材料力学-6-弯曲刚度课件

1、Nanjing University of Technology材料力学材料力学 (6)材料力学第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度限 制 弯 曲 变 形限 制 弯 曲 变 形（刚度问题）（刚度问题）工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 机械传动机构中的齿轮机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时轴，当变形过大时( (图中虚图中虚线所示线所示) )，两齿轮的啮合处，两齿轮的啮合处也将产生较大的变形。也将产生较大的变形。加大齿轮磨损，产生很大的噪声加大齿轮磨损，产生很大的噪声限制弯曲变形（刚度问题）限制弯曲变形（刚度问题）影响两个齿轮之间的啮合影响两个齿轮之间的啮合第第6章

2、章 弯曲刚度弯曲刚度 各种车辆中用各种车辆中用于减振的板簧，都于减振的板簧，都是采用厚度不大的是采用厚度不大的板条叠合而成。板条叠合而成。 可以承受很大的力而不发生破坏可以承受很大的力而不发生破坏能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。 利用弯曲变形（刚度问题）利用弯曲变形（刚度问题）第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度求解静不定问题求解静不定问题第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度ABF1/2L1/2L(+)(+)FL321FL5129FL5129建立补充方程建立补充方程利用弯曲变形（

3、求解静不定问题）利用弯曲变形（求解静不定问题） 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度B x wA取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴轴（向右为正）（向右为正）

4、，横截面的铅垂对称轴为，横截面的铅垂对称轴为 w 轴（向下为轴（向下为正）正） ， x w 平面为平面为纵向对称面纵向对称面。度量梁变形度量梁变形后横截面位置改后横截面位置改变，即变，即位移位移，有，有三个基本量。三个基本量。 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 1. 基本概念基本概念 BAB x w转角转角 B挠度挠度wCC挠度挠度deflection（ ）：横截面形心横截面形心 C C （即轴线上的点）（即轴线上的点）的铅垂位移。的铅垂位移。转角转角slope（ ）：变形后的横截面相对于变形前位置绕中变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度。性轴转过的角度。 6.1 6.

5、1 梁的变形与位移梁的变形与位移 AB x w转角转角 B挠度挠度w CC轴向位移轴向位移（ u ）：横截面形心沿水平方向的位移。横截面形心沿水平方向的位移。 在小变形情形下，上述位移中，轴向位移在小变形情形下，上述位移中，轴向位移u与挠与挠度度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 xwwddtan挠曲线挠曲线 ：梁变形后的轴线。梁变形后的轴线。)(xww 挠曲线挠曲线AB x w转角转角 B挠度挠度wCC注意：注意：当变形保持当变形保持在弹性范围内在弹性范围内，挠曲线为，挠曲线为连续光滑曲线。连续光滑曲线。挠度方程挠

6、度方程：)(x转角方程转角方程：2. 挠度与转角的关系挠度与转角的关系 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 在在小变形条件小变形条件下，挠度曲下，挠度曲线较为平坦。线较为平坦。即即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有于是有 挠曲线挠曲线AB x w转角转角 Bw 挠度挠度CCxwwddtanxwwdd挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度：挠度：向下为正，向上为负。向下为正，向上为负。转角：转角：顺时针转为正，逆时针转为负。顺时针转为正，逆时针转为负。 挠曲线挠曲线AB x w转

7、角转角 Bw 挠度挠度CC 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式EIM1 23222dd1dd1xwxwx1. 小挠度微分方程小挠度微分方程 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为纯弯曲时曲率与弯矩的关系为横力弯曲时横力弯曲时, M 和和 都是都是x的函数的函数 。细长。细长梁可以略去剪力对梁的位移的影响梁可以略去剪力对梁的位移的影响, 则则 EIxMx1AA中性层曲

8、率中心中性层曲率中心OO变形后变形后zd xyxd - yy 小挠度情形下小挠度情形下 对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。坐标的取向有关。 EIxMxwxw23222dd1dd1dd22xw EIxMxw22dd 本书规定的坐标系为：本书规定的坐标系为： x 轴水平向右为正轴水平向右为正, w 轴竖直轴竖直向下为正。向下为正。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 MMoxwoxwMM因此因此, M 与与 w 的正负号正好相反，所以的正负号正好相反，所以EIMxw22dd0dd, 022xw

