微积分无穷级数ppt课件

1、第一节第一节 无穷级数的概念与性质无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质二、无穷级数的性质定义定义1 1 若有一个无穷数列若有一个无穷数列 u1u1，u2u2，u3u3，unun，此无穷数列构成下列表达式此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + u1 + u2 + u3 + + un + + un + (1)(1)称以上表达式为称以上表达式为( (常数项常数项) )无穷级数，简称无穷级数，简称( (常数项常数项) )级数，记为级数，记为nnnuuuuu3211其中第n项un叫作级数的一般项或通项. 一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念)1(1

2、431321211 nnun一般项的级数例如级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：nkknnuuuuuS1321) 1(1431321211 nn Snn项和它的前111) 1(1 nnnn111 )111()4131()3121()211 (nnnSn 我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级数(1)的前n项和，容易写出：, 212121211nnnnssssuuusuusus这样，就得到数列定义定义2 2 如果级数如果级数 部分和数列部分和数列 有极限有极限s s，即，即1nnu则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有1nnu假设 无极限，则称无穷级数 发散.1

3、nnu注意:ssnnlim,21nuuus,21nnnnuussr称为级数的余项， 为 代替s所产生的误差 .nsnrnsns.) 1(1431321211) 1(1 11的敛散性判定级数例nnnnn111) 1(1nnnnun解：111)111()3121()211 ( ) 1(1) 1(1321211nnnnnnnsn. 1 1)111 (limlim 此级数收敛，和为而nsnnn 二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质性质性质1 1 若级数若级数 收敛于和收敛于和s s，则它的各，则它的各项同乘以一个常数项同乘以一个常数k k所得的级数所得的级数 也收敛，且其和为也收敛，且其和为k

4、s.ks.1nnu1nnku性质性质2 2 如果级数如果级数 、 分别分别收敛于收敛于s其和为也收敛，则级数)( )()()(22111nnnnnvuvuvuvunnnnnnvvvvsuuuu211211 1nnu1nnvs 和和即性质性质3 3 在级数前面加上或去掉有限项，不影在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性响级数的敛散性. .性质性质4 4 如果级数如果级数 收敛，则对这级数的收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变变. . 1nnu注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后

5、级数收敛，原级数未必收敛号后级数收敛，原级数未必收敛. .推论：如果加括号以后所成的级数发散，则推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散原级数也发散. .nnnuuuu211性质性质5 (5 (收敛的必要条件收敛的必要条件) )假如假如收敛，则它的一般项 趋于零，即0limnnu级数nu结论：由此我们可得结论：由此我们可得趋于零；收敛，则其通项若nnnuu1) 1 (发散；不趋于零，则通项1)2(nnnuu.,)3(1不一定收敛趋于零通项nnnuu.1收敛的必要条件趋于零是通项nnnuu13 123 .1234nnn例判定级数的敛散性1lim101 .1nnnnnn解 级数发散注意:

6、 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.第二节第二节 正项级数及其敛散性正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法(1) 21nuuu定义定义 设级数设级数的每一项都是非负数,un0即则称此级数是nssss321 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即正项级数.定理定理1 1 正项级数正项级数 收敛的充分必要条件是：收敛的充分必要条件是：它的部分和数列它的部分和数列snsn有界有界. .1n

7、nu. 211211211211 121收敛证明级数例nnn证明证明: :这是一个正项级数，其部分和为这是一个正项级数，其部分和为: :nns2112112112故sn有界，所以原级数收敛.n21212121211 n定理定理2(2(比较审敛法比较审敛法) )设设 和和 都是正项都是正项级数，且级数，且), 2 , 1( nvunn1nnv1nnu若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 也发散.1nnv1nnu1nnu1nnv 二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法则有：假设 发散，那么 也发散;且当 时，有 成立，则有：假设 收敛，那么 也收敛.推论设级数推

8、论设级数 和和 是两个正项级数，是两个正项级数，且存在自然数且存在自然数N N，使当，使当 时，有时，有（k0)k0)成立，成立，1nnu1nnvNn 1nnvnnkvu 1nnu1nnu1nnv)0( kkvunnNn 例例2 2 判定判定p-p-级数级数pppnpnn13121111的敛散性.常数 p0.(1)1,11 , ,ppnn解 设时由比较判别法知. 1; 111也发散级数是发散的调和级数npnnpn)15181( )71615141()3121(11 1(2)1ppppppppnpnp时，当.)8181( )41414141()2121(1 的对应项它的各项均不大于级数ppppp

9、ppp., 1211所以此级数收敛公比后一级数是几何级数，pq由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.1p11npn.11收敛npn13 1111 1.23nnnnnnn 例判定级数的敛散性11111 ,21 2,2nnnnn解 而 级 数收 敛 于. 211也收敛，且其和小于nnn.)1(1 41是发散的证明级数例nnn22 (1)(1)11 (1)(1)n nnn nn证明 11) 1(1nnn由比较判别法可知，所给级数也发散.113121111nnn而级数是发散的；定理定理( (达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法) ) 设设 为正项级为正项级数，假如数，假如(1)(1)当当 时，级

10、数收敛；时，级数收敛；1nnu(3)当 时，级数可能收敛，可能发散.luunnn1lim nnnuu1lim(2)当 ( )时，级数发散. 三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法1l 1l 1l .)0( 51的敛散性的敛散性判定级数判定级数例例 xnxnn 1nnnx级数nxnxuunnnnnn1limlim11解：xxnnn1lim.1;1 10时为调和级数，发散当时发散当时收敛，当xxx.23cos 612 nnnn的的敛敛散散性性判判定定级级数数例例)13cos( 223cos 22nnnnnn解：nnnnnnnnnnuun221limlim2111满足而级数.21敛

