高中数学--圆的方程知识点题型归纳

1、 第一讲 圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)圆心：，半径：1、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2 展开并整理得x2y22ax2bya2b2r20，取D2a，E2b，Fa2b2r2，得x2y2DxEyF0.（2）将圆的一般方程x2y2DxEyF0通过配方后得到的方程为：(x)2(y)2当D2E24F>0时，该方程表示以(，)为圆心，为半径的圆；当D2E24F0时，方程只有

2、实数解x，y，即只表示一个点(，)；当D2E24F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了（二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2>r2.（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2<r2.（三）温馨提示1、方程Ax2BxyCy2DxEy

3、F0表示圆的条件是：（1）B0； （2）AC0； （3）D2E24AF0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上（2）圆心在任一弦的中垂线上（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x ，y .二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法【例1】 圆的圆心是 ，半径是 .【例2】 点(1,1)在圆(xa)2(ya)24内，则实数a的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) D(1，)【例3】 圆心在y轴上，半径为1

4、，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21【例4】 圆(x2)2y25关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A(x2)2y25Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25【变式1】已知圆的方程为，则圆心坐标为 【变式2】已知圆C与圆关于直线 对称，则圆C的方程为 【变式3】 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x3)221 B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21 D.2(y1)21【变式4】已知的顶点坐标分别是，求外接圆的方程.方法总结

5、：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用考点二、有关圆的一般方程的求法【例1】 若方程x2y24mx2y5m0表示圆，则的取值范围是()A .m1 Bm或m1 Cm Dm1【例2】 将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30【例3】 圆x22xy230的圆心到直线xy30的距离为_【变式1】 已知点是圆上任意一点，P点关于直线的对称点也在圆C上，则实数= 【变式2】 已知一个圆经过点、，且圆心在上，求圆的方程.【变式3】 平面直角坐标系中有四点

6、，这四点能否在同一个圆上？为什么？【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，则它的内切圆方程为_方法总结：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组2熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化 考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216【例2】 方程表示的曲线是（ ）A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆【例3】 在中，若点的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，

7、则点A的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【例4】 已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹求这个曲线的方程，并画出曲线【变式1】 方程所表示的曲线是（ ）A. 一个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆【变式2】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216【变式3】 如右图，过点M(6,0)作圆C：x2y26x4y90的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹【变式4】 如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y2

8、1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等考点四：与圆有关的最值问题【例1】 已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称，则ab的取值范围是_【例2】 已知x，y满足x2y21，则的最小值为_【例3】 已知点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y

9、1)21上的动点，则|MN|的最小值是()A. B1 C. D.【例4】已知实数x，y满足(x2)2(y1)21则2xy的最大值为_，最小值为_【变式1】 P(x，y)在圆C：(x1)2(y1)21上移动，则x2y2的最小值为_【变式2】 由直线yx2上的点P向圆C：(x4)2(y2)21引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是()A(1,1) B(0,2) C(2,0) D(1,3)【变式3】 已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是_【变式4】已知圆M过两点C(1，1)，D(1,1)，且圆心M在xy20上（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u的最值问题，