高考专题复习第二节　等差数列及其前n项和

1、第二节等差数列及其前n项和学习要求-公众号：新课标试卷:1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的定义如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*). 提醒用等差数列的定义判断数列是不是等差数列时,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.2.等

2、差数列的通项公式等差数列an的通项公式是 an=a1+(n-1)d . 3.等差中项如果 A=a+b2 ,那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,mN*). (2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 ak+al=am+an . (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为 2d . (4)若an,bn(项数相同)是等差数列,则pan+qbn(p,q是常数)仍是等差数列.(5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*

3、)组成公差为 md 的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式等差数列an的前n项和Sn= n(a1+an)2 或Sn=na1+n(n-1)d2. 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=d2n2+a1-d2n.数列an是等差数列Sn=An2+Bn(A、B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中,若a1>0,d<0,则Sn存在最 大 值;若a1<0,d>0,则Sn存在最 小 值. 知识拓展与等差数列有关的结论(1)ap=q,aq=p(pq)ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.(2)Sk,S2k-Sk,S3k

4、-S2k,构成的数列是等差数列.(3)Snn=d2n+a1d2是关于n的一次函数或常数函数,数列Snn也是等差数列.(4)若非零等差数列an的项数为偶数2m,公差为d,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,S偶S奇=am+1am.(5)若非零等差数列an的项数为奇数2m-1,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,S奇S偶=mm-1.(6)若Sm=n,Sn=m(mn),则Sm+n=-(m+n).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若

5、一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(4)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.()(5)若数列an,bn(项数相同)都是等差数列,则数列an+bn也一定是等差数列.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版选择性必修第二册P24复习巩固T1改编)已知等差数列an中,a2=3,前5项和S5=10,则数列an的公差为()A.-1B.-52C.-2D.-4答案A

6、3.(新教材人教A版选择性必修第二册P24练习T3改编)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3+a8>0,S9<0,则S1,S2,S9中最小的是. 答案S54.(新教材人教A版选择性必修第二册P24复习巩固T2改编)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a5=. 答案905.已知等差数列an的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为. 答案110等差数列基本量的计算典例1(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若S11=22,a4=-12,am=30,则m=() A.9B.10C.11D.15(2)(2020课标文,

7、14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=. 答案(1)B(2)25解析(1)设等差数列an的公差为d,依题意得S11=11a1+11×(11-1)2d=22,a4=a1+3d=-12,解得a1=-33,d=7,am=a1+(m-1)d=7m-40=30,m=10.(2)设等差数列an的公差为d,则a2=-2+d,a6=-2+5d,因为a2+a6=2,所以-2+d+(-2+5d)=2,解得d=1,所以S10=10×(-2)+10×92×1=-20+45=25.名师点评解答等差数列运算问题的通法(1)等差

8、数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及a1,an,d,n,Sn五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了解方程的思想.1.(多选题)记Sn为等差数列an的前n项和.若a3+a6=24,S6=48,则下列正确的是()A.a1=-2B.a1=2C.d=4D.d=-4答案AC因为a3+a6=2a1+7d=24,S6=6a1+15d=48,所以a1=-2,d=4,故选AC.2.(2020长春第二实验中学期中)已知等差数列an的前n项和为Sn,a3+a8=13且S7=35,则a7=()A.11B.10C

9、.9D.8答案D设an的公差为d,因为S7=7(a1+a7)2=35,所以a1+a7=10,所以2a1+6d=10.又a3+a8=2a1+9d=13,则a1=2,d=1,故a7=8.等差数列的判定与证明典例2已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列ann是等差数列,并求an的通项公式.解析(1)由题意可得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)由已知得nan+1-(n+1)ann(n+1)=2,即an+1n+1ann=2,所以数列ann是

10、首项为a11=1,公差d=2的等差数列,则ann=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.名师点评等差数列的四种判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根据定义得出数列an为等差数列.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系得出an,再使用定义法证明

11、数列an为等差数列.已知数列an满足a1=-23,an+1=-2an-33an+4(nN*).(1)证明:数列1an+1是等差数列;(2)求an的通项公式.解析(1)证明:由an+1+1=-2an-33an+4+1=an+13an+4,可得1an+1+1=3an+4an+1=3+1an+1,所以1an+1+11an+1=3,所以1an+1是首项为1a1+1=3,公差为3的等差数列.(2)由(1)得1an+1=3n,所以an=13n-1.等差数列的性质及应用角度一等差数列项的性质典例3(1)在等差数列an中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为()A.6B.12C.24D.48(2