11、收敛，因此原级数也收级数nnn21121limnnn例例7 7 判别级数判别级数.10!10321102110132的收敛性nn解解: :101!10.10)!1( 11nnnuunnnn由比值判别法可知所给级数发散.101lim lim 1nuunnnn.2)12(1 81的的收收敛敛性性判判别别级级数数例例 nnn212)12(1 122nnnnnn此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定;1) 1(2) 12(2) 12(lim lim1nnnnuunnnn解：)2( 112ppnn级数，收敛级数.2)121 1收敛（所给级数由比较判别法知：nnn1l 第三节绝对收敛与条件收敛第三节绝对收

12、敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其审敛一、交错级数及其审敛法法定义定义 正负项相间的级数，称为交错级数正负项相间的级数，称为交错级数. . 可以用下面形式给出：0)( 1 0)( 1 21243211121243211nkknnnnkknnnuuuuuuuuuuuuuuuu）（）（定理定理1(1(莱布尼兹定理莱布尼兹定理) ) ) 1(11满足条件：nnnulim0nnu则级数收敛，且其和 ，并且其余项 的绝对值:1us .|1nnur(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即 );, 3 , 2 ,

13、 1( 1nuunnnr如果交错级数(1) )( )()(21243212nnnuuuuuus证明证明: :先证明前先证明前2n2n项的和项的和s2ns2n的极限存在，为此的极限存在，为此将将s2ns2n写成两种形式写成两种形式: :,1nnuu由定理的第一个条件：由(1)式可知s2n是单调增加的；由(2)式可知s2n0和R20，那么nnnnnnnnnnxbaxbxa)( 000收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.性质性质1 1 如果幂级数如果幂级数 的和函数的和函数s(x)s(x)在其在其收敛域收敛域I I上连续上连续. .0nnnxaIxxnaxxaxxaxxsnnnnxnnxnnnx

14、1 d d)()d(0100000性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式0nnnxa即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质性质3 3 幂级数幂级数 的和函数的和函数s(x)s(x)在其收在其收敛区间敛区间(R,+R)(R,+R)内可导，且有逐项求导公式内可导，且有逐项求导公式0nnnxa)( )( )()(0100Rx-R xnaxaxaxsnnnnnnnnn即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.1116 .2nnnnnxn例求幂级数的收敛区间及和函数，并求级数

15、的和11lim|lim1nnaalnnnn解：11lR收敛半径为11nxn当时，级数为1limlim nnnnunn 级数发散,) 1(111也发散时，级数为当nnnx),1 ,1( 级数的收敛区间为12 321)(nnxxxxs设和函数为：1111 )1 ( )d( :02320-x-xxxxxxxxxxttsxnnx积分，得到两边由20)1 (1)111(d)(dd )(xxttsxxsxx求导，即得两边对211)1(1)(xnxxsnn4)211(1)21( ,21211nnnx则有取2421)21(1nnn第五节第五节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数二、函数展

16、开成幂级数二、函数展开成幂级数 一、泰勒级数一、泰勒级数定义定义 如果如果f(x)f(x)在点在点x0 x0的某邻域内具有任意阶的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数导数，则称幂级数(1) )(!)( )(! 2)( )( )(00)(200000nnxxnxfxxxfxxxfxf为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:(2) )(!) 0 ( )(! 2) 0 ( )(0 ( ) 0 ()(2nnxnfxfxff称之为f(x)的麦克劳林级数.定理定理1 (1 (泰勒中值定理泰勒中值定理) )如果函数如果函数f(x)f(x)在含点在含点x0 x0的区间的区间(a,b)(a,b)内，

17、有一阶直到内，有一阶直到n n 阶的连续导阶的连续导数，则当数，则当x x取区间取区间(a,b)(a,b)内的任何值时，内的任何值时，f(x)f(x)可以按可以按(x(xx0)x0)的方幂展开为：的方幂展开为：(3) )()(!)( )(! 2)( )( )()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中： (4) )( )() 1()()(010) 1(之间与在！xxxxnfxRnnn公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.定理定理2 2 设函数设函数f(x)f(x)在点在点x0 x0的某一邻域的某一邻域U(x0)U(x0)内内具有各阶导

18、数，则具有各阶导数，则f(x)f(x)在该邻域内可展开成泰在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是勒级数的充分必要条件是f(x) f(x) 的泰勒公式余项的泰勒公式余项Rn(x)Rn(x)当当 时的极限为零，即：时的极限为零，即：(5) 0)(limxRnnn 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：成幂级数；不能展开的某阶导数不存在，则若函数的各阶导数求出 )()( ;),(),(),( :)(a)(xfxfxfxfxfxfn;),0(,),0(),0(),0( :0(b)(nffffx处的值求出函数及各阶导数在.)( (c)(0)( )( (d)的幂级数展开式就是函数步骤写出的幂级数，则内，余项如能证明在收敛区间xfnxRR-R,nnnxnfxfxff! ! 2)0( )0( )0( )(2; )3(c)R并求出收敛半径写出麦克劳林级数，利用公式的幂级数展开成将函数例xxfxe)( 1 1)0( ,e)()()(nxnfxf解