2016数学一模新定义题型

1、图1新定义题型(2016东城一模)29.对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：若存在过点P的直线l交。C于异于点P的A,B两点，在P,A,B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为。C的相邻点，直线l为。C关于点P的相邻线.(1)当。O的半径为1时，分别判断在点D(-,-1),E(0,J3),F(4,0)中，是O。的相邻点,4有；请从O中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出。O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.点P在直线y=-x+3上，若点P为。O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；3-(2)OC的圆心在x轴上，半径为1,直线y=-Xx+2j3与

2、x轴，y轴分别交于点3M,N,若线段MN上存在。C的相邻点P,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.备用图1备用图229.解:(1) D,E.2分连接OD,过D作OD的垂线交。O于A,B两点.(2) ;。的半径为1,所以点P到。O的距离小于等于3,且不等于1时时，符合题意.丁点P在直线y=x+3上，0Mxp<3.6分(3) 0<xC<9.8分(2016西城一模)29.在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W,如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”.(1)如图1,已知点A(13),B(1,1)

3、,连接AB在R(1,4),P2(1,2),鸟(2,3),R(2,1)这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；线段AB1PAB;AB1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段AB1向上或向下平移时，都会有ABi上的点成为关于线段AB的阳光点若ABi的长为4,且点A在B的上方，则点A的坐标为;(2)如图2,已知点0(1,73),eC与y轴相切于点D.若eE的半径为3,圆心E在直线l:y=通+4J3上，且eE上的所有点都是关于eC的“阴影点”，求圆心E的横坐标的取值范围；(3)如图3,eM的半径是3,点M到原点的距离为5.点N是eM上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面内的两个动点，且eM

4、上的所有点都是关于ANQT的“阴影点”，直接写出ANQT的周长的最小值.29.(I)d汽P.2分2(2.6>.-3分阳(2)m-xtami.iQK栩初时出加4为r.连败EF. Of9i>骗相切干点工f：F17WL G>£的整为;.二t:t-义 喇点E的横空标岭4分情M二：加曲2.设川核/分WP-S.Jr&c.»,AtiD.C".过点。行。的8条切缓，从切笈为/Ji线。/。"或/女JM，OE。"线01和切时，现A£作尤火，yg千依X. QC写了栩切干点D. 启的安馀为”.万).二UnZCOD=zcona3<

5、;r.JOCUO/相场于点人:.za=z.o)n=w.:.£HOJ二zCOi£8。=60*. 线/：,一5."T分»T,，S.y“攵于/G.儿 .jar；(4.o)./f(o.4yr>.uC名邛/.ZOHC=30*. zOJH.U»8-zOHJWThgxnj. Q£。线,"引切.切点力打，V在RtAOHJ中.HJ-OHusL(WJs6./.HE=H一口=未一.-.KE=9E=三Q他时点宓的坐标吟.5分4M知，点八他V卜，从愉此一中的位激过功到靖及二中的位富时，耳服足题1Q直，所以白£的假生标出版偷抢用呜丁。分

6、黑-8分（2016海淀一模）29.在平面直角坐标系xOy中，。C的半径为r,P是与圆心C不重合的点，点P关于。C的限距点的定义如下：若P'为直线PC与。C的一个交点，满足rEPP'E2r,则称P'为点P关于。C的限距点，右图为点P及其关于。C的限距点P,的示意图.（1）当。O的半径为1时.5分别判断点M（3,4）,Ng,。），T（1,也关于。O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；点D的坐标为（2,0）,DE,DF分别切。O于点E,点F,点P在DEF的边上.若点P关于。的限距点P'存在，求点P'的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中D,E,F三点不变，点P

7、在4DEF的边上沿E-F-D-E的方向运动，OC的圆心C的坐标为（1,0）,半径为r.请从下面两个问题中任选一个作答.温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P关于。C的限距点P'存在，且P'随点P的运动所形成的路径长为nr,则r的最小值为.若点P关于。C的限距点P'不存在，则r的取值范围为.1,0).DF分别切。O于点E,点F,29.解：（1）点M,点T关于。O的限距点不存在；点N关于。O的限距点存在，坐标为（点D的坐标为（2,0）,OO半径为1,DE,如图所示，不妨设点E的坐标为江），点F的坐标切点坐标为（J，/），（；，-

