直线的参数方程

1、请同学们回忆:两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式:0AxByCk 2121yyxxtan 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 一、课题引入一、课题引入 根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？ 根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？一个定点和倾斜角可惟一确定一条一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线直线000问题：已知一条直线过点M (x ,y )，倾斜角 ， 求这条直线的方程.解:00tan()yyxx直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：,

2、 t令该比例式的比值为 即00sincosyyxxt0cos(sinttyyt0 x=x整理，得到是参数）要注意要注意:, 都是常都是常数数,t才是参才是参数数0 x0y000问题：已知一条直线过点M (x ,y )，倾斜角 ， 求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos ,sin )0M M xOy解: 在直线上任任取一点M(x,y),则00, )(,)x yxy（00(,)xxyyel设 是直线 的单位方向向量，则(cos ,sin)e00/ ,M MetRM Mte 因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt所以00cos,sinxxtyyt00cos,s

3、inxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程为（ 为参数）0,M Mtelt 由你能得到直线 的参数方程中参数 的几何意义吗？|t|=|M0M|xyOM0Me解:0M Mte 0M Mte 1ee又是单位向量，0M Mt e t所以所以, ,直线参数方程中参数直线参数方程中参数t t的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点M到定点到定点M0 0的距离的距离. .这就是这就是t的几何的几何意义意义,要牢记要牢记el我们知道 是直线 的单位方向向量，那么它的方向应该是向上还是向下的？还是有时向上有时向下呢？分析: 是直线的倾斜角， 当00又sin表示e的纵坐标， e

4、的纵坐标都大于0那么e的终点就会都在第一，二象限， e的方向就总会向上。0M M 此时此时,若若t0,则则 的方向向上的方向向上;若若t0,则则 的点方向向下的点方向向下; 若若t=0,则则M与点与点 M0重合重合.0M M 0M M 我们是否可以根据t的值来确定向量的方向呢?0M M 21211ttMM ）（2221ttt ）（3.3.弦长公式：弦长公式：弦的中点：弦的中点：)(231211是参数ttytx)(311是参数ttytx若直线的参数方程为：若直线的参数方程为：(t为参数为参数)00 xxatyybt则直线经过点则直线经过点M0(x0 , y0),斜率为斜率为bka220| | |

5、MMtab 1 22 32233-3322xttyt (2)若直线的参数方程为为参数 ，则直线的斜率为 （ ） A、 B、 C、 D、 D(1)1111111,2222xatybtta btttt(3)若直线L的参数方程为为参数 ，L上的点P对应的参数是t，则点P与P之间的距离是（ ） A、 B、 C、 D、C(2)辨析:例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1),求点M的轨迹的参数方程.解:没有为参数ttytx12191为参数ttytx541531请思考请思考:此时的此时的t有有没有明确的几何意没有明确的几何意义义?。的一个参数方程是直

6、线）为参数）的倾斜角是（直线01. 3160.110.70.20.20cos20sin3. 2000000yxDCBAttytxB为为参参数数）（ttytx 22221sin2031(cos20ooxttyt 。直线为参数）的倾斜角是.20oA.70oB.110oC.160oDc4.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处,求点M的轨迹的参数方程.32(41xttyt为参数）到此直线的距离（）求点（程）写出该直线的参数方（）共线且与向量（直线过点1, 221.4, 2),3 , 1 (. 5PA为

7、参数ttytx54153221.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.例1ABM(-1,2)xyO(*)010122 xxxyyx得得：解解：由由112121 xxxx，由由韦韦达达定定理理得得：10524)(1212212 xxxxkAB251251(*)21 xx，解解得得：由由25325321 yy，)253,251()253,251( BA，坐坐标标记记直直线线与与抛抛物物线线的的交交点点2222)2532()2511()2532(

8、)2511( MBMA则则245353 1l（）如何写出直线的参数方程？122?A Btt（）如何求出交点 ， 所对应的参数 ，123AB MA MBtt（）、与 ， 有什么关系？22.2,11,164xyA BMABL例2 经过点M作直线L,交椭圆于两点。如果点恰好为线段的中点，求直线 的方程。2,12cos1sin,MLxttyt 解：设过点的直线 的参数方程为为参数 代入椭圆方程为22123sin14 cos2sin80,.ttAMtMBtM则在椭圆内所以122124 cos2sin3sin110,cos2sin0,tan22122402ttMttklxxy 因为为AB的中点所以直线 的

9、方程是：y-1=即ABlOxy思考：思考：例例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中中点点”改为改为“三等分点三等分点”，直线的方程怎样求？，直线的方程怎样求？思考：思考：例例2还有别的解方法吗？还有别的解方法吗？ABlOxy的参数方程为的直线解：设过点lM) 1 , 2(代入椭圆方程得为参数)(sin1cos2ttytx08)sin2(cos4) 1sin3(22tt12,MAtMBt由t的几何意义知因为点有两个实根，所以在椭圆内，这个方程必M1sin3)sin2(cos4221tt1sin38221t t）得（平方2) 1 (的三等分点，为线段因为点ABM的方程

10、为，因此直线lk32tan)2(321xy212tt) 1 (1sin3)sin2(cos42221ttt)2(21sin3822221tt t例3例41. 直线直线tytx223222(t 为参数为参数)上到点上到点 M(2, 3)距离为距离为2且且 在点在点 M 下方的点的坐标是下方的点的坐标是_ 2.直线直线tytx 3 2(t 为参数为参数)被双曲线被双曲线 x2 y2=1 截得的弦长为截得的弦长为( ) (A) 10 (B) 102 (C) 210 (D) 310 3.过点过点 P（5， 3） ，且倾斜角） ，且倾斜角 满足满足 cos = 53 的直线与的直线与 圆圆 x2+y2=

11、25 交于交于 P1, P2两点两点,则则| PP1| | PP2| =_ , 弦弦 P1P2中点中点 M 的坐标是的坐标是_ (3, 4)B9)2533,2544(1121.(3520,xttyt 一条直线的参数方程是为参数），另一条直线的方程是x-y-2 3则两直线的交点与点（1，-5）间的距离是4 3课堂练习课堂练习1132，交点为0cos1.(sinttyytaA012x=x直线为参数）上有参数分别为t 和t 对应的两点 和B,则A,B两点的距离为2t1A.t12.B tt12.C tt12.D tt2.B等于的倾斜角为参数、直线)(60sin330cos2200ttytx000030

12、6045135ABCD( )D3.355()435xttyt 为参数），切点为（和），切点为（的切线为过点；172717130, 085158055)2()2533,2544)(1 (yxxA。的切线方程及切点坐标求过点中点坐标；求两点，、交于的直线与圆且倾斜角的余弦是已知经过ABCCByxA)2() 1 (2553)3, 5(. 422的方程。求直线两点，若于为参数交椭圆作直线过点lPBPABAyxlP,7164,)(sincos2)3 , 3(. 51.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上两点间的距离.0cos(sinttyyt0 x=x是参数）探究探究:直线的直线的参数方程形参数方程形式是不是唯式是不是唯一的一的|t|=|M0M|00(xxattyybt为参数）221abt当时，才具有此几何意义其它情况不能用。t参数 的几何意义的几个应用；.tt1.用参数 表示点的坐标、 2.直线上两点间的距离、 3.直线被曲线所截得的弦的长， 4.中点对应的参数的点的坐标是距离等于上与点为参数、直线补充练习：2)3 , 2()(23221PttytxA(-4,5) B(-3,4) C(-3,4)或或(-1,2) D(-4,5)(0,1)( )C_)6 , 3()(4212到直线的距离是则点为参数、