概率论与数理统计第二章随机变量及其分布

1、/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅3 本章主要内容1 随机变量随机变量 2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章 随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅4 上一章，我们引入了概率论的两个基本概念上一章，我们引入了概率论的两个基本概念随机随机事件与概率，而且主要是以事件与概率，而且主要是以“事件及其发生的概率事件及其发生的概率

2、”作为作为讨论对象由于随机现象的多样性和复杂性，为了更好地讨论对象由于随机现象的多样性和复杂性，为了更好地利用近代数学工具来研究随机现象的统计规律性，将随机利用近代数学工具来研究随机现象的统计规律性，将随机事件数量化显得尤为重要本章将引入一个新的概念事件数量化显得尤为重要本章将引入一个新的概念随机变量随机变量，它对概率论的研究有着十分重要的作用。，它对概率论的研究有着十分重要的作用。 第二章 随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅5 随机试验的结果因试验内容的不同而各异很大一部随机试验的结果因试验内容的不同而各异很大一部分问题可以

3、用数量来描述试验的各种可能结果，如，产品分问题可以用数量来描述试验的各种可能结果，如，产品抽样中的次品数，掷骰子出现的点数，某电话交换台在一抽样中的次品数，掷骰子出现的点数，某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，测量中出现的误差等等而有段时间内接到的呼叫次数，测量中出现的误差等等而有些随机现象，表面上看其试验结果与数量没有直接关系，些随机现象，表面上看其试验结果与数量没有直接关系，如掷硬币的结果如掷硬币的结果“正面、反面正面、反面”和抽查产品的结果和抽查产品的结果“合格、合格、不合格不合格”等，但这些试验结果也常常能联系数量加以描等，但这些试验结果也常常能联系数量加以描述比如掷一枚硬币，可能

4、的结果为述比如掷一枚硬币，可能的结果为“正面正面”、“反面反面”，则可以这样处理，当出现则可以这样处理，当出现“正面正面”时对应数时对应数1，而出现反面，而出现反面时对应数时对应数0 更一般地，对于事件更一般地，对于事件A，则一定可以通过下面的示，则一定可以通过下面的示性函数使它与数量联系起来性函数使它与数量联系起来:2.1 随机变量/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅6不发生当发生当AAA,0,1 再看一个具体的例子再看一个具体的例子 以以X记三次投掷中记三次投掷中H出现的总次数， 其可能取值为出现的总次数， 其可能取值为 0、 1、2、3

5、例例 1-1 投掷一枚硬币投掷一枚硬币 3 次，观察出现正面的情况次，观察出现正面的情况H表示表示正面，正面，T表示反面，则样本空间为表示反面，则样本空间为 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS ， 2.1 随机变量/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅7这这些些例子说明，随机试验的结果总能够用一个数例子说明，随机试验的结果总能够用一个数X来表来表示由于在一次试验中究竟哪一个结果发生是随机的，从而示由于在一次试验中究竟哪一个结果发生是随机的，从而变量变量X的取值也具有随机性变量的取值也具有随机性变量X随试验结果的不同而变随试验结果

6、的不同而变化着，而且它是定义在样本空间化着，而且它是定义在样本空间S上的实值函数，这种变量上的实值函数，这种变量称为随机变量称为随机变量 定义定义1.1 设设E是随机试验， 其样本空间是随机试验， 其样本空间eS ， 如果对每一个， 如果对每一个样本点样本点Se均均有一个实数有一个实数)(eX与它对应，这个定义在样与它对应，这个定义在样本空间本空间S上的实单值函数上的实单值函数)(eX称为称为随机变量随机变量 2.1 随机变量/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅8随机变量通常随机变量通常用大写字母用大写字母YX,或希腊字母或希腊字母,等表等表示

7、，而表示随机变量所取的值时一般采用小写字母示，而表示随机变量所取的值时一般采用小写字母zyx,等等 图图 2-1 画出了样本点画出了样本点e与实数与实数)(eXX 对应的示意图对应的示意图 图2-12.1 随机变量/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅9随机变量随机变量X的取值由随机试验的结果的取值由随机试验的结果e唯一确定 另唯一确定 另一方面，由于随机试验的结果一方面，由于随机试验的结果e的出现有一定的随机性，的出现有一定的随机性，相应地，相应地，随机变量随机变量X的取值也有一定的随机性的取值也有一定的随机性 注意2.1 随机变量/147/1

