《几何画板》课件制作——圆锥曲线的形成与画法

1、几何画板课件制作圆锥曲线的形成和画法作者：马现岭摘 要几何画板是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。在对几何画板进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和圆锥曲线的画法。这两类课件在教学上都有很重要的应用。最新的普通中学数学课程标准中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的

2、过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。第二类利用几何画板实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件。第二类课件系统介绍了圆锥曲线的画法,为在教学中提高学生学习兴趣,开展对圆锥曲线的研究,提供了良好的方法和方便的途径。全文由三部分组成：第一部分：几何画板 课件制作的选题原则。第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课

3、件及其制作过程。第三部分：学习及应用几何画板的体会。关键词：几何画板、标记向量、椭圆、圆锥曲线、圆锥截面、轨迹。AbstractThe Geometer' s Sketchpad is an excellent platform for teaching of geometry (plane geometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometry). It also applies to teaching of partial physics and astronomy. This platform not

4、 only can help teachers use the modern education technology in the course of teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation, solving question, and progressing their ideation. It represents the developing direction of the educative too

5、l software.After I learn the Geometers Sketchpad, I have made kinds of comprehensive mathematics course wares, mainly including: Demonstrate the development of cone curve. These kinds of course wares have very important application on teaching. In "The newest ordinary middle school mathematics

6、course standard ", it is emphasized that " teacher should demonstrate to student the plane section ellipse that cone gets, make student deepen the understanding for cone curve, under certain condition schools should play the role of modern educational technology fully, using computer to de

7、monstration incoming of cone curve from cone by the plane. It shows that the teaching of cone curve has great difficulty in former teaching course, just because that educating technology fall behind before, and it can not be active and visual to explain. Now, here are these course wares, we can reac

8、h active and visual teaching effect. The second kind of side spread out problem is concerned with in former lesson, but the method to produce is fussy. The biggest advantage of my lesson lies in the method that I have used a unification to carry out, so that the time to produce is shortened greatly,

9、 and has reached very good demonstration effect.The paper text is composed of three parts: In the first part: I write some fundamental about what kinds of problem we can make the coursewares in the Geometers Sketchpad.In the second part: The mathematics coursewares and its produce course that I sele

10、ct to make are introduced in detail.In the last part: I relate the experience study by using the Geometers Sketchpad.Keywords: The Geometers Sketchpad、 mark vector、 ellipse、 cone curve、cone section、trace.引 言The Geometers Sketchpad 是美国优秀的教育软件。由美国Nicholas Jackiw 和Scott Steketee程序实现，Steven Rasmussen领导的

11、Key Curriculum出版社出版。它的中文名是几何画板21世纪的动态几何，以下简称几何画板。它小巧玲珑，操作简单，是数学学习的有力助手。它可以说是我们的数学实验室，因为它能够有效地使数形结合，使我们在数学学习中既理解了数学结论，又得到了数学经验。众所周知数学是训练逻辑思维的，尤其几何。通过教师的辅导，我们在自己的记忆中形成套逻辑思维体系。那么怎样才能使我们更好地理解几何知识、掌握逻辑思维方法呢？一个方法是多看、多想，增加我们的学习经验，另一个方法就是寻找良好的辅助工具，帮助我们在动态的几何之中，去观察，探索。几何画板就是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、

12、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。在对几何画板进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件，主要包括：用动态效果展示圆锥曲线的形成和圆锥曲线的画法。这两类课件在教学上都有很重要的应用。这里我所选择的几何画板版本为4.04版，目前最高的版本为5.0英文版，此外还有3.03版、4.03版和4.06版.下面我就课件的选题、制作及使用几何画板的感受几方面来展开我的论文。第一部分 几何画板的选题原则在

