普通物理课件刚体

1、第三章刚体和流体§3-1刚体及其运动规律刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变平动和转动3-1-1平动：刚体的运动刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。注： 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。在力的作用下不发生形变的物体转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。定轴转动：转轴固定不动的转动。3-1-2刚体对定轴的角动量质元：组成物体的微颗粒元质点对点的角动量为L = R ´(m vv )iiiiLi= mi Ri viLi 沿转轴Oz的投影为= Li cos(p - g )sin g= m R vLiziii

2、2zwvimiriRiLiyOx= m r vm r w2=Liiiiiiz刚体对Oz轴的角动量为L = å L=åiåiw = (w22m rm r )ziziiiiikg× m2令J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。Lz = J z wJ= å m r 2zi ii结论：刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。对于质量连续分布的刚体：òòr 2 rdVJ =r dm =2VVòòJ =r dm =r s22dS（面质量分布）SSòòldlJ =r dm =

3、r22（线质量分布）LL例1. 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。J = ò r 2dm解：zdm = r dx = m dxdml= x2Oxxdxr 213ml1 mllJ = ò x2 ×J =2mldx =x33l00例2. 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的周的转动惯量。dm = s 2p rdr解：J = ò r 2dm= 2ps ò r3drdrorRRJ = 2ps ò r3dr0= ps R4= 122mR2平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行

4、轴z的转动惯量Jz是J z = Jc + md2J= 1 mR2JzJcc2RJ= 1 mR2 + mR2= 3 mR2mz22（3）回转半径设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为：Jr=GmJ = mr 2G例3.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）解： 摆杆转动惯量：oJ = 1 m(2r )2= 4 mr 2313r摆锤转动惯量：+ md 2 = 1 mr 2 + m(3r )2 = 19 mr 2J= J2c22+ J= 4 mr 2 + 19 mr 2 = 65 mr 2J = J123263-1

5、-3刚体对定轴的角动量定理和转动定律由质点系对轴的角动量定理，可得= d L = d(Jw )M z两边乘以dt，并d td ttòMd t = L- L2z21t1刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。当 J 转动惯量是一个恒量时，有或转动定律：刚体在作定轴转动时，刚体的角度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度M = JaM = J dwd t例4. 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的

6、距离。（2）绳子的张力。MTR = 1 MR2 × b解：2mg - T = maTa = bRa =mg= 8´10 = 5 m × s-2m + M 28 + 8mgh = 1 at 2 = 1 ´ 5´12 = 2.5 mT = 1 ´16 ´ 5 = 40 N222m例5.一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（1）水平位置的角速度和角度。（2）垂直位置时的角速度和角度。Jo = Jc + md2解：æ l ö2119J0 = 12 m

7、l+ mç=22÷mlè 6 øwo = 0（1）a = M= mgl6 = 3gml 2J92l0AcoB（2）M = J dwdw = 1 ml 2w dwmg l cosq = 1 ml 2dq69dt9dtw dw = 3g cosq dq2lp3g cosq dqwòòw dw =22l001 w 2= 3g sinq= 3gp 2022l3g2lw =a = 0l例6. 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为wo，绕中o心旋转，问经 过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为m）解：mpR2×

8、; 2p r × dr = 2mrdrdm =drroRR2= rmgdm = 2mmgr2drdM = rdfR22mmgr 2dr2ròò=mmgR3M =dM =R20- M = J dwdtdw- 2 m mgR = 1 mR232dtdt = 3R dw 3R dwt0òòdt = -4m g4m gw00t = 3Rw04m g3-1-4刚体对定轴的角动量守恒定律t2òM z d t = L2- L1刚体对定轴的角动量定理t1M z= 0当时刚体对定轴的角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转

9、轴的角动量保持不变。注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。说明：1. 物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。2. 几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒å J i i i= 恒量3-1-5力矩的功dW = Fv × dsv = F sin j rdq= Fr sin j力矩： MdW = Mdq力矩对刚体所作的功：qW = òoMdq力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。= M dq功率： P = dW= Mwdtdt3-1-6刚体的定轴转动动能和动能定理

10、第i个质元的动能：DE= 1 Dm v12Dm r w22=2kiiiii2整个刚体的转动动能：122E= å DEåDm r w2=2kkiii12åDm r )w2=(iiE= 1 Jw 2k2rviiDmi设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移dqdW = Mdq元功：dwM = J由转动定律d tdq = JwdwdwdW = J有dt刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。w11W = ò 2 Jwdw =Jw 2 Jw 2w22211例7.一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。

11、问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？解：动能定理TRDj = 1 Jw 212w KK(1)-12M2J02mgh - Th = 1 mv2-2v LL(2)m02h = RDjv = Rwm, w0 = 0v0 = 0J = M Rmgh2,2mgv = 2解M + 2mT例8.质量为M，长为2l的均质细棒，在竖直平面内可饶中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。解：设碰撞时间为DtFDt = mv - (-mu)uo- FlDt = -Jw - 0- mul = -Jw + mvl消去Dt1121J

12、w 2mu 2 =mv2 +机械能守恒22v = u(M - 3m)6muw =M + 3m(M + 3m)l例9. 一长为l，质量为M的杆可饶支点o自由转动。一质量为m，速度为v的内。若棒偏转角为30°。问射入距支点为a的棒的初速度为多少。解： 角动量守恒：30°=æ 1 Ml2öw+2ç 3÷vmamaalèø机械能守恒：1 æ 1ö° )30+M1 g l ( cos-2 1mg-a()30w+=222 çMl÷macosè 3ø2g M(

13、-l3)(m+a 2 )(2 )v = 1 +l 3M22mama6例10、一半径为R，质量为M的实心橡胶轮以角速度w0绕轴转动，另一半径为r，质量为m的小橡胶轮静止。现使小轮与大轮接触。问：两个最后的角速度为多少？解法1：系统受的外力距为零,角动量守恒。RMmrw= J wJw+JR0rRRrwrrMRw0= wRRw2RMw=mr wr=0R MR+M(Rm)rr例10、一半径为R，质量为M的实心橡胶轮以角速度w0绕轴转动，另一半径为r，质量为m的小橡胶轮静止。现使小轮与大轮接触。问：两个最后的角速度为多少？-1 2w解法-2 ：Frt=0 -2mrrRM=1 2wrrMw012mrMwM

14、R wF-Rt-22RR0= wRRw0= MRw=wR+Mmr+M(m)r例11、均质细杆长2l，以垂直于杆的速度v在瞬时与支点A碰撞。求：（1）碰撞后杆的角速度。（2）碰 撞后机械能损失多少？1m(2l)2 + m( l )2 =7J=ml 2vA12212角动量守恒：mv lw = mvl= 6v= J wA22J7lA= 1 mv2= 1 J3w=2mv2EEk 2Ak12142= 1 mv2 -3mv2 = 2 mv2DE= E- Ekk1k 22147例12：质量为M，半径为R的转台，可绕中心轴转动。设质量为m的人站在台的边缘上。初始时人、台 都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过了多少角度？J ¢ = mR 2J = 1 MR2解： 人：w¢w台：2Jw - J ¢w¢ = 0角动量守恒：w = 2m w¢M人相对于转台的角速度： W = w + w¢ = M + 2m w¢Mdj = M +