9、M0dd, 022xwMEIxMdxwd)(22（小挠度微分方程）（小挠度微分方程） 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 近似原因：近似原因：（1） 略去了剪力的影响；（略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了）小挠度略去了w 2 项。项。 对于对于等截面梁等截面梁，弯曲刚度为常量弯曲刚度为常量时时 dddlM xwxCxEI EIxMdxwd)(222. 小挠度微分方程的积分小挠度微分方程的积分积分一次：积分一次：（转角方程）（转角方程）积分二次：积分二次：DCxdxdxEIxMw)(（挠度方程）（挠度方程）式中式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常

10、数，由梁的约束条件决定。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 在固定端处：在固定端处：xwAB梁的边界条件梁的边界条件在固定铰支座和滚动铰支座处：在固定铰支座和滚动铰支座处：xABlw0, 0, 0wwxAA; 0, 0Awx. 0,Bwlx3. 小挠度微分方程积分常数的确定小挠度微分方程积分常数的确定梁的约束条件（边界条件和连续性条件）梁的约束条件（边界条件和连续性条件） 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 PABC梁的梁的连续性条件连续性条件CCCCwwABlaCMCCww在集中力作用处：在集中力作用处：在中间铰处：在中间

11、铰处： 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 写出下图的边界条件、连续性条件：写出下图的边界条件、连续性条件：0, 0AwxCCax，CCwwax，0,Bwlx0, 0AwxCCax，CCwwax，BDBlwlx,EAhFByAlFCabBEAhDAlFCabB练习练习 由由M的方向的方向确定轴线的确定轴线的凹凸性凹凸性。 由由约束性质约束性质及及连续光滑性连续光滑性确定挠度曲线的确定挠度曲线的大致大致形状及位置形状及位置。4. 梁的连续光滑挠曲线的绘制梁的连续光滑挠曲线的绘制 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 试根据连续光滑

12、性质以及试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。的大致形状。弯矩？弯矩？约束？约束？连续光滑？连续光滑？ 试根据连续光滑性质以试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。曲线的大致形状。弯矩？弯矩？约束？约束？连续光滑？连续光滑？ 试根据连续光滑性质试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。挠度曲线的大致形状。弯矩？弯矩？约束？约束？连续光滑？连续光滑？梁的挠度与转角方程，梁的挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。以及最大挠度和最大转角。 左端固定、右端自由的悬左端固

13、定、右端自由的悬臂梁承受均布荷载。均布荷载臂梁承受均布荷载。均布荷载集度为集度为q ，梁的弯曲刚度为，梁的弯曲刚度为EI 、长度为、长度为l。q、EI 、l 均已均已知。知。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 5 5、积分法求解小挠度微分方程举例积分法求解小挠度微分方程举例解：解：1建立建立Oxw坐标系坐标系 2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 xM(x)FQ(x)21( )02M xq lxxl 3 建立微分方程并积分建立微分方程并积分将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代

14、入小挠度微分方程，得 212EIwMq lx EIxMdxwd)(22 例题例题1积分后，得到积分后，得到 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD212EIwMq lx 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题14 利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCqlD 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题15 确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程

15、316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 6 确定最大挠度与最大转角确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。大值。 于是，将于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：，分别代入挠度方程与转角方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEI 例题例题1加力点加力点B的挠度和的挠度和支承支承A、C处的转角。处的转角。

16、 简支梁受力如图所示。简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。均为已知。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 解：解：1确定梁约束力确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得首先，应用静力学方法求得梁在支承梁在支承A、C二处的约束力分别二处的约束力分别如图中所示。如图中所示。 AB段段 解：解： 2. 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程BC段段 于是，于是，AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题2

17、3 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分 211P2d30d44wlEIMxF xxx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题2积分后，得积分后，得 211P2d30d44wlEIMxF xxx 12P183CxFEI113P181DxCxFEIw4 利用约束条件和连续性条件确定积分常数利用约束条件和连续性条件确定积分常数 x0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4

18、， 1 1= = 222P2P242183ClxFxFEI223P3P246181DxClxFxFEIw 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 D1D2 =02P211287lFCC 例题例题25确定转角方程和挠度方程以及指确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角定横截面的挠度与转角 将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后,得得到梁的转角和挠度方程为：到梁的转角和挠度方程为： 22P378128FxxlEIAB段段 BC段段 xlxEIFxw23P128781 222P317824128Flx

