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文档简介
1、第三讲第三节拟凸函数与拟凹函数第1页，共23页。第2页，共23页。向量空间拟凹函数和凹函数关系第3页，共23页。向量空间拟凹函数和凹函数关系第4页，共23页。向量空间拟凸函数和凸函数关系第5页，共23页。上等值集与下等值集 设函数 f ：SRn R, S为凸集，集合 U (f , b) xS: f (x) b) 称为函数 f 的一个上等值集。 L (f , b) xS: f (x) b) 称为函数 f 的一个下等值集第6页，共23页。第7页，共23页。 向量空间拟凹函数举例第8页，共23页。 向量空间拟凹函数举例第9页，共23页。第10页，共23页。且第11页，共23页。拟凹函数与拟凸函数 设
2、函数 f ：SRn R, S为凸集，如果任意b R集合U (f , b) 总为凸集，称函数 f 为拟凹函数。 如果任意b R， L (f , b) 总为 凸集，称函数 f 为拟凸函数。 如果任意b R集合U (f , b) 总为严格凸集，称函数 f 为严格拟凹函数。 如果任意b R， L (f , b) 总为 凸集，称函数 f 为 严格拟凸函数。第12页，共23页。拟凹函数与拟凸函数代数定义 设函数 f ：SRn R, S为凸集， 如果任意u,v Rn (0,1), f (v) f (u),有 f ( u (1-) v) f(u), f为拟凹函数 f(v), f为拟凸函数第13页，共23页。拟
3、凹函数与拟凸函数几何图示MNN2M2拟凸函数拟凸函数拟凹函数拟凹函数第14页，共23页。拟凹函数与拟凸函数 当无差异曲线凸向原点, 效用函数是拟凹函数。为什么？ 当等产量曲线凸向原点，生产函数是拟凹函数。为什么？第15页，共23页。证明 函数 f 为凹函数，对任意u,v Rn (0,1), 有 f ( u (1-) v) f (u) (1-) f (v) 假设f (v) f (u),有 f ( u (1-) v) f(u), 所以f为拟凹函数第16页，共23页。如果函数f (x) 二次可导，nnnnnnnnfffffffffffffff21222212112111210B111110fffB22212121112120ffffffffB拟凸函数和拟凹函数判断法则第17页，共23页。 在非负象限，拟凹的必要条件是： 在非负象限，拟凹的充分条件是：拟凹和拟凸函数00, 0, 021nBBB，n为奇数，n为偶数00, 0, 021nBBB，n为奇数，n为偶数第18页，共23页。 在非负象限，拟凸的必要条件是： 在非负象限，拟凸的充分条件是：拟凹和拟凸函数0, 0, 021nBBB0, 0, 021nBBB第19页，共23页。 证明下面函数是拟凹函数：拟凹和拟凸函数练习) 1,0 ; 0,( ,),(bayxyxyxfba第20页，共23页。 证明下面函数是拟凹函数：答案) 1
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