8、472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅10具体地，具体地，teXX，Ste，X是一个随机变是一个随机变量，值域为量，值域为), 0 2.1 随机变量例例 1-2 在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是用寿命可能是), 0中的任何一个实数，若用中的任何一个实数，若用X表示灯表示灯泡的寿命泡的寿命(小时小时)，取值由试验结果确定，即，取值由试验结果确定，即X是定义在样是定义在样本空间本空间0et tS上的函数上的函数 /147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅1

9、1引入随机变量后，便可以用随机变量来描述事件事引入随机变量后，便可以用随机变量来描述事件事件所含的样本点是样本空间的子集，所以，事件可用件所含的样本点是样本空间的子集，所以，事件可用随随机变量机变量X取某个值或某个确定范围内的值来表示，取某个值或某个确定范围内的值来表示，即事即事件可通过随机变量的关系式表达出来件可通过随机变量的关系式表达出来 2.1 随机变量很多试验中，其试验结果本身就是用数量表示的，很多试验中，其试验结果本身就是用数量表示的，即样本点即样本点e本身就是数，此时很自然地定义本身就是数，此时很自然地定义eeX)(如如例例 1-2 中的灯泡寿命，某单位一天中缺勤的人数等等中的灯泡

10、寿命，某单位一天中缺勤的人数等等 注意/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅12比比如例如例 1-1 中的事件中的事件HHHA 可用可用3X来表示， 例来表示， 例1-2中的事件中的事件灯泡灯泡寿命不超过寿命不超过 1000小时小时可用可用1000X表示表示更一般地，对任意实数集更一般地，对任意实数集L，随机变量，随机变量X在在L上上取值，常写成取值，常写成LX ，它表示事件，它表示事件)(|LeXe 由于由于随机变量的取值由试验结果确定，而试验的各个可能随机变量的取值由试验结果确定，而试验的各个可能结果的发生有一定的概率，从而随机变量的取值也有

11、一定的结果的发生有一定的概率，从而随机变量的取值也有一定的概率比概率比如例如例 1-1 中，中，8/1)(3ApXP一般地，对一般地，对任意实数集任意实数集L， LXP)(|LeXeP 2.1 随机变量/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅13 由于随机试验结果的多样性，随机变量的取值情形也不尽由于随机试验结果的多样性，随机变量的取值情形也不尽相同有的随机变量只可能取有限或可列个值，如产品抽样中相同有的随机变量只可能取有限或可列个值，如产品抽样中的次品数，电话交换台在某时间段内接到的呼叫次数，这一类的次品数，电话交换台在某时间段内接到的呼叫次数，

12、这一类随机变量称为离散型随机变量而另一类随机变量的可能取值随机变量称为离散型随机变量而另一类随机变量的可能取值可为某一区间中的任意一个值可为某一区间中的任意一个值(不可列不可列)，比如测量的误差，灯，比如测量的误差，灯泡的寿命等，称这一类随机变量为泡的寿命等，称这一类随机变量为非离散型随机变量非离散型随机变量，其中最，其中最重要的一种是连续型随机变量今后我们主要讨论重要的一种是连续型随机变量今后我们主要讨论离散型随机离散型随机变量变量和和连续型随机变量连续型随机变量 2.1 随机变量/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅14 若随机变量的可能取值

13、仅有有限个或可列无限多个，若随机变量的可能取值仅有有限个或可列无限多个，则称此随机变量为则称此随机变量为离散型随机变量离散型随机变量 定义定义2.1例如例如第一节第一节例例 1-1 中中,投掷一枚硬币投掷一枚硬币 3 次，观察出现次，观察出现正面的情况正面的情况随机变量随机变量X为为出现的总次数出现的总次数，它，它只可能取只可能取0，1，2，3 四个值，是一个四个值，是一个离散型随机变量离散型随机变量若以若以T记记某元件的寿命，它所可能取的值充满一个区间，是无法某元件的寿命，它所可能取的值充满一个区间，是无法按一定次序一一列举出来的，因而它是一个按一定次序一一列举出来的，因而它是一个非离散型随

14、非离散型随机变量机变量 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅15定义定义2.2 设 离 散 型 随 机 变 量设 离 散 型 随 机 变 量X的 所 有 可 能 取 值 为的 所 有 可 能 取 值 为kx(, 2 , 1k)，X取值为取值为kx的概率， 即事件的概率， 即事件kxX 的概的概率为率为kkpxXP，, 2, 1k (2-1) 称之为离散型随机变量称之为离散型随机变量X的的分布律分布律或或概率分布概率分布 由概率的定义，由概率的定义，), 2, 1(kpk必然满足：必然满足： 2.2 离散型随机变量及

