第二节 传递函数

1、 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量数经拉氏变换后，变成复变量S S的乘积，的乘积，将时间表示的微分方程，变成以将时间表示的微分方程，变成以S S表示表示的代数方程。的代数方程。拉氏变换与拉氏变换的定义拉氏变换与拉氏变换的定义拉氏变换的定义拉氏变换的定义设有时间函数设有时间函数 f(t)f(t) ，其中，其中，则则f(t)f(t)的拉氏变换记作：的拉氏变换记作： LL拉氏变换符号；拉氏变换符号；s-s-复变量；复变量； F(s)F(s)象函数。象函数。

2、f(t)f(t)原函数原函数0t 0stdte ) t (f) s (F)t (f L拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义将象函数将象函数F(s)F(s)变换成与之相对应变换成与之相对应的原函数的原函数f(t)f(t)的过程的过程 11( ) ( )( )2jwstjwf tL F sF s e dsj线线 性性 性性 质质若 有 常 数若 有 常 数 k k1 1， k k2 2, , 函 数函 数f f1 1(t),f(t),f2 2(t),(t),且且f f1 1(t),f(t),f2 2(t)(t)的拉的拉氏变换为氏变换为F F1 1(s),F(s),F2 2(s),(s),则有：则有：此

3、式可由定义证明。此式可由定义证明。 ) s (Fk) s (Fk)t (fk) t (fkL22112211拉氏变换的性质拉氏变换的性质 实实数数域域的的位位移移定定理理若若f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则对任一正实则对任一正实数数a a有有, ,其中，当其中，当t0t0时，时，f(t)=0f(t)=0，f(t-a)f(t-a)表表f(t)f(t)延迟时间延迟时间a.a. ) s (Fe)at ( f Las复复数数域域的的位位移移定定理理若若f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),对于任一对于任一常数常数a,a,有有)as (F)t (fe

4、Lat微微分分定定理理设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则则其中其中f(0f(0+ +) )由正向使由正向使 时的时的f(t)f(t)值。值。( )( )( )(0 )df tLL f tsF sfdt0t 积积分分定定理理 设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则则 其中其中 是是 时的时的值。值。)0(fs1s) s (Fdt) t (fL)1(t00( )0tf t dtt在( 1)f(0 )初初值值定定理理设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)F(s)，则函，则函数数f(t)f(t)的初值定理表示为：的初值定理表示为

5、：证明技巧：可利用微分定理来进证明技巧：可利用微分定理来进行证明行证明) s (sFlim) t (flim)0(fs0t终终值值定定理理若若f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则终值则终值定理表示为：定理表示为： 0lim( )lim( )tsf tsF s卷卷积积定定理理设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),g(t)F(s),g(t)的拉的拉氏变换为氏变换为G(s)G(s)， 则有则有 式中，式中，称为称为f(t)f(t)与与g(t)g(t)的卷积。的卷积。 t0Lf(t)g( )dF(s)G(s) t0f(t)g( )df(t) g(t) 1 1、

6、单位阶跃函数、单位阶跃函数 011t0t0t 0001111.stststLtt edtedtess 典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换 2 2、单位脉冲函数、单位脉冲函数 0t0t0t0st1dte ) t ()t (L3 3、单位斜坡函数、单位斜坡函数 000tu ttt020011( )stststL u ttedtteedtss 4 4、指数函数、指数函数 ate00t )as (statatas1edteee L5 5、正弦函数正弦函数sinwtsinwt )ee (j21wtsinjwtjwt0()()0221sin()21()2111()2jwtjwtstsjw tsj

7、w tLwteeedtjeedtjwj sjwsjwsw6 6、余弦函数余弦函数coswtcoswt )ee (21wtcosjwtjwt22wsswtcosL传递函数传递函数传递函数的基本定义传递函数的基本定义 ： 线性定常系统的传递函数，定义为零线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。输入量的拉氏变换之比。传递函数的基本概念传递函数的基本概念 设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述： 当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得当初始条件全为零时，对上式进行拉氏

8、变换可得其中：其中：传递函数传递函数 传递函数的主要特点传递函数的主要特点 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关与大小）无关 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构统的物理结构 传递函数是复变量传递函数是复变量 s 的有理真分式函数，的有理真分式函数，mn，且所具有复变，且所具有复变量函数的所有性质量函数的所有性质 。传递函数与微分方程有相通性。只要把系统或元件微分方程中各传递函数与微分方程有相通性。只要把系统或元件微分方程中各阶

9、导数用阶导数用 S 相应阶次的变量代替，就很容易求得系统或元件的相应阶次的变量代替，就很容易求得系统或元件的传递函数。传递函数。22d ydymfkyFdtdt2( )( )( )( )ms Y sfsY skY sF s2( )1( )( )Y sG sF smsfsk2() ( )( )msfsk Y sF s22cccd uduLCRCuudtdt2( )( )( )( )cccLCs U sRCsU sU sU s2(1)( )( )cLCsRCsUsU s2( )1( )( )(1)cUsG sU sLCsRCs211221122122()cccd uduRC R CRCR CRCu

10、udtdt21122112212( )()( )( )( )cccRC R C s U sRCR CRC sU sU sU s21122112212( )1( )( )()1cUsG sU sRC R C sRCR CRC s(1, 2,)iz im传递函数的零点。(1, 2,)jpjm传递函数的极点。mgnbKa传递函数的传递系数。(1, 2,)iim分子各因子的时间常数。(1, 2,)jTjm分母各因子的时间常数。00bKa传递函数的放大系数。or 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 具有某种确定信息传递关系的元具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个件、元件组或

11、元件的一部分称为一个环节。环节。任何复杂系统可看做由一些基任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，控制系统中常用的典本的环节组成，控制系统中常用的典型环节可以归纳为：型环节可以归纳为： 比例环节、惯性环节、微分环节、比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。积分环节、振荡环节和延迟环节等。 1 1、比例环节、比例环节 比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。这就是说，它的输出量能够无失真、无迟后地按一定的比例复现输入量。比例环节的表达式为：( )( )y tKr t环节的放大系数其传递函数是：( )( )( )Y sG sKR S2 2、惯性环

12、节、惯性环节( )( )( )dy tTy tKr tdt 自动控制系统中经常包含有这种环节，这种环节具有一个储能元件。一阶惯性环节的微分方程为：其传递函数是：( )( )( )1Y sKG sR STs时间常数 惯性环节的特点是其输出不能立即跟随时间发生变化，存在时间上的延迟，其中时间常数 T 越大，环节的惯性越大。3 3、积分环节、积分环节( )( )dy tr tdt 积分环节输入量与输出量之间关系的动态方程为：其传递函数是：( )( )( )Y sKG sR ss4 4、振荡环节、振荡环节振荡环节的微分方程为：222( )2( )( )( )ddTy tTy ty tr tdtdt其传递函数是：22( )1( )( )21Y sG sR sT sTs5 5、微分环节、微分环节 微分环节是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趋势。常用的微分环节有纯微分环节、一解微分环节、二阶微分环节：其传递函数分别是：6 6、延迟环节、延迟环节 延迟环节的特点是，其输出信号比输入信号迟后一定的时间。其数学表达式为：( )()y tr t其传递函数是：延迟时间( )( )( )sY sG seR s 生产实践中特别是一些液压、气动或机械传动系统中都可能会遇到纯时间滞后