通信原理精品第2章 确知信号分析ppt课件

1、第2章确知信号分析 第第2章确知信号分析章确知信号分析2.1 引言引言 2.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 2.3 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 2.4 傅氏变换的根本性质及运用傅氏变换的根本性质及运用 2.5 信号经过线性系统不失真传输条件信号经过线性系统不失真传输条件 2.6 波形相关波形相关 2.7 谱密度和帕塞瓦尔定理谱密度和帕塞瓦尔定理 2.8 信号的带宽信号的带宽 本章小结本章小结 习题习题 第2章确知信号分析 2.1 引引 言言2.1.1 常用信号的分类常用信号的分类1. 确知信号和随机信号确知信号和随机信号能用确定的数学表示式描画的信号称为确能用确定的数学

2、表示式描画的信号称为确知信号。确知信号的根本特征是：不论过去、知信号。确知信号的根本特征是：不论过去、如今或未来的任何时间，其取值总是独一确定如今或未来的任何时间，其取值总是独一确定的。还有些信号没有确定的数学表达式，当给的。还有些信号没有确定的数学表达式，当给定一个时间值时，信号的数值并不确定，通常定一个时间值时，信号的数值并不确定，通常只能知道其取值的概率，这种信号称为随机信只能知道其取值的概率，这种信号称为随机信号。号。第2章确知信号分析 通讯系统中的信号可分为两大类：确知信号和随机信号。确知信号在系统中主要参与对通讯信号(携带信息的信号)的变换，如调制用的载波信号、取样用的取样脉冲信号

3、、同步电路中用的同步码组等。通讯系统中的随机信号包括通讯信号和噪声。通讯信号一定具有某种随机性，由于完全确知的信号不携带信息，所以通讯信号是随机信号。另外，通讯系统中存在的噪声几乎都是随机信号。第2章确知信号分析 2. 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号假设一个信号假设一个信号f(t)可描画为：可描画为： f(t)=f(t+kT0)，其中，其中T0(常数常数) 0；k为整数，那么称为整数，那么称f(t)为周期信号，为周期信号，T0为周期。反之，不满为周期。反之，不满足此关系式的信号称为非周期信号。足此关系式的信号称为非周期信号。第2章确知信号分析 3. 能量信号和功率信号通讯信号f(t)

4、的能量(耗费在1电阻上)E为其平均功率P为假设信号的能量有限(即0E)，那么称该信号为能量信号； 假设信号的平均功率有限(0P)，那么称该信号为功率信号。能量信号的平均功率(在全时间轴上的平均)等于0，而功率信号的能量等于无穷大。继续时间无限的信号一定是功率信号，而继续时间有限的信号那么是能量信号。22-22d)(1lim)(T/T/TttfTtfPttfEd)(2第2章确知信号分析 2.1.2 常用系统的分类常用系统的分类在通讯领域中，系统是一个很灵敏的概念，它所包括在通讯领域中，系统是一个很灵敏的概念，它所包括的范围可大可小。例如，它可以包含挪动用户、基站、传的范围可大可小。例如，它可以包

5、含挪动用户、基站、传输信道等庞大的挪动通讯系统，也可以小到通讯设备中的输信道等庞大的挪动通讯系统，也可以小到通讯设备中的某一详细电路。数学上，系统是用它的输入信号某一详细电路。数学上，系统是用它的输入信号f(t)和输出和输出信号信号r(t)之间的函数关系来描画的，如图之间的函数关系来描画的，如图2.1.1所示。所示。输入输出之间的关系记作：输入输出之间的关系记作： r(t)=gf(t)，其中，其中，“g是由系统的构造所决议的函数关系。下面从此函数是由系统的构造所决议的函数关系。下面从此函数关系的特点出发，讨论系统的分类。关系的特点出发，讨论系统的分类。第2章确知信号分析 图2.1.1 系统的方

6、框图第2章确知信号分析 1. 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统均匀性和迭加性是判别系统能否为线性系统的根据。均匀性和迭加性是判别系统能否为线性系统的根据。均匀性。在图均匀性。在图2.1.1所示的系统中，假设下式成立所示的系统中，假设下式成立kr(t)=gkf(t) (2-1-1)式中，式中，k为任一常数，那么称系统满足均匀性。均匀性阐明，当为任一常数，那么称系统满足均匀性。均匀性阐明，当输入信号增大输入信号增大k倍时，系统的输出信号也增大倍时，系统的输出信号也增大k倍。倍。第2章确知信号分析 迭加性。在图2.1.1所示系统中，假设当输入为f1(t)时，输出为r1(t)； 当输入为f2(