15、其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅16(1) , 2, 1, 0kpk； (2) 11kkp 事 实 上 ，事 实 上 ，jixXxXji,，21xXxX是必然事件，是必然事件， 所以，所以， 1111kkkkkkpxXPxXP 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅17常用表格形式来直观地表示常用表格形式来直观地表示X的分布的分布: X kxxx21 kp kppp21 分布律表示了随机变量分布律表示了随机变量X取各个值的概率的规律也可取各个值的概率的规律也

16、可以认为：概率以一定的规律分布在各个可能值上，故称以认为：概率以一定的规律分布在各个可能值上，故称为分布律为分布律 分布律也可以用类似于矩阵的形式来表示，如分布律也可以用类似于矩阵的形式来表示，如:Xkkpppxxx2121或或 Xkkpppxxx2121 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅18例例 2-1 若若函数函数!1)(kckf，, 2, 1k，是某一，是某一离散型随离散型随机变量机变量X的分布律，则的分布律，则c应取何值应取何值？ 可以认为，分布律能够完全刻画出离散型随机变量可以认为，分布律能够完全刻画

17、出离散型随机变量的统计规律性只要给出随机变量的分布律，利用概率的统计规律性只要给出随机变量的分布律，利用概率的性质的性质可列可加性，则任一事件发生的概率便可方可列可加性，则任一事件发生的概率便可方便地得到便地得到 解解：因为因为1)(1kkf，即，即) 1(!1)(11eckckfkk=1， 所以，所以，1) 1( ec 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅19例例 2-2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以灯，每盏信号灯以21的概率允许或禁止汽车通

18、过的概率允许或禁止汽车通过以以X表表示汽车首次停下来时，它已通过的信号灯的盏数示汽车首次停下来时，它已通过的信号灯的盏数(设各信号设各信号灯的灯的工作是相互独立的工作是相互独立的)，求，求X的分布律的分布律 解解 以以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则p1为为每盏信号灯允许汽车通过的概率，设每盏信号灯允许汽车通过的概率，设iA=在第在第i盏灯前汽盏灯前汽车车被被禁止通过禁止通过，4, 3, 2, 1i，则则 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅20pAPXP)(01， ppA

19、APXP)1 ()(121， pppppAAAPXP2321)1 ()1)(1 ()(2， ppppppAAAAPXP34321)1 ()1)(1)(1 ()(3， 44321)1 ()1)(1)(1)(1 ()(4pppppAAAAPXP， 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅21X 0 1 2 3 4 kp p pp)1 ( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1 (p 当当p=21时，得时，得 X 0 1 2 3 4 kp 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 2.2 离散型随机变量及其分

20、布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅222.2 离散型随机变量及其分布例例2-3 一盒中有一盒中有5只球，编号为只球，编号为1-5，一次同时取，一次同时取3只，以只，以X表示表示3只球中的最大号码，试写出随机变量只球中的最大号码，试写出随机变量X的分布。的分布。解：解：X的所有可能取值为的所有可能取值为3,4,5.X的概率分布表为的概率分布表为232325352345(3)/0.1, (4)/0.3(5)/0.6( 1 0.1 0.3)P XCCP XCCP XCC X 3 4 5 kp 0.1 0.3 0.6 /147/1472022年年4

21、月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅23常见的离散型随机变量的分布律常见的离散型随机变量的分布律 1. (0-1)分布分布(两点分布两点分布) 定义定义 2.32.3 设随机变量设随机变量X只可能取只可能取 0 和和 1 两个值， 它的两个值， 它的分布律是分布律是 kkppkXP1)1 (，1, 0k (10 p) ， (2-2) 则称则称X服从服从(0(0- -1)1)分布分布或或两点分布两点分布，记作，记作), 1 (pbX或或) 1, 0(X分布分布 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅

22、24(0-1)分布的分布分布的分布表表为为： X 0 1 kp p1 p 对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素(试验结果只有两种可能，非此即彼试验结果只有两种可能，非此即彼)，即，即,21eeS ，则总，则总可以定义一个服从可以定义一个服从(0-1)分布的随机变量分布的随机变量 21,1,0)(eeeeeXX 来描述这个随机试验的结果来描述这个随机试验的结果 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅25例例 2-4 抽查抽查 50 件产品， 其中有件产品， 其