12、)(2020云南昆明高三月考)若等差数列an的前15项和S15=30,则2a5-a6-a10+a14=()A.2B.3C.4D.5答案(1)D(2)A解析(1)a1+3a8+a15=5a8=120,a8=24,a2+a14=2a8=48.(2)S15=30,152(a1+a15)=30,a1+a15=4,2a8=4,a8=2.2a5-a6-a10+a14=a4+a6-a6-a10+a14=a4-a10+a14=a10+a8-a10=a8=2.角度二等差数列前n项和的性质典例4记Sn为等差数列an的前n项和,若S4S8=13,则S8S16=()A.15B.310C.13D.38答案B根据等差数列

13、的性质,若数列an为等差数列,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12也成等差数列,若S4S8=13,即S8=3S4,则数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4为首项的等差数列.根据等差中项公式可得S4+S12-S8=2(S8-S4),由解得S12=6S4,2(S12-S8)=S16-S12+S8-S4,由解得S16=10S4,S8S16=310.角度三等差数列前n项和的最值典例5(多选题)(2020潍坊模拟)等差数列an的前n项和为Sn,若a1>0,公差d0,则下列命题正确的是()A.若S5=S9,则必有S14=0B.若S5=S9,则必有S7是Sn中最大的项C

14、.若S6>S7,则必有S7>S8D.若S6>S7,则必有S5>S6答案ABC若S5=S9,则5a1+10d=9a1+36d,2a1+13d=0,a1+a14=0,S14=7(a1+a14)=0,A中命题正确;2a1+13d=0,a1=-13d2,Sn=na1+n(n-1)d2=13nd2+n(n-1)d2=d(n-7)2-492,由二次函数的性质知S7是Sn中最大的项,B中命题正确;若S6>S7,则a7=a1+6d<0,a1<-6d,a1>0,d<0,a6=a1+5d<-6d+5d=-d,故a6的符号无法确定,故无法比较S5与S6的大

15、小,D中命题错误;a8=a7+d<a7<0,S7>S8=S7+a8,C中命题正确,故选ABC.名师点评1.等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列an中,am-an=(m-n)dam-anm-n=d(mn),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质:在等差数列an中,已知Sn为其前n项和,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an.2.求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助函数图象求二次函数的最值的方法求解.(2

16、)邻项变号法:当a1>0,d<0时,满足am0,am+10的项数m使得Sn取得最大值Sm;当a1<0,d>0时,满足am0,am+10的项数m使得Sn取得最小值Sm.1.(2020黑龙江双鸭山一中月考)在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为()A.20B.22C.24D.28答案C由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24,因为a8+a12=2a10,所以2a10-a12=a8=24.故选C.2.(2020重庆凤鸣山中学高三模拟)已知等差数列an的前n项和为

17、Sn,若S6=-5S30,则S9S3=()A.18B.13C.-13D.-18答案D由S6=-5S3,可设S3=a,则S6=-5a,an为等差数列,S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即a,-6a,S9-S6为等差数列,S9-S6=-13a,即S9=-18a,S9S3=-18.3.(多选题)(2020山东烟台三中高三期中)已知an为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则以下结论正确的是()A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S19=0答案ACD因为2a1+3a3=S6,所以2a1+3a1+6d=6a1+15d,所以a1+9d=0,即a10=0,故A正确;当d&l

18、t;0时,Sn=na1+n(n-1)2d=9dn+n(n-1)2d=d2(n2-19n)无最小值,故B错误;因为S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S12=S7,故C正确;因为S19=(a1+a19)×192=19a10=0,故D正确.A组基础达标1.若等差数列an的公差为d,则数列a2n-1()A.是公差为d的等差数列B.是公差为2d的等差数列C.是公差为nd的等差数列D.非等差数列答案B2.(2020山东济宁第二中学月考)在等差数列an中,其前n项和为Sn,已知a4+a5+a6=15,则S9等于()A.25B.35C.45D.55答案C3.若数列a