8、§）.§分则e'（-2，-f（-；，为（1,-Y3）,EO,FO的延长线分别交。O于点E',F',22设点P关于。O的限距点的横坐标为x.I.当点P在线段EF上时，直线PO与E'F'的交点P'满足1MPPM2,故点P关于1OO的限距点存在，其横坐标X满足1ExE.,5分2n.当点P在线段DE,DF(不包括端点)上时，直线PO与。O的交点P'满足0<PP'<1或2<PP'<3,故点P关于。O的限距点不存在.出.当点P与点D重合时，直线PO与。的交点P'(1,0)满足PP&#

9、39;=1,故点P关于。O的限距点存在，其横坐标X=1.1综上所述，点P关于。O的限距点的横坐标X的氾围为-1ExM或x2=1.,6分(2)问题1：,8分一一一1一问题2:0<r<-.,7分6(2016通州一模)29.对于OP及一个矩形给出如下定义：如果。P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称。P是该矩形的“等距圆”.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为(J3,2),顶点C、D在x轴上，且OC=OD.(1)当。P的半径为4时，在Pi(0,-3),P2(2J3，3),P3(-2V3，1)中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是;如果点P在直线y=_

10、Y3x+1上，且。P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的3坐标；(2)已知点P在y轴上，且。P是矩形ABCD的“等距圆”，如果。P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围.yiBACODx29.(1)当。P的半径为4时，Pi(0,T),P2(2百，3);,2分；，3如果点P在直线y=_y3x+1上，且。P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐3标；解：由题意可知：B(Y22)、D(0).3发现直线y=-3-x+l经过点B、D.,3分;直线y=Yx+1与y轴的交点E为(0,1),3.矩形ABCD且OC=OD.点E到矩形ABCD四个顶点距离相等.PE=4,BF®DOE.BF

11、=OD=*,0E=EF=1,2ED2一2=E020D2=12.3=4,yC0MFED=2,4分;EB=ED=2,当点P在x轴下方时，可证DNPDOE,.dn=od=、3,oe=pn=1,点p的坐标为（2J3,-1）;,5分；当点P在x轴上方时，可证EPMsEBF,PM=2BF=2、,3,ME=2EF=2,，点P的坐标为（一2j3,3）.,6分;（2）1-出<m<1+73且mw1.,8分.(2016顺义一模)29.在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)的“变换点”Q的坐标定义如下：当a至b时，Q点坐标为(b,-a)；当a<b时，Q点坐标为(a,-b).(1)求(-2,3),(

12、6,-1)的变换点坐标；(2)已知直线l与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,2).若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W,请画出图形W,并简要说明画图的思路；32(3)右抛物线y=-x+c与图形W有三个交点，请直接写出c的取值范围.4画图的思路：1 .由点A,B坐标，求出直线l的解析式;2 .求出直线l上横纵坐标相等的点C坐标，求出它的变换点C的坐标;3 .在直线l上点C两侧各选一点E,F,求出它们的变换点E,F;''''4 .作射线CE,CF.-.f分射线CE和CF组成的图形即为所求.,、25(3)C=0c=.：.8分12(2016朝阳

13、一模)29.在平面直角坐标系xOy中，A(t,0),B(t+百，0),对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当/APB=60°时，称点P为AB的“等角点”.(1)若t=-昱,在点C，0,3I,D,1j,E,-中，线段AB的“等角点”是；222JJ222)(2)直线MN分别交x轴、y轴于点M、N,点M的坐标是(6,0),/OMN=30°线段AB的“等角点”P在直线MN上，且/ABP=90°,求点P的坐标；在的条件下，过点B作BQXPA,交MN于点Q,求/AQB的度数；若线段AB的所有“等角点”都在MON内部，则t的取值范围是.4-32-12345678X1,分2