23、中有 45 件合格品，件合格品， 5 件次品 从件次品 从中任取一件，设随机变量中任取一件，设随机变量X为为 取得次品取得合格品,1,0X， 试求试求X的分布律的分布律 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅26解解：取得合格品的概率即取得合格品的概率即10950450XP， 取得次品的概率即取得次品的概率即1015051XP， 服从服从9 . 0109p的的(0-1)分布分布 2.2 离散型随机变量及其分布 本例中抽取结果只有两种可能：合格品、次品，本例中抽取结果只有两种可能：合格品、次品，非此即彼非此即彼 。注意

24、/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅272. 二项分布二项分布 前面在讨论概率的统计定义时，曾经举例说明，在前面在讨论概率的统计定义时，曾经举例说明，在相同条件下进行大量的重复观察或试验，随机现象的统相同条件下进行大量的重复观察或试验，随机现象的统计规律就可以呈现出来因而对某一个试验独立地重复计规律就可以呈现出来因而对某一个试验独立地重复进行进行n次，这是在概率论的研究中有着广泛应用的一种概次，这是在概率论的研究中有着广泛应用的一种概率模型率模型 n次独立重复试验次独立重复试验，是具有下列特点的，是具有下列特点的n次重复试验：次重复试验：(1)

25、(1)每次试验条件都相同；每次试验条件都相同；(2)(2)各次结果互不影响各次结果互不影响( (每次试验的结果出现的概率都不每次试验的结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果依赖其他各次试验的结果)各试验相互独立各试验相互独立2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅28特别特别地地，如果每次试验的可能结果只有两个，如果每次试验的可能结果只有两个(A与与A，且，且pAP)(，qpAP1)()的的 n 次次重复独立试验，称之为重复独立试验，称之为n 重贝努利重贝努利(Bernoulli)试验试验，或称为，或称为贝努利概型贝

26、努利概型 ( (有放回抽样试验有放回抽样试验) )从有一定次品率的一批产品中逐从有一定次品率的一批产品中逐件地抽取件地抽取n件产品，如果每次取出后都立即放回这批产品件产品，如果每次取出后都立即放回这批产品中再抽下一件，则可以把每取一件产品作为一次试验中再抽下一件，则可以把每取一件产品作为一次试验 由于每次取出后立即放回这批产品中去再抽下一件，所以由于每次取出后立即放回这批产品中去再抽下一件，所以 (1)(1)每次抽取面对的产品的次品率是相同的，且试验可能每次抽取面对的产品的次品率是相同的，且试验可能结果只有取到次品与取到正品；结果只有取到次品与取到正品； 因此，这是每次试验结果只有两个的因此，

27、这是每次试验结果只有两个的n次重复独立试验次重复独立试验n重贝努利试验重贝努利试验 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅29以以X表示表示 n 重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数， 则发生的次数， 则X是一个随机变量 显然它的所有可能取值为是一个随机变量 显然它的所有可能取值为n, 2, 1, 0 由由贝努利概型知， 在贝努利概型知， 在n次试验中， 事件次试验中， 事件A在指定的在指定的k次试验中次试验中发生发生(例如指定在前例如指定在前k次发生次发生)，其余，其余kn次试验中不发生次试验中不发生的

28、概率为的概率为 knknkknkkqpAPAPAPAPAPAAAAAP)()()()()()( 1211212.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅30由于由于 n 次试验中次试验中A发生发生k次的方式共有次的方式共有knC种， 而这种， 而这knC种方式对应种方式对应knC个事件， 其中任何一个发生都导致事件个事件， 其中任何一个发生都导致事件在在 n次试验中，事件次试验中，事件A恰好发生恰好发生 k 次次发生，且这发生，且这knC个事件又个事件又是互斥的，则由概率的加法公式得是互斥的，则由概率的加法公式得 knkk

29、nqpCkXP ， ), 2, 1, 0(nk， (2-3) 显然，显然，0 kXP，利用牛顿二项式定理，可得，利用牛顿二项式定理，可得 1)(00nnkknkknnkqpqpCkXP 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅31可见，可见，(2-3)式正是随机变量式正是随机变量X的分布律注意到的分布律注意到knkknqpC), 2, 1, 0(nk正好是二项式正好是二项式nqp)(的展开式中的展开式中的出现的出现kp的项，故称此公式为二项概率公式，随机变量的项，故称此公式为二项概率公式，随机变量X所所服从的分布称为二

