视为不可压缩。8.4喷管中的可压缩气体1.流量公式2.喷管断面面积与临界断面面积之比3.收缩喷管中的气体4.拉伐尔喷管中的气体8.4喷管中的可压缩气体1.流量公式kRT1m& = ruA =× 0T T0RTk RkRTm& = ruAk -1p= A× Ma ×1 +2aM2T0kk -1æöp0 pk -1

26、k +1= 1 +2çMa ÷-k -12æö2(k -1)è2øm = Akp r × Ma × 1+M 2ça ÷00èøk +1ök -1k æ2p0p0m=A = CAR ç k +1 ÷max*èøTT008.4喷管中的可压缩气体2.喷管断面面积与临界断面面积之比ruA = r*u* A*A = r*u* = r* r0= r*r0rc*1T*T0rr0 rr0A*uMaT0TMakRTk +11é

27、;2æ1+ k -1 M 2 öù 2(k -1)=Ma ê k +1ça ÷úè2k +1øûë1æ k -1 ö2æ2ö2(k -1)ç÷ç k +1 ÷= è2øèø1é-ùúúúûk 11k2æöæöppkê1-ç p÷ç

28、 p ÷êêëè0øè0 ø8.4喷管中的可压缩气体：用于获取亚音速M1的气流3.收缩喷管中的气体气体自大容器从收缩喷管流出由于容器很大，可以将其中气流速度看作为零，即V0=0，容器内各参数为滞止参数，记为po，ro，To，喷管出口断面积为A；喷管出口环境参数为p， r，T。8.4喷管中的可压缩气体列出容器内与管口出口断面之间的能量方程V 2pkpk+= 0 k -1 rk -1 r02é- 1 ùék -1 ùp æöê1- æ

29、46;2kp0p2kp0pkkê1-úúúûúúúûV =ç p ÷ç p ÷êêëêêëk -1 rk -1 rp0 è0 øè0 ø00n 这就是喷管出流的速度公式，也称圣·维南(Saint·Venant)定律。此公式无论对亚声速或超声速都是成立的。éæk +1 kùúúúû

30、2öæö2kppkêp rm = A-0 0 êç p÷ç p ÷k -1êëè0 øè0 ø8.4喷管中的可压缩气体éæk +1 kùúúúû2öæö2kppêkp rm = A-0 0 êç p÷ç p ÷k -1êëè0 øè0 &#

31、248;m&m& 8.4喷管中的可压缩m&气体讨论：(1)当o点p/p00，喷管外界压强p = 0时，流量 m&于绝对真空状态，实际上这是不可能的。气体处= 0(2) 当c点p/p01，喷管外界压强与滞止压强相等，p = p0时，= 0流量 m&，出流速度也为零，即u=0，这时没有出流。m& 8.4喷管中的可压缩m&气体kö k -1p*æp2= ç÷p0p0è k +1ø(3) 当b点p/p0 p*/p0，喷管外界压强与临界压强相等，pp*时，喷管断面就是临界状态，速度等于音速

32、，为等音速气流，此种情况下得到最大流量。k +1p0= æö 2(k -1) A*2k22kp rV = c0= cm&*ç k + 1÷max00k + 1 r0k + 1èøm& 8.4喷管中的可压缩m&气体(4)当p/p0> p*/p0 ，喷管外界压强p > p*时，气体在喷管中虽然逐渐降压，但出口气流速度仍然低于声速，这时只能得到亚音速气流。此时的流量曲线由图中bc代表，其流速、流量公式:k +1ék +1 ùék -1 ù2k -1æ2 ö 2(1-k )æöêæö kæök2kpp2kp0pkúúêkúúúû= p MA 1 +ê1- ç p÷çk -1 p0 r0 ê p÷- çp÷ç÷V =m& = AMk -1 r0è2øRT0è0 øêè0 øè0 øê