求组合体的体积时要注意几何体的结构特征,用分割与组合

1、1111118.,.ABCABCa E FAA CCB EFB如图，设三棱柱为正三棱柱，底面边长与侧棱长均为 ，分别是的中点，求几何体的体积1,BBGEG FG解：取的中点连则EFG与三棱柱的两个底面平行且全等11B EFBB EFGBEFGVVVABFC1A1B1CEG1BBEFG平面11()3GEFSBGBGABC113SBB3312a 求组合体的体积时要注意几何体的结构特征，用求组合体的体积时要注意几何体的结构特征，用分割与组合分割与组合方法，利用体积公式进行求解。方法，利用体积公式进行求解。1.3.2球的表面积和体积球的表面积和体积柱柱体、锥体、台体的表面积体、锥体、台体的表面积各面面

2、积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图lrrrrS)(22 圆台圆台圆柱圆柱rlrS 222rlrS 2圆锥圆锥柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积Sh31V 锥体锥体h)SSSS(31V 台体台体柱体柱体ShV SS 0S知识探究（一）知识探究（一）:球的体积球的体积思考思考1:1:底面半径和高都为底面半径和高都为R R的圆柱和圆锥的体积分的圆柱和圆锥的体积分是什么？是什么？331RV 圆锥圆锥3RV 圆柱圆柱332RV 半球半球思考思考2:2:如图，对一个半径为如图，对一个半径为R R的半球，其体积与上的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？述圆柱和圆锥的体积有何大小关

3、系？思考思考3:3:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？的体积是什么？RRRR思考思考5:5:由猜想知，半径为由猜想知，半径为R R的球的体积的球的体积 ，这这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？332RV 半球半球RhRhhS1=(R2-h2)S2=R2-h2334RV 球球假设将圆假设将圆n等分，则等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO13221OAAOAAOAAnSSSS 正正多多边边形形)(2113221AAAAAApn 正正多多边边形形pC21 圆圆正正多多边边形形时时，当当CC

4、Rpn ,2221RRRS 圆圆pA3回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”他用加倍的方式他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”这样这样重复下去，就达到了重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”这是世界上最早的这是世界上

5、最早的“极限极限”思想思想第一步：分割第一步：分割O O 球面被分割成球面被分割成n n个网格，个网格，表面积分别为：表面积分别为：nSSSS.321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS.321则球的体积为：则球的体积为：nVVVVV.321iViSO OnVVVV 321, 以这些以这些“小球面片小球面片”为底，球为底，球心为顶点的心为顶点的“小锥体小锥体”的体积分的体积分别为别为第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiVO O第三步：转化为球的表面积第三步：转化为球

6、的表面积RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: S=4R2334RV 球的体积球的体积: :iSiVih的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径R RRihiSO OiV“小锥体小锥体”就越接近小棱锥。就越接近小棱锥。334RV 球球24 RS 球球 影响球的表面积及体积的只有一个元素，影响球的表面积及体积的只有一个元素，就就是是球的半径球的半径. . 例例1:圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证求证:(1)球的体积等于圆柱体积的球的体积等

7、于圆柱体积的2/3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积证明证明:(1)设球的半径为设球的半径为R,则圆柱则圆柱的底面半径为的底面半径为R,高为高为2R由由334RV球3222RRRV圆柱圆柱球VV32证明证明:(2)由由24 RS 球球2422RRRS 圆圆柱柱侧侧圆柱侧圆柱侧球球SS 例例1:圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证求证:(1)球的体积等于圆柱体积的球的体积等于圆柱体积的2/3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积例例2.2.有三个小铁球，半径分别为有三个小铁球，半径分别为1,2,31,2,3，将它们

8、，将它们重重新铸成一个大铁球，则大铁球的半径是多少？新铸成一个大铁球，则大铁球的半径是多少？3333343634334234134RV 大大解：由体积相等解：由体积相等336 R.363答：大铁球的半径是答：大铁球的半径是例例3 某街心花园有许多钢球某街心花园有许多钢球(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm3)，每每个钢球重个钢球重145kg，并且外径等于，并且外径等于50cm，试根据以，试根据以上上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心心的，请你计算出它的内径（的，请你计算出它的内径（取取3.14，结果精确，结果精确到到1cm）解：解：由于外径为由于

9、外径为50cm50cm的钢球的质量为：的钢球的质量为： 街心花园中钢球的质量街心花园中钢球的质量为为145000g，而，而145000516792，所以钢球是空心的所以钢球是空心的)(516792)250(349 . 73克克 解：解：设球的内径是设球的内径是2xcm，那么球的质量为：，那么球的质量为： 答：答：钢球是空心的其内径约为钢球是空心的其内径约为45cm14500034250349 . 733 x,42.112393 x 解得：解得：. 4 .22 x8 .442 x例例3 某街心花园有许多钢球某街心花园有许多钢球(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm3)，每每个钢球重个钢球重145k

10、g，并且外径等于，并且外径等于50cm，试根据以，试根据以上上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是空心心的，请你计算出它的内径（的，请你计算出它的内径（取取3.14，结果精确，结果精确到到1cm）例例4 把直径把直径5cm的钢球放入一个正方体的有盖纸的钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中，至少要用多少纸盒中，至少要用多少纸?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ? 解解:当球内切于正方体时，用料最省当球内切于正方体时，用料最省. 此时正方体此时正方体的棱长为球的直径的棱长为球的直径5cm,正方体的表面积正方体的表面积

11、 S=652=150(cm2)所以至少要用所以至少要用150cm2的纸的纸.例例5 一个棱长为一个棱长为5cm的正方体纸盒恰好能装入的正方体纸盒恰好能装入 一一 个球状木盒里，此时球的体积为多少个球状木盒里，此时球的体积为多少?想一想想一想: :此时正方体与球盒有什么位置关系此时正方体与球盒有什么位置关系? ?球外接于正方体球外接于正方体(即正方体的八个即正方体的八个顶点在球面上顶点在球面上)面对角线面对角线体对角线体对角线abcABC2.b2面对角线AB= a2222.ABcabc2体对角线AC=长方体体对角线的平方等于长宽高的平方和。长方体体对角线的平方等于长宽高的平方和。正方体体对角线的平方等于棱长平方的正方体体对角线的平方等于棱长平方的3倍。倍。球外接于正方球外接于正方体体(即正方体的六个即正方体的六个顶点在球面上顶点在球面上)解解:棱长为棱长为5cm的正方体的正方体的体对角线长的体对角线长5 3d即为球的直径即为球的直径.3245 3125 3().322Vcm球的体积为例例5 一个棱长为一个棱长为5cm的正方体纸盒恰好能装入的正方体纸盒恰好能装入 一一 个球状木盒里，此时球的体积为多少个球状木盒里，此时球的体积为多少?253 d(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的