30、项分布服从的分布称为二项分布 2.2 离散型随机变量及其分布 二项分布是需要重点掌握的一个离散型分布，请二项分布是需要重点掌握的一个离散型分布，请看下面的定义。看下面的定义。注意/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅32若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为 knkknknkknqpCppCkXP)1 (， nk, 2, 1, 0， (2-4) 则则称称X服从参数为服从参数为n，p的的二项分布二项分布，记作，记作),(pnbX或或( , )XB n p 定义定义2.4 特别地，当特别地，当1n时时，二项分布退化，二项分布退化为两点分布为两点分

31、布 kkppkXp1)1 (，1, 0k 因而，因而，两点分布是二项分布的特殊情况两点分布是二项分布的特殊情况 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅33二项分布的图像变化二项分布的图像变化2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅34解解：因为这是有放回因为这是有放回地地取取 3 次，因此，这次，因此，这 3 次试验的条件次试验的条件完全相同且独立，它是贝努利试验依题意，每次试验取完全相同且独立，它是贝努利试验依题意，每次试验取到次品的概率为

32、到次品的概率为 0.05，设设X为所取的为所取的 3 个中的次品数，则个中的次品数，则(3, 0.05)Xb，于是，所求概率为，于是，所求概率为 例例2-5 已知已知100个产品中有个产品中有5个次品，现从中有放回地取个次品，现从中有放回地取3次，次，每次任取每次任取1个，求在所取的个，求在所取的3个中恰有个中恰有2个次品的概率个次品的概率007125. 0)05. 01 ()05. 0 (223223CXP 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅35例例2-6 一份考卷中有一份考卷中有10道选择题，每题有道选择题，

33、每题有4个可能答案，个可能答案，其中只有一个答案是正确的其中只有一个答案是正确的 (1)某学生随机猜测，问他至少能答对某学生随机猜测，问他至少能答对2题的概率及答题的概率及答对题数的分布律对题数的分布律(2)若一人答对若一人答对6题，则推测他是猜对的还是有答题能题，则推测他是猜对的还是有答题能力的力的 解解： (1)设设X表示该学生靠猜测答对的题数，则表示该学生靠猜测答对的题数，则 1 (10, )4Xb 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅36分布律为分布律为kkkCkXP1010)411 ()41(，10, 2

34、, 1, 0k (2) 016. 0)411 ()41(66106610CXP 单靠猜测答对单靠猜测答对6道题的可能性是道题的可能性是0.016，概率非常小，概率非常小，由实际推断原理，可推测此学生是有答题能力的由实际推断原理，可推测此学生是有答题能力的 2.2 离散型随机变量及其分布0010111011010(2 )1(0)(1)11111() (1)() (1)0.7564444PXPXPXCC/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅37解解： (1)用用X表示发生事故的次数， 则表示发生事故的次数， 则 (1500, 0.0001)Xb 例例

35、2-72-7 某一交通道口每天有大量汽车通过，设每辆汽车在某一交通道口每天有大量汽车通过，设每辆汽车在每天某段时间内发生事故的概率是每天某段时间内发生事故的概率是0.00010.0001，今在该段路口的，今在该段路口的某个时间段内有若干辆汽车通过，求某个时间段内有若干辆汽车通过，求(1)(1)若有若有15001500辆汽车通过，辆汽车通过，不发生事故及发生事故次数小于不发生事故及发生事故次数小于2 2的概率；的概率；(2)(2)若有若有2000020000辆汽辆汽车通过，则至少发生一次事故的概率车通过，则至少发生一次事故的概率 8607. 0)0001. 01 ()0001. 0(015000

36、01500CXP； 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅38(2) 用用X表示发生事故的次数表示发生事故的次数，则则)0001. 0,20000( bX 8647. 0)0001. 01 ()0001. 0(1011 200000020000CXPXP 102XPXPXP .9898. 0)0001. 01 ()0001. 0()0001. 01 ()0001. 0(115001115001500001500CC 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有B

