221椭圆及其标准方程

1、用一个垂直于圆锥用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥的轴的平面截圆锥,得到的截面是一个得到的截面是一个圆圆.如果改变平面与如果改变平面与圆锥轴线的夹角圆锥轴线的夹角,会会得到椭圆、抛物线、得到椭圆、抛物线、双曲线的图形双曲线的图形. 把椭圆、双曲线、把椭圆、双曲线、抛物线统称为抛物线统称为圆锥圆锥曲线曲线.2.2.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程哈尔滨市第哈尔滨市第7373中学中学 任学宇任学宇平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和等于常数的距离的和等于常数（大于大于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫椭圆）的点的轨迹叫椭圆定点定点F F1 1、F F2 2叫做椭

2、圆的焦点叫做椭圆的焦点F1F2P椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a 2a ；两焦点之间的距离：焦距，记为两焦点之间的距离：焦距，记为2c,2c,即即:F:F1 1F F2 22c.2c.说明说明注意注意a c 0椭圆标准方程的推导：椭圆标准方程的推导：建立直角坐标系建立直角坐标系 列等式列等式求椭圆的方程可分为哪几步？求椭圆的方程可分为哪几步？设点坐标设点坐标列方程列方程化简方程化简方程如何建立适当的直角坐标系？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的

3、线段所在的直线一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线 作为坐标轴。作为坐标轴。) )yxoF1F2P建立直角坐标系建立直角坐标系aPFPF221 yxoF1F2P以直线以直线F1F2为为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，轴，建立如图坐标系。建立如图坐标系。化简方程化简方程建立直角坐标系建立直角坐标系设点坐标设点坐标代入坐标代入坐标列等式列等式F1F2 2caycxycx2)()(2222 aPFPF221 yxoF1F2P设设P(x,yP(x,y) )为椭圆上的任意一点，为椭圆上的任意一点，FF1 1F F2 22c(c0),2c(c0),则：则：F F1 1

4、(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)以直线以直线F1F2为为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，轴，建立如图坐标系。建立如图坐标系。化简方程化简方程建立直角坐标系建立直角坐标系设点坐标设点坐标代入坐标代入坐标列等式列等式2222)(2)(ycxaycx )ca(ayax)ca(22222222 22242222xccxa2a)yccx2x(a cx4a4y) cx(a4222 ,bca222 0b 0 ca0ca22 222222bayaxb 1byax2222 化简方程化简方程建立直角坐标系建立直角坐标系设点坐标设点坐标代入坐标代入坐标列等式列等

5、式方程的推导PF2F1以直线以直线F F1 1F F2 2为为y y轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为x x轴，轴，建立坐标系建立坐标系。方程的推导PF2F1。aPFPF221 a2x) cy(x) cy(2222 a2y) cx(y) cx(2222 椭圆的标准方程xOyF1F2P)0(12222 babxayF1(0 ,-c)、F2(0, c)下的分母大下的分母大2x下的分母大下的分母大2yxOyF1F2PF1(-c,0)、F2(c,0)0(12222 babyax222cab 最大最大中中、acba1 1、已知椭圆的方程为：、已知椭圆的方程为：则则a_，

6、b_，c_， 焦点焦点坐标为：坐标为：_ ，焦距等，焦距等于于_。该椭圆上一点。该椭圆上一点P到焦点到焦点F1的距的距离为离为8，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离的距离等于等于_。11003622 yx2 2、若椭圆满足、若椭圆满足: : a5 , c3 , , 求它的标准方程。求它的标准方程。1162522 yx1251622 yx焦点在焦点在x x轴上轴上例例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程;, 3, 5. 1轴上焦点在xba192522yx192522yx变式变式两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是(-4-4，0 0),(4 4，0),

7、0),椭圆椭圆上一点到两焦点距离之和等于上一点到两焦点距离之和等于1010； 变式变式焦点在焦点在x x轴，焦距为轴，焦距为8 8，椭圆上一点到两焦，椭圆上一点到两焦点距离之和等于点距离之和等于1010；变式迁移变式迁移化简方程：化简方程：10442222yxyx192522yx125922yx或192522yx例例2.2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2 (-2 ，0 ),0 ),(2 (2 ，0),0),并且经过点并且经过点 ，求它的标准方程，求它的标准方程. .2325，16106104123)25().0( 122222222222222yxbababab

8、abyaxx因此椭圆的标准方程为所以）（由已知得：所以设它的标准方程为轴上，解：因为椭圆的焦点在1610621010223)2-25(23)225(2).0( 12222222222222yxcabcaababyaxx因此椭圆的标准方程为所以又因为所以）（）（由椭圆的定义知方程为轴上，所以设它的标准解：因为椭圆的焦点在1.1.口答口答: :已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：则则a a_，b b_，c c_，焦点坐标为焦点坐标为_ ，焦距等于，焦距等于_._.该椭圆上一点该椭圆上一点P P到焦点到焦点F F1 1的距离为的距离为8 8，则点，则点P P到另一个焦到另一个焦点点F F2 2的距离

9、等于的距离等于_. .11003622yx10106 6(0 (0 ，-8),(0 -8),(0 ，8),8),8 81212161636003610022yx巩固巩固练习：练习：15c2.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a = 4,b = 1(1)a = 4,b = 1，焦点在，焦点在x x轴上；轴上；(3)(3)(2)a = 4, (2)a = 4, ,焦点在焦点在y y轴上轴上;:2:1,6a bc巩固巩固练习：练习：4.4.已知已知 ABCABC的一边的一边BCBC长为长为8 8，周长为，周长为1818，求顶点求顶点A A的轨迹方程的轨迹方

10、程. .巩固巩固练习：练习：3.3.已知椭圆已知椭圆 上一点上一点P P到左焦点到左焦点F F1 1的距离等于的距离等于6 6，则，则 (1)(1)点点P P到右焦点的距离是到右焦点的距离是 ； (2)(2)若若CDCD为过左焦点为过左焦点F F1 1的弦，则的弦，则C CF F1 1F F2 2的的周长为周长为_ ,_ ,CDFCDF2 2的周为的周为 . .13610022yxCxyF1DF2xOy例例1 1、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为是一个椭圆，它的焦距为2.4 m2.4 m，外轮廓线上的点到两，外轮廓线上的点

11、到两个焦点的距离和为个焦点的距离和为3 m3 m，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程F1F2P解：以两个焦点解：以两个焦点F F1 1，F F2 2所在的直线为所在的直线为x x轴，以轴，以线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建立直角坐标轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为系，则这个椭圆的标准方程为)0( 12222 babyax根据题意知，根据题意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2c=1.2。所以。所以b b2 2=a=a2 2-c -c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.

12、81=0.81，因此，因此椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为181. 025. 222 yx例例2 2、将圆、将圆x x2 2+y+y2 2=4=4上的点的横坐标上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线它是什么曲线因为因为xx2 2+y+y2 2=4,=4,所以所以x x2 2+4y+4y2 2=4,=4,即即1422 yx yyxx2这就是变换后所得曲线的方程这就是变换后所得曲线的方程, ,它表示一个椭圆它表示一个椭圆oxy解：设所得曲线上任一点解：设所得曲线上任一点P坐标为（坐标为（x x，y y），圆），圆x x2 2+y+y2 2=4=4上上的对应点的对应点PP的坐标为（的坐标为（x,