19、n满足1an+11an=d(nN*,d为常数),则称数列an为调和数列,已知数列1xn为调和数列,且x1+x2+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.40答案B4.(2020安徽宣城高三期中)在等差数列an中,a3=20,a7=-4,则an的前11项和为()A.22B.44C.66D.88答案A5.(多选题)已知Sn是等差数列an(nN*)的前n项和,且S8>S9>S7,则下列结论正确的是()A.公差d<0B.在所有小于0的Sn中,S17最大C.a8>a9D.满足Sn>0的n的个数为15答案ABCS8>S9,且S9=S8+a9,S8

20、>S8+a9,即a9<0,又S8>S7,S8=S7+a8,S7+a8>S7,即a8>0,d=a9-a8<0,故A,C中的结论正确;S9>S7,S9=S7+a8+a9,S7+a8+a9>S7,即a8+a9>0,又a1+a15=2a8,S15=15(a1+a15)2=15a8>0,又a1+a16=a8+a9,S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)>0,又a1+a17=2a9,且a9<0,S17=17(a1+a17)2=17a9<0,故B中的结论正确,D中的结论错误.故选ABC.6.若等差数列an的前17项和S1

21、7=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于. 答案37.在等差数列an中,公差d=12,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+a99=. 答案10解析S100=1002(a1+a100)=45,a1+a100=910,a1+a99=a1+a100-d=91012=25,则a1+a3+a5+a99=502(a1+a99)=502×25=10.8.设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列an的通项公式;(2)证明数列bn2n为等差数列,并求bn的通项公式.解析(1)当n=1时,a1=S

22、1=21-1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.因为a1=1符合上式,所以an=2n-1.(2)因为bn+1-2bn=8an,所以bn+1-2bn=2n+2,即bn+12n+1bn2n=2.又b121=1,所以bn2n是首项为1,公差为2的等差数列.所以bn2n=1+2(n-1)=2n-1.所以bn=(2n-1)×2n.9.等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解析(1)设数列an的公差为d,由题意可得2a1

23、+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.所以an的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,12n+35<2,bn=1;当n=4,5时,2<2n+35<3,bn=2;当n=6,7,8时,32n+35<4,bn=3;当n=9,10时,4<2n+35<5,bn=4.所以数列bn的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.B组能力拔高10.(多选题)(2020山东滨州高三期中)等差数列an的前n项和为Sn,公差d>0,a6和a8是函数f(x)=154ln x

24、+12x2-8x的极值点,则下列说法正确的是()A.S8=-35B.a1=-7C.a1=-17D.a8=152答案CD由题意得f(x)=154x+x8=x2-8x+154x=x-12x-152x,令f(x)=0,解得x1=12,x2=152,因为公差d>0,所以a6=12,a8=152,所以a1+5d=12,a1+7d=152,解得a1=-17,d=72, 所以S8=8(a1+a8)2=-38.故选CD.11.项数为n的数列a1,a2,a3,an的前k项和为Sk(k=1,2,3,n),定义S1+S2+Snn为该数列的“凯森和”,如果项数为99项的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为

25、1 000,那么项数为100的数列100,a1,a2,a3,a99的“凯森和”为()A.991B.1 001C.1 090D.1 100答案C因为项数为99的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为1 000,所以S1+S2+S9999=1 000,所以100,a1,a2,a3,a99的“凯森和”为100+100+S1+100+S2+100+S99100=100+S1+S2+S99100=100+990=1 090,故选C.12.(2020河北唐山一中模拟)若等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,且对于任意的nN*,都有SnTn=2n+34n+3,则a9b5+b7+a3b8+b4=.

26、 答案2547解析由等差数列的性质可得a9b5+b7+a3b8+b4=a9+a3b5+b7=a1+a11b1+b11=S11T11.因为对于任意的nN*都有SnTn=2n+34n+3,所以a9b5+b7+a3b8+b4=S11T11=2×11+34×11+3=2547.13.设数列an的通项公式为an=2n-10(nN*),则|a1|+|a2|+|a15|=. 答案130解析由an=2n-10(nN*)知an是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-100得n5,当n<5时,an<0,当n5时,an0,|a1|+|a2|+|a15|

27、=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a15)=20+110=130.14.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)判断是否存在,使得an为等差数列,并说明理由.解析(1)证明:由anan+1=Sn-1,知an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=an+1.因为an+10,所以an+2-an=.(2)存在.理由:由a1=1,a1a2=a1-1,可得a2=-1,由(1)知,a3=+1.由2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得,a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,所以a2n-1=1+(n-1)×4=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)×4=4n-1