19、xxlEI xllxxEIFxw233P128746181算得加力点算得加力点B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A和和C的转角分别为的转角分别为 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEI 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题2处理具体问题时的注意点处理具体问题时的注意点EIxMdxwd)(22 确定约束力确定约束力 分段建立挠度微分方程并积分分段建立挠度微分方程并积分 利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角 分段写出弯矩方程分

20、段写出弯矩方程 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度1. 叠加法前提叠加法前提 在小变形，在小变形，服从胡克定律的前提下服从胡克定律的前提下挠度、转角与荷载均为一次线性关系挠度、转角与荷载均为一次线性关系 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 实用的工具：实用的工具：挠度表（挠度表（P157） 为方便工程计算，已将各种支承条件下的静定为方便工程计算，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型荷载作用下的挠度和转角表达式一梁，在各种典型荷载作用下的挠度和转角表达式一一列出，并形成手册。一列出，并形成手册。重要的方法

21、：重要的方法：叠加法叠加法（superposition method） 应用叠加原理及常见静定梁在简单荷载作用下应用叠加原理及常见静定梁在简单荷载作用下的挠度和转角，得到常见静定梁在复杂荷载作用下的挠度和转角，得到常见静定梁在复杂荷载作用下的挠度与转角。的挠度与转角。悬臂梁受集悬臂梁受集中荷载为例中荷载为例EIlFw33PmaxEIlF22Pmax 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 简支梁受力如简支梁受力如图所示，图所示，q、l、E

22、I均为已知。均为已知。C截面的挠截面的挠度度wC ；B截面的转截面的转角角 B。 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 2. 第一类叠加法第一类叠加法应用于多个荷载作用的情形应用于多个荷载作用的情形321CCCCwwww1. .将梁上的荷载变将梁上的荷载变为三种简单的情形。为三种简单的情形。123BBBB 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 例题例题32.由挠度表查得三种情形下由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和截面的挠度和B 截面的转角截面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlE

23、IqlBBB33323131161241 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 例题例题33. 应用叠加法，将简单荷载应用叠加法，将简单荷载作用时的结果分别叠加。作用时的结果分别叠加。 ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 例题例题3处理具体问题时的注意点处理具体问题时的注意点 将所得结果叠加将所得结果叠加 将其分解为各种荷载单独作用的情形将其分解为各种荷载单独作用的情形 由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角二梁的受力二梁的受力(

24、 (包括荷载与约束力包括荷载与约束力) )是否相同？是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？位移不仅与变形有关，而且与约束有关。位移不仅与变形有关，而且与约束有关。 BC段有没有变形？有没有位移？段有没有变形？有没有位移？没有变形没有变形为什么会有位移？为什么会有位移？FPABC 总体变形是微段变形累加的结果。总体变形是微段变形累加的结果。 有位移不一定有变形。有位移不一定有变形。BC段梁均视为段梁均视为刚体刚体。 悬臂梁受力如图所悬臂梁受力如图所示，示，q、l、EI均为已知。均为已知。C截面的挠度截面的

25、挠度wC和和转角转角 C。 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 3. 第二类叠加法第二类叠加法应用于间断性分布荷载作用的情形应用于间断性分布荷载作用的情形1.1. 首先，将梁上的荷首先，将梁上的荷载变成有表可查的情形载变成有表可查的情形 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 2 2再将处理后的梁分解为简再将处理后的梁分解为简单荷载作用的情形，计算各个单荷载作用的情形，计算各个简单荷载引起的挠度和转角简单荷载引起的挠度和转角 例题例题4EIqlwC4181EIqlC31612CwEIqllEIqBC33224812612Bw22lB428

26、1lEIq22613llEIq将简单荷载作用的结果将简单荷载作用的结果叠加叠加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 例题例题4 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角角（或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角）限制在一定范围限制在一定范围内，即满足内，即满足弯曲刚度条件弯曲刚

27、度条件： w 许用挠度许用挠度 许用转角许用转角均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。 1 1、 弯曲刚度条件弯曲刚度条件 wwmax max 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： ? ? I ? ? P F 3.6 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件圆杆扭转时的变形及刚度条件 刚度校核刚度校核 截面尺寸设计截面尺寸设计 确定许可荷载确定许可荷载 wwmax max悬臂梁受集悬臂梁受集中荷载为例中荷载为例EIlFw33PmaxEIlF22Pmax？ 钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 k