7、t)时，输出为r2(t)。那么当输入为f1(t)+f2(t)时，假设输出为r1(t)+r2(t)，即r1(t)+r2(t)=gf1(t)+f2(t) (2-1-2)那么称该系统满足迭加性。凡是既满足均匀性又满足迭加性的系统，称为线性系统，否那么称为非线性系统。第2章确知信号分析 2. 时不变系统与时变系统时不变系统(也称为恒参系统)是指系统内的参数不随时间而变化的系统，其输入输出信号的函数关系也不随时间而变化。即假设r(t)=gf(t)，那么有r(t-t0)=gf(t-t0) (2-1-3)这阐明对时不变系统，当输入信号延时t0时，输出信号只是相应地延时了t0，而输出信号的外形并没有发生变化。

8、假设不满足(2-1-3)式，那么称为时变系统(也称随参系统)。在时变系统中，在不同时辰输入信号，即使输入信号一样，也会得到不同的输出信号。第2章确知信号分析 3. 物理可实现系统与物理不可实现系统物理可实现系统是指系统的输出不能够在系统的输入参与之前就出现。设t=0时辰开场在输入端参与信号，那么在t0时，输出r(t)才能够有值。凡是实践的系统都是物理可实现系统。那么为什么要引入物理不可实现系统的概念呢？这是由于它能提示信号传输的某些规律，简化问题的分析。理想低通滤波器就是一个物理不可实现的系统，它在输入还没出现之前，就曾经有输出信号了。第2章确知信号分析 2.2 周期信号的频谱分析周期信号的频

9、谱分析频谱分析是指找出信号包含的频率成分，频谱分析是指找出信号包含的频率成分，包括其幅度、相位和分布。信号的频谱在通讯包括其幅度、相位和分布。信号的频谱在通讯原理课程中占有极其重要的位置。原理课程中占有极其重要的位置。频谱分析的目的：频谱分析的目的：(1) 信号信号f(t)有哪些频率成分。有哪些频率成分。(2) 各频率成分幅度、相位大小。各频率成分幅度、相位大小。(3) 主要分量占据的频带宽度主要分量占据的频带宽度(包括频域中的包括频域中的位置位置)。确知信号频谱分析的方法：确知信号频谱分析的方法：(1) 傅氏级数，其研讨对象是周期信号。傅氏级数，其研讨对象是周期信号。(2) 傅氏变换，其研讨

10、对象是非周期信号。傅氏变换，其研讨对象是非周期信号。第2章确知信号分析 2.2.1 周期信号的三种傅氏级数表示法周期信号的三种傅氏级数表示法1. 根本表示式根本表示式(2-2-1)在式在式(2-2-1)中：中：是周期信号是周期信号f(t)的平均值的平均值(直流分量直流分量)；是周期信号是周期信号f(t)的第的第n次余弦波次余弦波的振幅；的振幅； 220000d)(1TTttfTA 2sin2cos)(1000nnntnfBtnfAAtf220000d2cos)(2TTnttnftfTA第2章确知信号分析 是周期信号f(t)的第n次正弦波的振幅；称为周期信号的基波频率。220000d2sin)(

11、2TTnttnftfTB001Tf 第2章确知信号分析 式(2-2-1)的物理意义：一个周期为T0的信号可以分解成一个直流分量A0，以及无穷多个频率为nf0幅度分别为An、 Bn的余弦涉及正弦波。 An、 Bn的值与周期信号本身有关，即频率nf0的余弦涉及正弦波的幅度由周期信号决议。式(2-2-1)也阐明一个周期信号是由直流成分和无穷多个频率为nf0幅度分别为An、 Bn的余弦涉及正弦波组成的。式(2-2-1)存在的缺陷：同一频率成分，要用相互正交的两项表示，运用起来不方便。 第2章确知信号分析 2 余弦函数表示式由三角公式可知：其中，)2cos(2sin2cos000nnnntnfCtnfB

12、tnfAnnnnnnABBACarctan22第2章确知信号分析 由此可得，周期信号f(t)的余弦表示式为 (2-2-2)其中，C0=A0。式(2-2-2)的物理意义：一个周期为T0的信号可以分解成一个直流分量C0及无穷多个频率为nf0的余弦波，这些余弦波的幅度及相位分别为Cn和n。由此可见，式(2-2-2)的物理概念更加清楚，直流与各次谐波分量的振幅和相位一目了然。式(2-2-2)存在的缺陷：振幅和相位的计算复杂。)2cos()(010nnntnfCCtf第2章确知信号分析 3. 指数函数表示式周期为T0的信号f(t)还可用如下所示的指数方式表示： (2-2-3)其中，式(2-2-3)是由余