37、Y张学毅张学毅39 上例中每辆车发生事故的概率非常小，当某段时间上例中每辆车发生事故的概率非常小，当某段时间通过汽车为通过汽车为1500辆时，发生事故的可能性还是很小，辆时，发生事故的可能性还是很小，但是当汽车量达到但是当汽车量达到20000辆时，则发生事故的可能性达辆时，则发生事故的可能性达到到0.8647，已经非常可能，可以计算如果流量达到，已经非常可能，可以计算如果流量达到30000辆则至少发生一次事故的可能性就达到辆则至少发生一次事故的可能性就达到0.95，几，几乎总有发生了。此例也告诉大家小概率事件不可忽视。乎总有发生了。此例也告诉大家小概率事件不可忽视。 例例2-8 设每颗子弹打中

38、飞机的概率为设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在，问在500发发子弹中打中飞机的最大可能次数是多少？并求其相应子弹中打中飞机的最大可能次数是多少？并求其相应的概率。的概率。2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅40应注意应注意，对于，对于10 p，当，当n值相当大时，即便是最可能成值相当大时，即便是最可能成功次数功次数0k，发生的概率也相当小当，发生的概率也相当小当n时，这个概率时，这个概率趋于趋于 0对于其它的对于其它的k，发生的概率自然就更小了，发生的概率自然就更小了 2.2 离散型随机变量及其分布/147/

39、1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅41解解： (1)每年保险公司收入为每年保险公司收入为 250012=30000(元元)， 记， 记X为为2500 人在一年中的死亡人数，则人在一年中的死亡人数，则 (2500, 0.002)Xb保险保险公司应赔付公司应赔付 2000X元，要使保险公司亏本，则必须元，要使保险公司亏本，则必须2000X30000,即即X15(人人) 例例2-9 保险事业是最早使用概率论的部门之一保险公司为了保险事业是最早使用概率论的部门之一保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率，下面是典型的问题估计企业的利润，需要计算各种各

40、样的概率，下面是典型的问题之一之一设在保险公司里有设在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险在一年里每个人死亡的概率为保险在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人，每个参加保险的人在每年一月一日付在每年一月一日付12元保险费，而在死亡时其家属可到保险公司元保险费，而在死亡时其家属可到保险公司领取领取2000元赔偿金求：元赔偿金求：(1)一年内保险公司亏本的概率是多少？一年内保险公司亏本的概率是多少？(2)一年内保险公司获利不少于一年内保险公司获利不少于10000元的概率是多少？元的概率是多少？ 2.2 离散型随机变量及其分

41、布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅42故所求为故所求为 25001625002500)002. 01 ()002. 0(15kkkkCXP (2) 保 险 公 司 获 利 不 少 于保 险 公 司 获 利 不 少 于 10000 元元 ， 意 味 着意 味 着30000-2000X10000，即即10X， 10025002500)002. 01 ()002. 0(10kkkkCXP 直接计算这些数值相当困难直接计算这些数值相当困难 下面先给出一个当下面先给出一个当n很大，很大，p又很小而且又很小而且np的值较适中时的近似计算公式的值较适中时

42、的近似计算公式更一般的近更一般的近似计算将在第五章给出似计算将在第五章给出 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅43定理定理 2.1 2.1 (泊松泊松(Poisson)定理定理)对于二项分布对于二项分布),(npnb，如，如果果nnnplim，则，则 ekppCkknnknknn!)1 (lim，nk, 2, 1, 0 (2-5) 证证 记记nnnp，当，当1k时，有时，有 knnknknnknknnnkknnnppC1!) 1() 1()1 ( knnknnnknnk1112111!， 2.2 离散型随机变量及

43、其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅44由于对于固定的由于对于固定的k有有 kknnlim，enknnn1lim， 及及 1112111limnknnn， 因此因此 ekppCkknnknknn!)1 (lim 当当0k时，显然有时，显然有 enppCnnnnnn)1 ()1 ()(00)(n， 定理得定理得证证 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅45定理表明，如果定理表明，如果),(pnbX，则当，则当n很大，很大，p又很小又很小(一一般般1 . 0p)时

44、，有时，有 ekppCkXPkknkkn!)1 ( (2-6) 其中其中np 一般地，为了计算方便，针对不同的一般地，为了计算方便，针对不同的和和x，对和式，对和式xkkek!的值列出表格的值列出表格，见，见附录表附录表 2 对 于 例对 于 例2-8 ，n=2500很 大 ，很 大 ，p=0.002很 小 ，很 小 ，5002. 02500，因此可用泊松定理近似计算，因此可用泊松定理近似计算 实用实用中中，100,10nnp时时，近似近似效果效果就就很很好好。 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅46000069