28、N，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角处的许用转角 =0.5。 试求：试求：根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d。 B 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 B解：解：1查表确定查表确定B处的转角处的转角EIlaFB3P由挠度表中查得承受集中荷载由挠度表中查得承受集中荷载的外伸梁的外伸梁B处的转角为处的转角为 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径 B 例题例题5统一单位，将有关数据代入统一单位，将有关数据代入5 . 0180102063

29、642110201803493dEIalFPB从而得到轴的直径从而得到轴的直径 mm111m1011. 1m5 . 01020631806421102014293d 矩形截面悬臂梁承受均布载荷如图所示。已知矩形截面悬臂梁承受均布载荷如图所示。已知q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，s s=118MPa，许用最大挠度与梁跨度比值许用最大挠度与梁跨度比值wmax/l=1/250，且已知截面高与宽之比为，且已知截面高与宽之比为2，即，即h=2b。 试：试：确定截面尺寸确定截面尺寸b和和h。 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 解：解：1.1.

30、 强度条件强度条件mkN45310102121232maxqlM mm8310118210453233633maxsMb ssWMmaxmax223/62/62/3Wbhbbb2.2. 刚度条件刚度条件lwlwmaxmax4max8qlwEI312bhI mm6 .89101961625031010316349434max4lwEqlb89 6mm,b 179mmh 综合上述设计结果，取刚度设计所得到的尺寸综合上述设计结果，取刚度设计所得到的尺寸,作为梁的最作为梁的最终尺寸终尺寸,即即 例题例题6 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度ZmaxmaxWMs

31、s1. 1. 降低降低 Mmax 设法降低横截面的正应力数值。设法降低横截面的正应力数值。2. 2. 增大增大 WZ 5.6 5.6 梁的合理设计梁的合理设计 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施以悬臂梁受集中荷载为例以悬臂梁受集中荷载为例EIlFw33PmaxEIlF22Pmax提高梁的高度提高梁的高度，主要是减少梁的弹性位移（挠度和位移）。主要是减少梁的弹性位移（挠度和位移）。 梁的变形除了与荷载与梁的约束有关（挠度表）外，梁的变形除了与荷载与梁的约束有关（挠度表）外，还取决于以下因素：还取决于以下因素： 减小跨长可以有效减小弹性位移。当梁的长度无法减减小跨长可以有效减小弹性位

32、移。当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座（即采用静不定结构）。小时，则可增加中间支座（即采用静不定结构）。减小跨长减小跨长EIlFw33PmaxEIlF22Pmax 例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。再增加一个中间支架。 选择合理的截面形状选择合理的截面形状截面的惯性矩截面的惯性矩IEIlFw33PmaxEIlF22Pmax 此外，选用弹性模量此外，选用弹性模量E较高的材料也能提高梁的较高的材料也能提高梁的刚度。但是，对于各

33、种钢材，弹性模量的数值相差刚度。但是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差甚微，因而与一般钢材相比，选用甚微，因而与一般钢材相比，选用高强度钢材高强度钢材并不并不能提高梁的刚度。能提高梁的刚度。增大弹性模量增大弹性模量EIlFw33PmaxEIlF22Pmax 可以拓展到圆轴扭转和拉压情况可以拓展到圆轴扭转和拉压情况减小轴的长度减小轴的长度 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施iiiiEAlFlN选择合理的截面形状选择合理的截面形状增大切变模量（效果不明显）增大切变模量（效果不明显）iPiixiGIlM 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度静不定次

34、数静不定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差：未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构静定问题与静定结构：未知力（内力或外力）个数等于独：未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数立的平衡方程数静不定问题与静不定结构静不定问题与静不定结构：未知力个数多于独立的平衡方：未知力个数多于独立的平衡方程数程数多余约束多余约束：保持结构静定：保持结构静定多余的约束多余的约束 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 1. 基本概念基本概念B Alq2. 求解静不定问题，需要以下三方面的联立。求解静不定问题，需要以下三方面的联立。 物理方程物理方程（或称（或称本构方程本构方程）：建立的力与位