13、弦表示式经数学推导得来的，这种表示式没有什么物理意义，纯属数学上的表示式，但它能给分析带来方便，是傅氏变换的根底，也是本课程最常用的一种表示式。由于n的取值是离散的，所以式(2-2-1)、(2-2-2)和(2-2-3)表示的频谱也是离散的。 )(02ntnfjneVtf222 j0000d)(1TTtnfntetfTV第2章确知信号分析 2.2.2 典型周期信号的频谱分析典型周期信号的频谱分析周期矩形脉冲信号是通讯中最常用到的信号之一，因此我周期矩形脉冲信号是通讯中最常用到的信号之一，因此我们选择它作为典型信号进展分析，并经过它归纳出周期信号频们选择它作为典型信号进展分析，并经过它归纳出周期信

14、号频谱的特点。谱的特点。一个典型的周期矩形脉冲信号一个典型的周期矩形脉冲信号f(t)的波形如图的波形如图2.2.1所示，所示，脉冲宽度为脉冲宽度为，高度为，高度为A，周期为，周期为T0。第2章确知信号分析 图2.2.1 周期矩形脉冲第2章确知信号分析 其它,022,)(00kTtkTAtf(2-2-4) 第2章确知信号分析 把式(2-2-4)展开成指数函数表示的傅氏级数：0000000022j2022j20Sa sin2222sin de1de)(10000TnTATnTnTAnfnfTAtATttfTVtnfTTtnfnntnfTnTAtf02j00eSa)(2-2-5) 第2章确知信号分析

15、 式中，称为取样函数或取样信号。Vn与f(t)的关系曲线如图2.2.2所示。图中画出了不变，而T0分别为5、10时的频谱图。谱线的包络按照Sa(f)的曲线(图示中虚线)变化。第一个零点出如今处。1fxxxsin)(Sa第2章确知信号分析 图2.2.2 周期矩形脉冲频谱图第2章确知信号分析 根据研讨的问题不同，也可分别画出振幅频谱|Vn|-f 图和相位频谱n-f 图，如图2.2.3所示。第2章确知信号分析 图2.2.3 周期矩形脉冲的振幅谱和相位谱第2章确知信号分析 从图2.2.2和图2.2.3中可以看出，周期矩形脉冲信号的频谱有以下几个特点：(1) 离散性。频谱由不延续的谱线组成，即是离散谱，

16、它包括基波频率f0和各次谐波频率，谱线间隔为f0。(2) 谐波性。谐波与基波是整倍数关系，即各谐波频率等于nf0。(3) 各次谐波的振幅变化规律是按取样函数变化的。最大值出如今f=0处，零点在f=k/处 (k=1, 2, 3, )，其中第一个零点对应的频率为f=1/，所以的大小决议第一个零点的位置。值得留意的是，离散性调和波性对于任何周期信号都是适用的。不同外形的周期信号的频谱的区别主要在于频谱包络的变化规律不同。第2章确知信号分析 例2.2.1 周期为T0的冲激脉冲信号如图2.2.4(a)所示。(1) 求其指数型傅氏级数展开式。(2) 画出Vn-f关系图。解 (1) 根据式(2-2-3)得周

17、期冲激脉冲信号的傅氏级数展开式为02202201d)(1d)(100000TttTttTVTTTTTnntnftnfnnTeTVt0002 j02 j1e)(第2章确知信号分析 (2) Vn-f关系如图2.2.4(b)所示。图2.2.4 周期冲激脉冲信号及其振幅谱第2章确知信号分析 2.3 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析2.3.1 傅氏变换与频谱函数傅氏变换与频谱函数前面引见了将一个周期信号展开成傅氏级前面引见了将一个周期信号展开成傅氏级数的方法。对于非周期信号，不能用傅氏级数数的方法。对于非周期信号，不能用傅氏级数直接表示，其频谱分析是经过傅氏变换进展的。直接表示，其频谱分析是经过