14、8.解：(1)如图，补全图1.3分/DBA=90°.(2)过点P作PE/AC交AB于点EZPEB=/CAB.AC=BC,ZCBA=ZCAB.PEB=/PBE.PB=PE.又./BPD+ZDPE=/EPA+/DPE=a,.BPD=/EPA.PA=PD,.PDBPAE.4分_11/PBA=NPEB=-(180°-«)=90s«,22_1ZPBD=/PEA=180s-ZPEB=90°+-«2/DBA=/PBD/PBA=u.5分(3)求解思路如下：a.作AHXBCTH;b.由/C=30o,AC=2,可得AH=1,CH=J3,BH=2J3,勾股

15、定理可求AB;6分c.由/APC=135o,可彳导/APH=45o,AP=、.2;d.由/APD=ZC=30o,AC=BC,AP=DP,可得PAACAB,由相似比可求AD的长.7分29.解：(1)C,D.:分(2)如图，./APB=60°,/ABP=90PAB=30°,又./OMN=30°,PA=PM,AB=BM.AB=3,BM=,3.PB=1.P(6-5/3,1).;BQ±AP,且/APB=60o,./PBQ=30o./ABQ=60o./BMQ=/MQB=30o.5分BQ=BM=AB.ABQ是等边三角形.分6/AQB=60o.同理，当点N在x轴下方时，

16、可得P(6+J3,1),ZAQB=90o.7分分8(2016房山一模)29.在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点A,B,C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A,B,C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A,B,C的外延正方形，在点A,B,C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A,B,C的最佳外延正方形.例如，图1中的正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3CD3都是点A,B,C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A,B,C的最佳外延正方形.5-4D2321y54-IH.1oA123Ai(图1)(图2)(1)如图1,点A(-1,0),B(2

17、,4),C(0,t)(t为整数).如果t=3,则点A,B,C的最佳外延正方形的面积是；如果点A,B,C的最佳外延正方形的面积是25,且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值；(图3)(图4)(2)如图3,已知点M(3,0),N(0,4),P(x,y)是抛物线y=x2-2x-3上一点，求点M,N,P的最佳外延正方形的面积以及点P的横坐标x的取值范围；6(3)如图4,已知点E(m,n)在函数y=(x>0)的图象上，且点D的坐标x为(1,1),设点O,D,E的最佳外延正方形的边长为a,请直接写出a的取值范围.29.解:(1)16;2分5或-1;3分(2)以ON为一边在第一象限

18、作正方形OKIN,如图3点M在正方形OKIN的边界上，抛物线一部分在正方形OKIN内，P是抛物线上一点，.正方形OKIN是点M,N,P的一个面积最小的最佳外延正方形，点M,N,P的最佳外延正方形的面积的最小值是16;.点M,N,P的最佳外延正方形的面积S的取值范围是：S之165分满足条件的点P的横坐标x的取值范围是X#36分(3)a±768分(2016丰台一模)29.如图，点P(x,yi)与Q(x,y2)分别是两个函数图象Ci与C2上的任一点.当a今。时，有-1或1-yzwi成立，则称这两个函数在a虫位上是"相邻函数'；否则称它们在a<XG上是“非相邻函数”.

19、例如，点P(x,yi)与Q(x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点，当-3a=1时，y=y2=(3x+1)-(2x-1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在-3<x/1上的性质，得到该函数值的范围是-1可W1,所以-1可y2Wl成立，因此这两个函数在-3虫01上是“相邻函数”.(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在一2WxW0上是否为“相邻函数”，并说明理由；(2)若函数y=x2-x与y=x-a在0&x<2上是“相邻函数：求a的取值范围；(3)若函数尸亘与y=2x+4在1aV上是“相邻函数；直接写出a的最大值与最小值.x29.解：(1)是

20、“相邻函数”.1分理由如下：y1-y2=(3x+2)_(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1.,y=x+1在2WxW0上随着x的增大而增大,，当x=0时，函数有最大值1,当x=-2时，函数有最小值-1，即一1MyM1.1y1-y21.3分即函数y=3x+2与y=2x+1在2ExE0上是“相邻函数”.(2) y1_y2=(x2x)(xa)=x22x+a,构造函数y=x22x+a.一一22-y=x-2xa=(x-1)(a-1),，顶点坐标为(1,a-1).又.抛物线y=x22x+a的开口向上，当x=1时，函数有最小值a-1,当x=0或x=2时，函数有最大值a,即a-1<y<a,函数y