13、数学教学过程中，不论是代数教学还是几何教学，遇到的最大困难就是：教师在教学过程重使用常规工具（如黑板，粉笔，圆规和直尺等）作图或是演示都有一定的局限性，而且无法达到动态地、任意地展示的目的，更多的时候无法揭示事物变化过程中的规律。几何画板21世纪的动态几何。顾名思义，几何画板就是一个可以很好的解决以上难题的辅助教学工具。几何画板在中学数学教学中有很多应用，不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。例如，在代数学教学中，它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。在几何学教学中，平面、立体和解析几何更让几何画板大显身手。当然，并不是所有教学都要利用几何画板来完成，也并不是所有

14、教学内容都适合利用几何画板达到最好的效果，这就要遵循几何画板的选题原则：第一：几何画板可以动态地演示图形的变化过程。例如：下面要展示的圆锥曲线和函数图象的变换的课件都体现了动态的特点；第二：几何画板可以有效地使数形结合。例如：大量极值问题都可以通过几何画板来动态模拟。第三：几何画板可以精确画出函数图形并表现其全部情况。例如：函数教学中大量的绘图工作可以轻而易举地通过几何画板来完成。而且对于一类函数，几何画板可以通过改变系数及参数而达到表现其全部情况的目的。例如：三角函数中正弦函数y=A sin(x+)+d 的图像可以通过调整A， ，d的值得到不同的精确图像。第四：几何画板最重要的是可以很好的表

15、现图形的任意性。例如：在让学生掌握三角形重心，内心，外心等概念时，在以往的教学过程中只能在黑板上画出几个三角形作代表，不能很好地说明三角形的任意性，而利用几何画板就可以任意拖动三角形的顶点以达到任意三角形的目的。 总之，在所做课件中我们能够充分体现出几何画板的以上优势，并能够恰当的应用到教学实践中，为教学服务。这就可以称作是一个成功的课件设计。利用几何画板就是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教学中比较难描述清楚的图形，用动态效果展现给学生，从而达到更好得教学效果。第二部分 课件设计与制作第一类课件：圆锥曲线的形成选题：圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线

16、，故它们统称为圆锥曲线。在中学数学教学中，很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程。在学习之初，学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识。现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程 ，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成，为高中数学圆锥曲线的学习作引入。这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，更便于学生理解圆锥曲线的实际意义。原理：圆锥面被一平面所截所得的曲线形有：圆、椭圆、抛物线、双曲线。制作过程：圆锥曲线的构造1 构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图1作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为OA，短半轴为OB；（1） 过O作OA的垂线，在垂线的上方任取一点H，作线段HO并隐藏

17、垂线。用线段连接AH，分别在线段 HO和AH上任取点C和点D，连接CD；（2） 作截面：以点C为圆心，以小线段r为半径作圆。在上半圆上任取一点E，隐藏小圆。依次选定点E和点C并标记为向量，把点C 按标记向量平移得到点E，再依次选定点C和点D并标记为向量，把点E和E按标记向量平移得到点F和F。同时选定点E、F、F和E，用线段相连得截面EFFE，并涂上浅黄色，如图 1所示： <图 1> <图 2> 注意：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化：1） 拖动点A或点B，可以改变椭圆的大小；2） 拖动点C或点D，可以使截面EFFE上下移动或上下倾斜；3） 拖动点E，可以使截面左右倾斜

18、或翻转。 2 构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程（1） 做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴OA=2|OA|，短半轴OB=2|OB|，椭圆中心为；（2） 作圆截面：依次选定点O和点H并标记为向量，把点O按标记向量平移两次得点H,使OH=2 |OH|。在椭圆上任取一点，用线段连接O依次选定点和点 并标记为向量，把点按标记向量平移得点，用线段连接和；作P轨迹，同时选定点P和点P，执行作图/轨迹选项，求得一个与圆椭圆关于H对称的椭圆；作PP轨迹，再同时选定线段PP和点P，执行作图/轨迹选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。（3） 作截面：依次选定点O和C并标记为向量，把点O按标记向量平移两