45、. 0!5152500165kkkeXP， 25001125002500)002. 01 ()002. 0(110kkkkCXP 2500115986. 0!51kkke 可见，一年内保险公司亏本的概率只有可见，一年内保险公司亏本的概率只有0.000069，而一年内获利不少于而一年内获利不少于10000元的概率是元的概率是0.986 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅47解解： 由题意知由题意知 (300,0.001)Xb， 因， 因n=300=300较大， 而较大， 而p=0.001=0.001较小，故可利用泊

46、松定理计算，这里较小，故可利用泊松定理计算，这里 300 0.0010.3np， 1012XpXpXp 037. 03 . 013 . 03 . 0ee 例例2-10 一本一本300页的书，每页出现错别字的概率等可能地页的书，每页出现错别字的概率等可能地为为0.001，求在给定的一页上至少有两个错别字的概率，求在给定的一页上至少有两个错别字的概率 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅48如果随机变量如果随机变量X的可能取值为的可能取值为 0，1，2，取各值的，取各值的概率为概率为 !kekXPk，, 2, 1, 0

47、k (2-7) 其其中中0为常数， 则称为常数， 则称X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布， 记为， 记为( )X 3. 泊松分布（泊松分布（D.Poisson 1781-1840) 定义定义2.5 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅49泊松分布的图像变化泊松分布的图像变化2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅50二项分布逼近泊松分布二项分布逼近泊松分布2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日

48、星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅51易知易知 1 0 kXP，, 2, 1, 0k； 2 1!000eekekekXPkkkkk 泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件发生频泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件发生频数的概率分布情况的一个数学模型例如，飞机被击中数的概率分布情况的一个数学模型例如，飞机被击中的子弹数；一本书一页中的印刷错误数；某地区在一天的子弹数；一本书一页中的印刷错误数；某地区在一天内邮递遗失的信件数；某一地区一个时间间隔内发生交内邮递遗失的信件数；某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数；一年内暴雨出现在夏季的次数；一天中通事故的次数；一年内暴雨出现在夏季的次数；一

49、天中拨错号的电话呼叫次数；数字通讯中传输数字时发生误拨错号的电话呼叫次数；数字通讯中传输数字时发生误码的个数等等，这类随机变量都近似服从泊松分布码的个数等等，这类随机变量都近似服从泊松分布 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅52 例例 2-11 放 射 性 元 素 在 一 段 时 间 内 放 射 的 粒 子 数放 射 性 元 素 在 一 段 时 间 内 放 射 的 粒 子 数)(X，5 . 4问在一段时间内最可能放射多少个粒问在一段时间内最可能放射多少个粒子？其概率是多少？子？其概率是多少？ 解解：由泊松分布由泊

50、松分布 4.54.5,0,1,2,!keP Xkkk。 因为因为5 . 4，所以当，所以当4k时概率最大，即在一段时间内放时概率最大，即在一段时间内放射射 4 个粒子的可能性最大其概率为个粒子的可能性最大其概率为 19. 0! 45 . 445 . 4eXPk 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅53例例 2-12 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数录知道，某种商品每月的销售数可以用参数5的泊松分的泊松分布来描述，为了以布来描述

51、，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少件？月底至少应进该种商品多少件？ 解解： 设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X， 已知， 已知X服从服从参数参数5的的泊松分布设商店在月底应进该种商品泊松分布设商店在月底应进该种商品m件，求满足件，求满足0.95P Xm的最小的的最小的m，即，即 5050.95!kmkek 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅54查表，得查表，得 905968172. 0!5kkke，805931906. 0!5kkke

52、于是，得于是，得9m件件 2.2 离散型随机变量及其分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅552.2 离散型随机变量及其分布几何分布：几何分布：进行独立重复试验，设每次成功的概率为进行独立重复试验，设每次成功的概率为p，失败的，失败的概率为概率为1-p(=q)(0p 183.956h 所 以 得即故 车 门 的 高 度 至 少 应 为 184cm,才 能 保 证男 子 与 车 门 碰 头 的 概 率 在 0.01以 下 。/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅119由由( )x图形的对称性可知，