18、傅氏变换进展的。傅氏变换公式为傅氏变换公式为(2-3-1) (2-3-2) 称为傅氏变换 de )()(2 jttffFft变换逆称为傅氏反)( de )()(2 jffFtfft第2章确知信号分析 通常把F(f)叫做f(t)的频谱密度函数，简称频谱。它的物理意义是单位频率占有的振幅值。信号f(t)与其频谱F(f)之间存在着一一对应的关系。也就是说，f(t)给定后，F(f)独一确定； 反之亦然。因此，信号既可以用时间函数f(t)来描画，也可以用它的频谱F(f)来描画。傅氏变换提供了信号在频率域和时间域之间的相互变换关系。习惯上，由f(t)去求F(f)的过程叫做傅氏变换，而由F(f)去求f(t)

19、的过程称为傅氏反(逆)变换。信号f(t)与其频谱F(f)组成傅氏变换对，记作)()(fFtf第2章确知信号分析 因此，对于一个非周期信号，为了分析它所包含的各频率成分的大小与分布情况，可以用傅氏变换求出其频谱函数，根据频谱函数对信号进展分析。F (f )的特点： (1) F (f )对应的频谱是延续谱。(2) F (f )通常是一个复函数，可写成，其中|F (f )|-f 是振幅谱，为相位谱。)(e)()(fjfFfFff)(第2章确知信号分析 2.3.2 通讯中常用信号的频谱函数通讯中常用信号的频谱函数1. 矩形脉冲信号的傅氏变换及矩形频谱的傅氏反变换矩形脉冲信号的傅氏变换及矩形频谱的傅氏反

20、变换矩形脉冲信号可表示为矩形脉冲信号可表示为 利用傅氏变换公式利用傅氏变换公式(2-3-1)可求出其频谱函数为可求出其频谱函数为其它022)(tAtf)Sa()sin(dde )()(2/2/2 j2 jfAffAtAettffFftft第2章确知信号分析 矩形脉冲的波形及频谱如图2.3.1所示。其频谱有如下几个主要特点：(1) 频谱延续且无限扩展； (2) 频谱外形为取样函数，频率为零处幅度值最大，等于矩形脉冲的面积； (3) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/(n=1，2，)处。信号90%以上的能量集中在第一个零点以内，通常将第一个零点的宽度(正频率部分的宽度)定义为信号的带宽，所以矩形脉

21、冲信号的带宽为1/； (4) 当矩形脉冲宽度变窄时，带宽增大； 反之，当脉冲宽度增大时，信号的带宽变窄。通俗地说，信号在时域中的宽度越窄，那么在频域中的宽度就越宽； 信号在时域中的宽度越宽，那么在频域中的宽度就越窄。第2章确知信号分析 图2.3.1 单个矩形脉冲波形及其频谱第2章确知信号分析 经常还会碰到另一种情况，信号的频谱函数具有矩形特性，如图2.3.2所示，那么它的时间波形又是什么样的呢？即当时，求时间函数f (T)。用傅氏反变换式(2-3-2)可求得时间函数为矩形频谱及它的时间波形如图2.3.2所示。其它BfBAfF022)()(Sadede )()(2/2/2 j2 jtBABfAf

22、fFtfBBftft第2章确知信号分析 图2.3.2 矩形频谱及其时间波形第2章确知信号分析 2 冲激信号的傅氏变换及冲击频谱的傅氏反变换冲激信号的傅氏变换及冲击频谱的傅氏反变换冲激信号的定义为冲激信号的定义为根据傅氏变换的公式，得到根据傅氏变换的公式，得到(T)的频谱函数为的频谱函数为图图2.3.3是冲激信号是冲激信号(T)的波形及频谱。的波形及频谱。1d)(0 , 00 ,)(ttttt且1ede )()(02 j2 jfftttfF第2章确知信号分析 图2.3.3 冲激函数及其频谱第2章确知信号分析 反过来，当信号的频谱为冲激函数，即F (f )=(f )时，其时间波形为频谱函数及波形如

23、图2.3.4所示。1ede)()(02j2jfftfftf第2章确知信号分析 图2.3.4 冲激频谱及其时间波形第2章确知信号分析 从图2.3.3及图2.3.4中可得出这样的结论：一个时域无限窄的信号(如(T)，其频域无限宽(如F(f )=1)。反之，假设时域无限宽的信号(如f (T)=1)，其频域无限窄(如F(f )=(f )。第2章确知信号分析 3 升余弦脉冲信号的傅氏变换及升余弦频谱函数的傅氏反升余弦脉冲信号的傅氏变换及升余弦频谱函数的傅氏反变换变换在通讯中，升余弦脉冲信号常用来取代矩形脉冲信号作为在通讯中，升余弦脉冲信号常用来取代矩形脉冲信号作为数字脉冲信号。图数字脉冲信号。图2.3.