35、移或变）：建立的力与位移或变形之间的关系。形之间的关系。 变形协调方程变形协调方程（或称为（或称为几何方程几何方程）：根据多余约束）：根据多余约束对位移或变形的限制，建立的各部分位移或变形之间对位移或变形的限制，建立的各部分位移或变形之间的几何关系。的几何关系。 平衡方程平衡方程。 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 求：求：梁的约束力。梁的约束力。已知：已知：A端固定、端固定、B端铰支梁端铰支梁的弯曲刚度为的弯曲刚度为EI，长度为长度为l。 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 B Alq解：解：1. 确定静不定次数，并选择基本静定梁。确定静不定次数，并选择基本静定梁。多余

36、约束的数目多余约束的数目=1 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 ( (2)2)简支梁简支梁( (1)1)悬臂梁悬臂梁 选择合适的多余约束，选择合适的多余约束，将其除去，使静不定结构变将其除去，使静不定结构变为静定结构，在解除约束处为静定结构，在解除约束处代之以约束力。代之以约束力。化为静定结构的办法：化为静定结构的办法： 一般来说，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外一般来说，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。伸梁。 B AlqBl AqBl AqBFAM 例题例题72. 列出列出变形协调方程变形协调方程（几何方程）。（几何方程）。 根据基本静定梁的一根据基本静定梁的一

37、切情况要与原超静定梁完切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形全相同的要求，得到变形协调条件。协调条件。0Bw0A 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 B AlqBl AqBFBl AqAM 例题例题7( (1)1)悬臂梁：悬臂梁：3. 根据根据物理方程物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充（用积分法或叠加法求变形），列出补充方程，并求出多余未知力。方程，并求出多余未知力。仅有仅有作用，作用，B点挠度为：点挠度为：EIqlwBq84仅有仅有 作用，作用，B点挠度为：点挠度为：BFEIlFwBBF33因此因此BqBFBwwwEIql84EIlFB330解得：解得：)(83ql

38、FB 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 Bl AqBF 例题例题70Bw4. 根据根据平衡方程平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束力。在基本静定梁上求出其余的约束力。0 xF, 0AxF0yF),(85qlFAy0AM281qlMA（ ） 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 ( (1)1)悬臂梁：悬臂梁：Bl AqBFAxFAyFAM 例题例题7(+)QF(-)ql85ql83l85M281ql21289ql因此因此2max81qlMqlFQ85maxqlFQmax2max21qlM5. 在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。在基本静定梁上按照静定梁的方法求

39、解内力、应力和变形。 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 Bl AqBFAxFAyFAM 例题例题7Bl Aq处理具体问题时的注意点处理具体问题时的注意点 确定静不定次数，并选择基本静定梁。确定静不定次数，并选择基本静定梁。 列出列出变形协调方程变形协调方程。 根据根据物理方程物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充（用积分法或叠加法求变形），列出补充 方程，并求出多余未知力。方程，并求出多余未知力。 根据根据平衡方程平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束反力。在基本静定梁上求出其余的约束反力。 在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。在基本静定梁上按照静定梁的方法求解

40、内力、应力和变形。力法：力法：以力作为未知量以力作为未知量, ,将位移表示为力的形式，从而求将位移表示为力的形式，从而求解未知力，进而求解位移的方法。解未知力，进而求解位移的方法。B Alq梁梁AB和和BC在在B处铰接，处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚两端固定，梁的抗弯刚度均为度均为EI，F = 40kN= 40kN，q = = 20kN/m20kN/m。画梁的剪力图和。画梁的剪力图和弯矩图。弯矩图。 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 解：解：、从、从B 处拆开，使超静定结构处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变成两个悬臂梁。、变形协调方程为：、变形协调方程为：21BBwwFBw

41、B1 FBwB2、物理方程、物理方程EIFEIqwBB3484341EIFEIFEIFwBB34222323232 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 例题例题8kN75. 8BF代入变形协调方程：代入变形协调方程：EIFEIFEIFEIFEIqBB3422232348432334、平衡方程确定、平衡方程确定A端和端和C端约束力端约束力04, 0qFFFBAykN25.71AF0424, 0BAAFqMMmkN125AM 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 例题例题8FBwB1 FBwB20, 0FFFFCBykN75.48CF042, 0BCCFFMMkN.m115CMA

42、、B 端约束力已求出端约束力已求出、最后作梁的剪力图和弯矩图、最后作梁的剪力图和弯矩图)( )( 25.7175. 875.48kNQF)(kN25.71AF)kN(75.48CF)(mkN125AM)m(kN115CM 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 例题例题8)( 1251155 .17)mkN(M)( 914. 1课外作业P168169：62 (c) ，64，65，66 (a) P170171：610 ，611补充习题补充习题1，*补充习题补充习题2*P323：1217Nanjing University of Technology作业中存在的问题作业中存在的问题2、看清题