19、次得点C，使OC=2|OC|。过点C作平行于CD的直线a交HA于点D。在直线a上任取一点M，选定点M和C并标记为向量，把点C按标记向量平移得点M。过点M作EE平行线d，在d上任取一点N，选定点N和M并标记为向量，使点M按标记向量平移得点N。依次选定点M和M并标记为向量，使点N，N按标记向量平移得点Q和Q。隐藏直线d，用线段连接N、N、Q、Q得截面 NNQQ，并涂上浅黄色。（4） 作圆锥曲线：先求作截面NNQQ与棱HP的交点G。过点D作OA平行线交OH于O点。分别过点O和D作线段OP和FF的平行线b和c，并交于点R。作直线RC，求得RC与PP的交点G，即为截面与棱PP的交点。隐藏除直线a外的所有

20、直线。（5） 求点G的轨迹，同时选定点G和点P，执行作图/轨迹选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。根据截面不同位置，点G的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线”。用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过G点作AO的垂线与PO交于点G，求点G的轨迹即是。（6）在控制图上选取四个特殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线”、“抛物线”、“椭圆”、“圆” 如图2所示： 第二类课件 圆锥曲线的画法选题：圆锥曲线的画法虽然很多种，但归纳起来有以下五种：1.利用圆锥曲线的第二定义；2.利用圆锥曲

21、线的第一定义；3.利用圆锥曲线的参数方程；4.利用圆锥曲线的极坐标方程；5.利用圆锥曲线的标准方程。此部分将将详细介绍以上方法，并将以动态的形式展示出来。一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。制作过程：1） 如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C为垂足。<图 3>2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。3）新建参数t，并标记比值

22、，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在BCF和ADC中，因为CFB=ACD=BAC，CBF=DAC（同弧上的圆周角相等），所以BCF和ADC为相似三角形。则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。

23、 （2）单击"运动参数t"按钮，比值m随之改变，这时可以动态地看到，当m小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m大于1时，轨迹变成双曲线。二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作： <图 4> <图 5> 2.抛物线的制作： <图 6>三、利用参数方程构造椭圆和双曲线1. 作椭圆原理：利用椭圆参数方程制作过程：1） 如图（7）所示：开一个新画板，画线段AB，以A为圆心

24、，AB为半径构造大圆C1。<图 7>2） 构造过点A与AB垂直的直线k，在直线k上取一点C，以A为圆心，以AC为半径构造小圆C2。3） 在大圆C1上任取一点D，构造过点D和点A的直线l，直线l与小圆C2交于E。4） 构造过E与AB平行的直线m。5) 构造过D与AB垂直的直线n，并构造m与n的交点F。6）建立轨迹：同时选中点D和点F，单击<构造/轨迹>选项，画板显示椭圆，拖动点A或点C，可以改变椭圆的形状。7）除了保留点A，B，C和椭圆轨迹外，隐藏其它对象。2. 作双曲线原理：利用双曲线参数方程制作过程：1） 打开一个新画板，单击<图表/定义坐标系>，建立直角

25、坐标系，标记原点为A，单位点为B。2） 在x轴上取一点C，按顺序选取A，C，单击<作图/以圆心和圆周上的点绘圆>记为C1，同样，在y轴上取一点D，构造以A为圆心通过点D的圆C2。3） 在C1上取一点E（自由点），构造过A，E的直线j。4） 构造过E和AE垂直的直线k,并构造k与横轴的交点F。同样构造过F与x轴垂直的直线l.5） 构造C2与x轴正向的交点G，并构造过G与x轴垂直的直线m,交直线j于H，过H与x轴平行的直线o,交直线l于I点。6） 构造轨迹：同时选中点E和点I，单击<作图/轨迹>。隐藏不必要的对象。说明：（1）选中I点，单击<显示/追踪交点 >，

26、再选中E点，单击<编辑/操作类按钮/动画>，并把标签改为“双曲线”。隐藏除I点和坐标轴的其它对象。单击“双曲线”按钮可动态演示双曲线的形成。如图（8）所示：<图 8>四、利用在极坐标系下，圆锥曲线的统一方程原理：在极坐标系中，椭圆、抛物线、和双曲线的统一方程为：当0<e<1时，方程代表椭圆；当e=1时，方程代表抛物线；当e>1时，方程代表双曲线。制作过程：1） 打开一个新画板，单击<编辑/参数选项>，在打开的“参数选项”对话框中单击“单位”，把角度选为弧度并单击“确定”。2） 单击<图表/定义坐标系>，再单击<图表/隐藏网