53、图形的对称性可知，zz1 图图2-18 比 如 ， 取比 如 ， 取005. 0， 由 上， 由 上分 位 点 的 定 义 ， 要 求分 位 点 的 定 义 ， 要 求zXP，由此得，由此得995. 01zXP，查标准，查标准正态分布表，可得正态分布表，可得2.576z。 2.4 连续型随机变量及其概率密度/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅120数理统计中还用到双侧数理统计中还用到双侧分位点，定义如下分位点，定义如下： 设设) 1 , 0( NX， 若， 若z满足条件满足条件|2/zXP，10，则称点则称点2/z为标准正态分布的为标准正态分布

54、的双侧双侧分位点分位点(如图如图 2-19)。 图图2-19 2.4 连续型随机变量及其概率密度/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅1212.4 连续型随机变量及其概率密度由定义易知，由定义易知， 2/12/ zXP，2/z的值可由的值可由2/1)(2/ z得得到比如，取到比如，取01. 0， 2/01. 01)(005. 0 z995. 0，576. 2005. 02/ zz /147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅1222.4 连续型随机变量及其概率密度【例例4-84-8】在电源电压不超过在电源

55、电压不超过200V200V、200V-240V200V-240V和超过和超过240V240V三种三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.0010.1,0.001和和0.20.2。假。假设电压服从正态分布设电压服从正态分布N N（220,625220,625），试求：），试求：（1 1）该电子元件损坏坏的概率）该电子元件损坏坏的概率P1;P1;（2 2）该电子元件损坏时电压在）该电子元件损坏时电压在200V-240V200V-240V的概率的概率P2P2。解：解：设设A1A1表示电压不超过表示电压不超过200V200V的事件，的事件，A2A2表示电

56、压在表示电压在200V-240V200V-240V的事件，的事件，A3A3表示电压超过表示电压超过240V240V的事件，的事件，B B表示电子元件损坏坏的表示电子元件损坏坏的事件。由题意知事件。由题意知X X服从服从N N（220,625220,625）。）。220200220( 1)(200)()( 0.8)25251(0.8)10.78810.2119XP AP XP /147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅1232.4 连续型随机变量及其概率密度(1)由题意知由题意知P(B/A1)=0.1，P(B/A2)=0.001，P(B/A3)=0.2

57、(2)240220200220(2)(200240)()()2525(0.8)( 0.8)0.5762(3)10.21190.57620.2119P APXP A 311( )( ) ( /) 0.2119 0.1 0.5762 0.001 0.2119 0.2 0.0642iPP BP Ai P B Ai( 2) (/2)0.57620.0012( 2 /)0.009( )0.0642P AP BAPP ABP B/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅124在实际中，往往需要求随机变量函数的分布比如球在实际中，往往需要求随机变量函数的分布比如球

58、体直径为随机变量体直径为随机变量X已经测得， 求该球体的体积已经测得， 求该球体的体积361XY的概率分布情况的概率分布情况 本节主要讨论已知本节主要讨论已知X的概率分布如何来求的概率分布如何来求X的函数的函数的概率分布 设随机变量的概率分布 设随机变量X，)(xgy 是已知函数， 当是已知函数， 当)(xg满足一定条件满足一定条件(充分条件：连续函数充分条件：连续函数)时，时，)(XgY 仍是随仍是随机变量机变量 2.5 随机变量函数的分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅125设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 , 2, 1,kp

59、xXPkk， 给定函数关系给定函数关系)(xgy ， 则， 则)(XgY 仍是离散型随机变量仍是离散型随机变量 一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布 它的分布律它的分布律 ), 2, 1,()()(kipxXPyYPikikyxgkyxgki (5-1) 2.5 随机变量函数的分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅126上式说明上式说明： 当当iiyxg)(取值各不相同时，取值各不相同时， iiipxXPyYP； 而当而当iiyxg)(有相同的取值时，有相同的取值时，将对应的将对应的不同的不同的ix的概率求的概率求和和

60、 2.5 随机变量函数的分布注意/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所有版权所有BY张学毅张学毅127例例 5-1 设随机变量设随机变量 X的分布律为的分布律为 X -2 -1 0 1 2 kp 0.05 0.1 0.35 0.3 0.2 (1) 求求12XY的分布律；的分布律； (2) 求求12 XY的分布律的分布律 解解：(1) Y的所有可能取值为的所有可能取值为-3，-1，1，3，5，分布律为，分布律为 Y -3 -1 1 3 5 kp 0.05 0.1 0.35 0.3 0.2 2.5 随机变量函数的分布/147/1472022年年4月月25日星期一日星期一版权所