二倍角公式及辅助角公式综合应用

1、二倍角的正弦二倍角的正弦cossin22sin二倍角的余弦二倍角的余弦22sincos2cos1cos222sin212利用二倍角公式求最值利用二倍角公式求最值例例1 1：求下列各式的最大值及最小正周期：求下列各式的最大值及最小正周期： (5)8sincoscoscos442xxxx2222(1)sin cos ;(2)cossin;88(3)2cos1;(4)1 2sin.2xxxxxxcossin22sin2sincossin2公式从右向左用即为：公式从右向左用即为：两边同时除以两边同时除以2 2，即得，即得2sin21cossin22sincos2cos这个公式也要求会从右向左用，即这个

2、公式也要求会从右向左用，即2cossin-cos22另外，由另外，由2cos1cos22可得：可得：2cos1cos22从而：从而：22cos1cos22cossin212)2cos1 (21sin22cos1sin22同样：同样：2sincossin22cos1cos222cos1sin22降幂升角公式降幂升角公式2sin21cossin）（2cos121cos2）（2cos121sin2化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式令令222222sincosbabxxababa15cos21.1.求下列各式的值求下列各式的值5 .22sin15cos15sin2cos.12xy ）（

3、2.2.求下列函数的最小正周期：求下列函数的最小正周期：xy2sin22）（3.3.将下列各式化为将下列各式化为的形式的形式. .Bx )sin(Axxx2cos2cossin2 .1）（xx2sin32sin21.2）（1103sin4cos2.xyxx 例2、当时，求函数的最值 及最小正周期3 4y 22例3、求函数sin x + cos x的最值及最小 正周期. 2sinx3y 22例4、 求函数sin x +cosx+ cos x的最值.12针对练习针对练习1、求下列三角函数的最值及最小正周期、求下列三角函数的最值及最小正周期11(1)2sin2 3cos(2)sincos2211(2

4、) 6cos22sin2(3)5sin1222xxxxxxxcoxx 2：（：（2010北京理）北京理） 已知函数已知函数（）求）求 的值；的值；（）求）求 的最大值和最小值。的最大值和最小值。(x)f22( )sin2sin cos3cosf xxxxx()4f4.4.已知已知 (1)(1)求求 的最小正周期及最小值；的最小正周期及最小值；(2)(2)令令 ，若，若 对任对任)(cos2cossin2)(2Rxxxxxf)(xf1)8()(xfxg)(xg 意意 恒成立，求恒成立，求 的范围的范围.36，xa(12(12分分)(2013)(2013陕西高考陕西高考) )已知向量已知向量a=

5、=（coscos x, x, ）, ,b=( sin x,cos=( sin x,cos 2x),xR, 2x),xR,设函数设函数f(xf(x)=)=ab. .(1)(1)求求f(xf(x) )的最小正周期的最小正周期. .(2)(2)求求f(xf(x) )在在 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .1230,2(2) (2) , ,8 8分分由正弦曲线由正弦曲线y=sin xy=sin x在在 上的图象知，上的图象知， , ,即即x= x= 时，时，f(xf(x) )取得最大值取得最大值1;1;当当 , ,即即x=0 x=0时，时，f(xf(x) )取得最小值取得最小值- . - .

6、1010分分所以，所以，f(xf(x) )在在 上的上的最大值和最小值分别为最大值和最小值分别为1,1, . .1212分分5x0,2x),2666 当时，(5,662x62当32x66 120,212【变题【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2014(2014朝阳模拟朝阳模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=)=(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的最小正周期及单调递减区间的最小正周期及单调递减区间. .(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )在在 上的最小值上的最小值. .2xxxsin cos cos 1.2223,42【解析【解析】(1)(1)所以函数所以函数f(

7、xf(x) )的最小正周期为的最小正周期为2.2.由由得得则函数则函数f(xf(x) )的单调递减区间是的单调递减区间是 xx1cos xf xsin cos 122211121sin xcos xsin(x).22224232kx2kkZ242，52kx2k.4452k,2kkZ.44，(2)(2)由由 ，得，得则当则当 即即x= x= 时，时，f(xf(x) )取得最小值取得最小值 . .3x427x.2443x42，54212(2014(2014福建高考福建高考) )已知函数已知函数f(xf(x)=2cosx(sinx+cosx).)=2cosx(sinx+cosx).(1)(1)求求

8、的值的值. .(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )的最小正周期及单调递增区间的最小正周期及单调递增区间. .( (本题源于教材必修本题源于教材必修4P147T11)4P147T11)【解题提示【解题提示】(1)(1)直接将直接将 代入到解析式求值代入到解析式求值.(2).(2)利利用三角恒等变换将函数用三角恒等变换将函数f(xf(x) )的解析式化简的解析式化简, ,再利用正弦再利用正弦型函数的性质求解型函数的性质求解. .5f()454f(x)=2sin xcosf(x)=2sin xcos x+2cos x+2cos2 2x x=sin 2x+cos 2x+1= =sin 2x+cos 2x+1= （1 1）(2)T= =.(2)T= =.由由 得得 所以所以f(xf(x) )的单调递增区间为的单调递增区间为 2sin(2x)1,4511f()2sin 1442sin 12.4 222k2x2k,kZ,2423kxk,kZ.88 3k,k,kZ.88解解 类问题的步骤：类问题的步骤：1. 1.利用下列公式，将利用下列公式，将y y化成化成y=y=a asin2x+sin2x+b bcos2x+kcos2x+k的形式的形式2.2.再利用辅助角公式将再利