27、格，标记原点为O单位点为B。如图（9）所示：<图 9>3） 画射线CD，在CD上画一点E，在极轴的反向延长线上画一点F。4） 度量线段CE、CD、FO的长，过F作极轴的垂线k设p。5） 计算CE/CD，设CE/CD=e。隐藏CD、CE的度量值。6） 画单位圆，在单位圆上画一点G。先选择点B、G、单位圆，单击<构造/圆上的弧>，顺序选取点B、O、G，单击<度量/角度>，得BOG的大小，设BOG=。用线段连结O、G，选中弧BG并单击<构造/弧内部/扇形内部>，扇形即被着色。7） 计算。8） 先后选择计算值，角度值（注意顺序），并单击<图表/绘制

28、点>，得到的点记为H。同时选择G、H，单击<构造/轨迹>，得到方程的曲线。9） 选中点E，单击<编辑/操作类按钮/动画>，弹出如图（10）所示：对话框。修改标签为“运动点E得不同的圆锥曲线”。 <图 10> <图 11> 说明：1.拖动F可以改变参数p的大小。 2.单击“运动点E得不同的圆锥曲线”，E点在射线CD上运动，当E点在CD之间运动时得椭圆，在D点时得抛物线，在D右侧得双曲线。五、利用椭圆、抛物线和双曲线的标准方程作曲线 这里只介绍椭圆的作法，抛物线和双曲线同样可以作出。椭圆的制作原理：由椭圆的标准方程制作过程：1） 打开一个新画板

29、单击<图表/定义坐标系>，建立直角坐标系。标记原点为A。如图（12）所示： <图 12> <图 13> 2） 在x轴上取一点C，在y轴上取一点D，然后度量A、C两点的距离。选中A、C。单3） 击<度量/距离>，同样度量A，D两点的距离。分别改标签为a、b。4） 在x轴上取一点E，并度量其横坐标XE。5） 单击<度量/计算>，输入如图（11）所示：计算出的值，选择xE,计算值（注意顺序）单击<图表/绘制（x,y）>，得点F。6） 作轨迹：选中E、F，单击<作图/轨迹>，作出上半个椭圆。7） 双击 x轴，这样把x轴

30、标记为镜面，选中点F，单击<变换/反射>，得到的点为F。然后选中E、F，单击<作图/轨迹>，作出下半个椭圆。8） 选中上半个椭圆，单击<编辑/属性>，得如图（13）所示对话框，并把采样数量改为5000，然后单击“确定”。同样修改下半圆的属性。这样可以使椭圆的图像比较平滑。第三部分 学习几何画板的体会计算机在数学教学中有着它的独特作用，在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段。在帮助学生系统地复习、运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式，特别它的表述的方式很灵活，可以以文字、图形、动画、电影、图表等多种方式出现。再加入良好的教学软件辅助更显示出计算机辅助教学的强大优势。所以，当代教师应该掌握计算机辅助教学，并达到对一两种软件的熟练使用。几何画板作为优秀的教学软件之一，是一个通用于数学，物理，天文的教学平台。其丰富的功能使用户可以随心所欲的编写所需的教学课件。该软件提供了充分的技术手段帮助用户实现其教学思想。用户只要熟悉它的简单使用技巧就可以自行设计和编写应用范例，无需学习任何编程语言。所做的课件所体现的并不是设计者的计算机软件应用水平，而是他具有的数学教学思想和实际教学水平。几何画板不仅能够帮助教师扩展在传统教学中的能力，而且还为新的教学方法提供了可能。在新的教学方法中，强调学生的主体参与，学生课堂的主体，通过学生的参与来帮助