43、意。、看清题意。1、地面、固定接触面的画法。、地面、固定接触面的画法。3、静不定解题，一定要画出基本的静定结构图。、静不定解题，一定要画出基本的静定结构图。附录：附录： 第第6 6章章习题解答习题解答62 试写出积分法求图示各梁挠度曲线试写出积分法求图示各梁挠度曲线时时，确定积分常数的，确定积分常数的约束条件和连续约束条件和连续条件条件。附录：附录： 第第6 6章章习题解答习题解答6 62 2(c)解：解：1. 1. 确定约束条件确定约束条件0, 0AwxBBx, 2BBwwx, 2EAlFBCNBC2294149dEqdEq6 64 464 具有中间铰的梁受力如图所示。试具有中间铰的梁受力如

44、图所示。试画出画出挠度曲线的大致形状，并说明需要挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段建立小挠度微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么。分几段建立小挠度微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么。解：解：1. 1. 需要分三段建立小挠度需要分三段建立小挠度微分方程，积分常数有微分方程，积分常数有6 6个。个。0, 0, 0AAwxBBwwlx,CCCCwwlx,20EIxMdxwd)(222. 2. 确定约束条件确定约束条件3. 3. 挠曲线如图所示挠曲线如图所示附录：附录： 第第6 6章章习题解答习题解答6 65 565 试用积分法求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转

45、角。设试用积分法求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。设EI=常量。常量。附录：附录： 第第6 6章章习题解答习题解答解：解：1. 建立弯矩方程（图略）建立弯矩方程（图略）AC： )0(,eaxMxM1eCxMEI112e21DxCxMEIwBC： )(, 0lxaxM2. 分段建立小挠度微分方程分段建立小挠度微分方程AC：eMwEI BC：0 wEI积分，得积分，得2CEI22DxCEIw3. 由约束条件由约束条件;,; 0, 0, 0212111wwaxwx代入小挠度微代入小挠度微分方程，解得分方程，解得2e2e21121; 0aMDaMCDC4. 求得挠度方程和转角方程求得挠度方

46、程和转角方程AC： EIxMxwEIxMx2;2e1e1BC： 2;e2e2axEIaMxwEIaMx2;eealEIaMwEIaMBB66 试用叠加法求下列各梁中截面试用叠加法求下列各梁中截面A的挠度和截面的挠度和截面B的转角。图中的转角。图中q、l、EI等为已知。等为已知。6 66 6(a)解：解：1. .将梁上的荷载变为两种简单的情形。将梁上的荷载变为两种简单的情形。qql2/22. 根据挠度表查得简单荷载作用时的根据挠度表查得简单荷载作用时的结果，并应用叠加法分别叠加。结果，并应用叠加法分别叠加。 21AAAwwwEIlqlllllEIlq222246224222222EIqlEIql

47、EIql384716384174442121ABBBBEIlqlEIql22623EIqlEIqlEIql1246333附录：附录： 第第6 6章章习题解答习题解答610 图示一端外伸的轴在飞轮重量作用下发生变形，已知飞轮重图示一端外伸的轴在飞轮重量作用下发生变形，已知飞轮重W20 kN，轴材料的轴材料的E200 GPa，轴承，轴承B处的许用转角处的许用转角 =0.5。试设计轴的直径。试设计轴的直径。6 61010解：解：1查挠度表确定查挠度表确定B处的转角处的转角 EIalFB3PEIWalEIalFB33P1805 . 064102003211020493d2由刚度条件由刚度条件解得解得 mm112m112. 0d附录：附录： 第第6 6章章习题解答习题解答6 61111611 图示承受均布载荷的简支梁由图示承受均布载荷的简支梁由两根两根竖向放置的普通槽钢组成。已知竖向放置的普通槽钢组成。已知q10 kN/m，l =4 m，材料的，材料的s s =100 MPa，许用挠度，许用挠度w=ll 000，E=200 GPa。试确定槽钢型号。试确定槽钢型号。解：解：1. 1. 由强度条件由强度条件( (弯矩图略弯矩图略) )334cm200m102W ssWMmaxmax2. 2. 由刚度条件由刚度条件 wwmax623210100410108181WWqlEIqlw