24、5是升余弦脉冲信号的波形及频谱表示图。是升余弦脉冲信号的波形及频谱表示图。其数学表达式及频谱函数如下其数学表达式及频谱函数如下经计算化简得到经计算化简得到其它 02 2cos12)(ttAtfttAttffFftftde2cos12de )()(2/2/2 j2 j2211)(Sa2)(ffAfF第2章确知信号分析 图2.3.5 升余弦脉冲信号的波形及频谱第2章确知信号分析 升余弦脉冲信号频谱的特点：(1) 频谱在频率为零处有最大幅度值A/2，此值等于升余弦脉冲的面积； (2) 频谱有等间隔的零点，零点位置在n/(n=2, 3, )处； (3) 频谱第一个零点的位置是2/，和矩形脉冲的频谱相比

25、，升余弦脉冲的频谱在第一个零点内集中了更多的能量。假设用第一个零点的频率值作为带宽的话，显然，在一样时，升余弦脉冲信号的带宽是矩形脉冲信号带宽的2倍； (4) 和矩形脉冲相比，此频谱幅度随频率衰减的速度更快。第2章确知信号分析 当频谱函数为升余弦特性时，即其傅氏反变换就是此频谱的时间波形，为经计算得 升余弦频谱函数及其时间波形如图2.3.6所示。其它 02 )2cos1 (2)(BffBAfFffBAffFtfBBftftde2cos12de )()(2/2/2 j2 j)1 (1)(Sa2)(22tBBtABtf第2章确知信号分析 图2.3.6 升余弦频谱及其时间波形第2章确知信号分析 2.

26、3.3 周期信号的频谱函数周期信号的频谱函数一个周期信号的频谱可以用傅氏级数展开式进展分析，我一个周期信号的频谱可以用傅氏级数展开式进展分析，我们知道一个周期信号们知道一个周期信号f (T)可表示为可表示为其中，其中，f 0=1/T0, T0是周期信号的周期。根据傅氏变换，是周期信号的周期。根据傅氏变换，f (T)的的频谱函数为频谱函数为又由于又由于 ，所以，所以(2-3-3)ntnfnVtf02 je)(ntnfnntnfnFVVFtfFe e)(002 j2 j)(e 02 j0nffFtnf )(e )(02 j0nnntnfnnffVFVtfF第2章确知信号分析 例2.3.1 求周期冲

27、激脉冲信号的频谱函数(设周期为T0，冲激脉冲的幅度为1)。解由例题2.2.1得到，周期冲激脉冲信号的傅氏级数展开式为。 所以其频谱为周期冲激脉冲信号及其频谱如图2.3.7所示。在数字通讯中将用到此信号的频谱函数。 ntnfTtf02 j0e1)(nnffTtfFfF)(1)()(00第2章确知信号分析 图2.3.7 周期冲激脉冲信号及其频谱第2章确知信号分析 例2.3.2 求f (T)=Acos2f0T信号的频谱函数。解 Acos2f0T可变换为由于所以余弦信号f (T)=Acos2f 0T的频谱为ee 22cos)(002 j2 j0tftfAtfAtf)(e 02 j0ffFtf)(e 0

28、2 j0ffFtf)()(22cos000ffffAtfAF第2章确知信号分析 频谱图如图2.3.8所示。我们知道上述余弦信号只含有f 0一个频率成分，幅度为A。而频谱图上除了f0处有谱线外，-f 0处也有谱线。这并不代表余弦信号有两个频率成分，这只是一种数学上的表示，这种频谱称为双边谱。在这种频谱中，每个频率成分的幅度分成两半，正负频率上各画一根谱线且完全对称，幅度都是原幅度的一半。如此例中，将f 0成分的幅度A分成两个A/2，f 0频率处各画一根谱线，幅度都为A/2。第2章确知信号分析 图2.3.8 频谱第2章确知信号分析 表2-3-1列出了通讯中常用的几种信号的傅氏变换对，供以后运用时参

