弹性力学基础知识

1、弹性力学基础知识1 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设2 弹性力学基本概念弹性力学基本概念3 弹性力学基本方程弹性力学基本方程4 边界条件边界条件1 弹性力学的基本假设 工程问题的复杂性工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难数学推导的困难，将使得，将使得问题无法求解。问题无法求解。 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围可行的范围。 基本假设是

2、学科的研究基础。基本假设是学科的研究基础。 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。n连续性假设连续性假设n均匀性假设均匀性假设n各向同性假设各向同性假设n完全弹性假设完全弹性假设n小变形假设小变形假设n无初始应力的假设无初始应力的假设1 弹性力学的基本假设 1 弹性力学的基本假设 1. 1. 连续性假设连续性假设 假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。所充满，各个质点之间不存在任何空隙。 变形后仍然保持连续性。变形后仍然保持连续性。 根据这一假设，物

3、体所有物理量，例如位移、应变和应力根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。等均为物体空间的连续函数。 微观上这个假设不成立微观上这个假设不成立宏观假设。宏观假设。1 弹性力学的基本假设 2.2. 均匀性假设均匀性假设 假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。化而改变。 物体的弹性性质处处都是相同的。物体的弹性性质处处都是相同的。 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，工程材料，例如混凝土

4、颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。均匀材料。 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料1 弹性力学的基本假设 3. 3. 各向同性假设各向同性假设 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。 宏观假设，材料性能是显示各向同性。宏观假设，材料性能是显示各向同性。 当然，像木材，竹子以及纤维

5、增强材料等，属于各向异性当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。材料。 这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。1 弹性力学的基本假设 4. 4. 完全弹性假设完全弹性假设 对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。为完全弹性材料。 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。的应力与应变关系。 研

6、究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。1 弹性力学的基本假设 5. 5. 小变形假设小变形假设 假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。起的尺寸变化。忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。成为线性的偏

7、微分方程组。 1 弹性力学的基本假设 6 6. . 无初始应力假设无初始应力假设 假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。生的。1 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。2 弹性力学基本概念载荷、应

8、力、应变、位移是弹性力学的几个主要物理量载荷应力n物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：应力n其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。QA取截面的一部分，它的面积为A，为物体在该截面上A点的应力。平均集度为Q/A，其极限作用于其上的内力为Q，AQS lim应力n通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为S正应力切应力应力应力分量应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关。描述应力，通常用一点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分量来表称为应力分量。物体内各点的内力平衡，因此相

9、对平面上的应力分量大小相等，方向相反。xyzo应力应力分量符号规定：符号规定：图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。平行于单元体面的应力称为切应力，用yx 、yz表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿坐标轴的方向。如图示的yx、yzyyxyzxyzo应变n外力作用下弹性体将产生变形，因此微分体棱边的长度以及它们之间的夹角将发生变化。各棱边每单位长度的伸缩量称为正应变（normal strain），各棱边之间的直角改变则称为剪应变（shear strain）。剪应变以直角减小为正，

10、增大为负，应变无量纲。几何意义如图应力矩阵应变矩阵微分体的应力分量和应变分量位移n弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。n位移的矩阵表示为n弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移也是x、y、z的函数。弹性力学基本方程平衡方程几何方程物理方程平衡方程平衡方程是弹性体内部必须满足的条件，它6个应力分量不是独立的，它们通过3个平衡方程相互联系几何方程n几何方程描述几何量应变和位移之间的关系可写成矩阵形式为6个应变分量可用该点的3个位移分量

11、表示，因此6个应变分量也不是独立的物理方程n物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系，这种关系与材料的物理特性有关。物理方程共有6个，其形式为1，没有正应力，没有正应变2，没有正应变，没有正应力3，没有应变，没有位移4，没有位移，没有应变物理方程写成矩阵形式简记为其中，为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数和。15个方程位移产生应变应变产生应力应力和外力平衡几何方程物理方程平衡方程弹性力学基本方程n由上可见，三类基本方程共包含15个方程，含6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，共15个未知量，因而原则上可以解出15个物理量。实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分（称为基本未知量），

12、再通过基本方程求出其他未知量。根据基本未知量的选法不同，也就产生了3中不同的解题方法位移法，应力法和混合法。边界条件弹性力学弹性力学的基本未知量：的基本未知量： 位移分量，应力分量位移分量，应力分量和应变和应变分量。分量。基本方程：平衡微分方程，几何方程和物理方程。基本方程：平衡微分方程，几何方程和物理方程。 要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。件。 边界条件一般分为：静力（面力）边界条件、位移边界条件边界条件一般分为：静力（面力）边界条件、位移边界条件和混合边界条件。和混合边界条件。 弹性力学的任务：就是在给定的边界条件下，就十五个未知弹性力学的任务：就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。量求解十五个基本方程。静力（面力）边界条件静力边界条件：结构在边界上所受的面力与应力分量之间的关系 。由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用， 设单位面