21、=x2*与丫=xa在0ExW2上是“相邻函数”，a<1,-1“7?1/，a-1-1.0<a<1.6分(3) a的最大值是2,a的最小值1.8分(2016门头沟一模)29.如图1,P为/MON平分线OC上一点，以P为顶点的/APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果/APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP：我们就把/APB叫做/MON的关联角.(1)如图2,P为/MON平分线OC上一点，过P作PBXON于B,AP±OC于P,那么/APBZMON的关联角(填“是”或“不是”).(2)如图3,如果/MON=60°,OP=2,/APB是/MON的关联角

22、，连接AB,求AOB的面积和/APB的度数；如果/MON="(0°va<90°),OP=m,/APB是/MON的关联角，直接用含有“和m的代数式表示AOB的面积.2(3)如图4,点C是函数y=2(x>0)图象上一个动点，过点C的直线CD分别交xx轴和y轴于A,B两点，且满足BC=2CA,直接写出/AOB的关联角/APB的顶点P的坐标.图429.(本小题满分8分)解fV)>/II,(2)如图，过点A作AHLOB于点H.一/APB是/MON的关联角，0P=2,.OAOB=OP2=4.在RtAAOH中,AAOH=90°,AHsin.AOH=A

23、H,OAAH=0Asin/AOH.11-Saaob=OBAH=OBOAsin.AOH二21一2OP2sin6012222=43.,.一/APB是/MON的关联角，.OAOB=OP2,即0A=OPOPOB点P为/MON的平分线上一点，1/AOP=ZBOP=-父60=302.AO。APOB/OAP=ZOPB.ZAPB=ZOPB+ZOPA=ZOAP+ZOPA=180°30°=150°.,®Saaob=1m2since,2在Gi上任外一点P,在G2上任婴一G1,G2的“密距”，用字母d表示；G1,G2的“疏距”，用字母f表示.例为石，点0与线段MN的“疏距”(3

24、)P点的坐标为'红，逗J,I巨，_豆(2016平谷一模)29.对于两个已知图形Gi,G2,点Q,当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形如，当M(1,2),N(2,2)时，点0与线段MN的“密距”为22.(1)已知，在平面直角坐标系xOy中，A(2,0),B(0,4),C(2,0),D(0,1),点O与线段AB的“密距”为“疏距”为;线段AB与COD的“密距”为“疏距”为;(2)直线y=2x+b与x轴，y轴分别交于点E,F,以C(0,1)为圆心，1为半径作圆,当。C与线段EF的“密距”0<d<1时，求。C与线段EF的“疏

25、距”f的取值范围.29.解：(1)，疾；4;,3'、.5，2、_5，,5(2)当点F在y轴的正半轴时，如图当d=0时，f=2;,当d=1时，241,EG=1,贝UEP=2,5由op=1,得到oe=J3,.OF=2,3, .f=2.3+2, .2<f<2,3+2.,6当点F在y轴的负半轴时,当d=0时，如图2,f=&+1;,7当d=1时，如图3,QH=1,则PH=2, RtAPHFc/DRtAQEF,PF=2、5, .QF=25+1,、.5+1<f<25+1.综上所述，当0<d<1时，当点F在y轴的正半轴时，2<f<2J3+2,当点

26、F在y轴的负半轴时，J5+1<f<2j5+1.,8(2016怀柔一模)29.给出如下规定：两个图形G1和G2,点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的远距离”.请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xQy中，点A(-4,3),B(-4,-3),C(4,-3),D(4,3).请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD,直接写出线段AB和线段CD的近距离”和远距离”.4(2)设直线y=&x+b(b>0)

27、与x轴，y轴分别交于点E,F,若线段EF与四边形ABCD的近距离”是1,求它们的远距离”；(3)在平面直角坐标系xQy中，有一个矩形GHMN,若此矩形至少有一个顶点在以。为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内.将四边形ABCD绕着点。旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的远距离”的最大值是；近距离”的最小值是.y|10.9.8,7.6.5.4.3.21，n8-7-b543221Q123-1.2- 3- 4- 5,-629.解：（1）画图分1近距离”是8分2远距离”是10分(2)当EF在矩形ABCD内部时,近距离”=1,.F(0,2).4.，把F(0,2)代入y=x+b中，b=2

28、.34-直线EF的表达式为y=-x+2.3，E(一3,0).2EC=jl57,FC=V41,2 .FC>EC远距离”为J4i分当EF在矩形ABCD外部时，由题意可知：E(-15,0),F(0,10),23 EC=J565,FCZT85.44 .FC>EC远距离”为<185.分综上所述，选距离”为历或-x/T85.（3）最大值是7.7.分，最小值是1.8分（2016大兴一模）29.设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作y=f(x).在函数y=f(x)中，当自变量x=a时，相应的函数值y可以表示为f(a).

29、例如：函数f(x)=x22x3,当x=4时，f(4)=422父43=5在平面直角坐标系xOy中，对于函数的零点给出如下定义：如果函数y=f(x)在a<x<b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且f(a).f(b)y0,那么函数y=f(x)在a<x<b的范围内有零点，即存在c(a<c<b),使f(c)=0,则c叫做这个函数的零点，c也是方程f(x)=0在awxwb范围内的根.y例如：二次函数f(x)=x22x3的图象如图所示、4I观察可知：f(2)A0,f(1)Y0,则f(2).f(1)Y0.i1A所以函数f(x)=x2-2x-3在2WxW1范围内有零点

30、.:V由于f(-1)=0,所以，1是f(x)=x22x3的零点，2-1也是方程x22x3=0的根.(1)观察函数y1=f(x)的图象，回答下列问题：在aExWb范围内y1=f(x)的零点的个数是(2)已知函数y2=f(x)=73x22百(a1)x73(a22a)的零点为x1,x2且x11x2.求零点为X,x2(用a表示)；在平面直角坐标xOy中，在x轴上A,B两点表示的数是零点Xi,X2,点P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合)，在x轴上方作等边APM和等边BPN,记线段MN的中点为Q,若a是整数，求抛物线y2的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围.29. (1)V;1分1个2分(

31、2):Xi、X2是零点令-V3x2_273(a_1)x_V3(a2_2a)=0.方程可化简为x22(a-1)x(a2-2a)0.解方程，得x=-ax=-a+2.x1<x2,-a<a*2,为=-a,x2=t+2.4分:x1<1<x2,q：1-a2.-1：a：1.a是整数，.a=0,所求抛物线的表达式为y2=-、13x+2内乂5分线段PQ的长的取值范围为：弓3巾Qv1.8(2016延庆毕业)28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y),给出如下定义：,myx>0如果y'=«,那么称点Q为点P的妫川伴侣”.,-yx<0例如：点

32、(5,6)的妫川伴侣”为点(5,6),点(一5,6)的妫川伴侣”为点(5,6).(1)点(2,1)的妫川伴侣”为；3如果点A(3,1),B(1,3)的妫川伴侣”中有一个在函数y=的图象上，x那么这个点是(填直A”或熏B").(2)点M"(1,2)的“妫川伴侣”点M的坐标为；如果点N*(m+1,2)是一次函数y=x+3图象上点N的妫川伴侣”,求点N的坐标.如果点()P在函数y=x2+4(2VxQ)的图象上，其妫川伴侣”Q的纵坐标y'的取值范围是一4vy'号朝B么实数a的取值范围是.54321-5-4-3-2-10-1-2-3-4一528.解：(1)(2,1);分1点B.2分(2)M(1,2)；3分当m+1>Q即mA1时，由题意得N(m+1,2).点N在一次函数y=x+3图象上，-m+1+3=2,解得m=-2(舍)4分当m+1v0,即mv1时，由题意得N(m+1,2).点N在一次函数y=x+3图象上，m+1+3=-2,解得m=-6.5分N(5,2).6分(3)2wav2应.7分(2016燕山