29、考。第2章确知信号分析 第2章确知信号分析 注： 单个矩形脉冲信号有时被称做门信号，常用D(T)表示，其数学表示为 表示周期单位冲激序列，其表示式为，T0为周期。 表示周期矩形脉冲序列，其表示式为，T0为周期。其它 02/2/- 1)(ttD)(0tT)(0tDTkTkTtt)()(00kTkTtDtD)()(00第2章确知信号分析 2.4 傅氏变换的根本性质及运用傅氏变换的根本性质及运用2.4.1 频率卷积定理及其运用频率卷积定理及其运用1 频率卷积定理频率卷积定理假设假设f 1(T)的频谱函数为的频谱函数为F1(f )，f2(T)的频谱的频谱函数为函数为F 2(f )，那么，那么f1(T)

30、、 f 2(T)乘积的频乘积的频谱谱为为 (2-4-1)式式(2-4-1)称为频率卷积定理。由此定理可知：两称为频率卷积定理。由此定理可知：两个时域信号乘积的频谱，等于两个时域信号频谱个时域信号乘积的频谱，等于两个时域信号频谱的卷积。因此，求两个时域信号乘积的频谱就有的卷积。因此，求两个时域信号乘积的频谱就有两种方法：两种方法：(1) 先求两个时域信号先求两个时域信号f 1(T)、 f 2(T)的乘积的乘积f (T)=f 1(T)f 2(T)，再用傅氏变换求出，再用傅氏变换求出f (T)的频谱。的频谱。但这种方法有时不易求解。但这种方法有时不易求解。)()()()(2121fFfFtftfF第

31、2章确知信号分析 (2) 运用频率卷积定理，先分别求出两个时域信号f 1(T)、 f2(T)的频谱F1(f )及F 2(f )，再求F1(f ) 与F2(f )的卷积。这种方法有时更易求解。第2章确知信号分析 2 频率卷积定理的运用频率卷积定理的运用频率卷积定理在本课程中主要用在调制和解调的频率变频率卷积定理在本课程中主要用在调制和解调的频率变换中。调制器中经常遇到图换中。调制器中经常遇到图2.4.1所示的相乘器，输入调制信所示的相乘器，输入调制信号号x(T)，载波为，载波为c(T)，输出为，输出为xc(T)=x(T)c(T)。求。求xc(T)的频谱的频谱时就可用频率卷积定理。时就可用频率卷积

32、定理。第2章确知信号分析 图2.4.1 相乘器第2章确知信号分析 例如，当载波c(T)=cos2f 0T时，相乘器输出信号xc(T)=x(T)cos2f 0T。设信号x(T)的频谱X(f )如图2.4.2(a)所示，那么xc(T)=x(T)cos2f 0T的频谱为由前面的讨论得 tfFfXtftxFtxFfXcc002cos2cos)()(000212cosfffftfF第2章确知信号分析 图2.4.2 载波c(T)=cos2f 0T时的频谱第2章确知信号分析 频谱图如图2.4.2 (b)所示。所以从上述求得的频谱函数表达式可以看出，xc(T)的频谱Xc(f )为x(T)的频谱X(f )在频率

33、轴上平移至f0处，幅度减至X(f )幅度的1/2。 xc(T)的频谱图如图2.4.2(c)所示。 这是延续载波调制的频谱变换关系，是一个极为重要的关系式，它阐明了信号在时域乘以一个余弦信号，即可实现信号频谱在频域的搬移。000000c21 21 21ffXffXfffffXfffffXfX第2章确知信号分析 2.4.2 时域卷积定理及其运用时域卷积定理及其运用1. 时域卷积定理时域卷积定理假设信号假设信号f 1(T)的频谱函数为的频谱函数为F1(f )，信号，信号f 2(T)的频谱函数的频谱函数为为F2(f )，那么，那么F 1(f )F2(f )的傅氏反变换为的傅氏反变换为f 1(T)*f

34、2(T)。即。即 (2-4-2)式式(2-4-2)称为时域卷积定理。它的含义是：两个频谱函数乘积所称为时域卷积定理。它的含义是：两个频谱函数乘积所对应的时间函数，等于两个频谱函数各自对应的时间函数的卷积。对应的时间函数，等于两个频谱函数各自对应的时间函数的卷积。因此，求两个频谱函数乘积的时间函数也有两种方法：因此，求两个频谱函数乘积的时间函数也有两种方法：)()()()(21211tftffFfFF第2章确知信号分析 (1) 先求出两个频谱函数的乘积F1(f )F 2(f )，再求其傅氏反变换F-1F1(f )F2(f )，此傅氏反变换即为F1(f )F2(f )所对应的时间函数，这种方法称为

35、频谱函数法。由于求F -1F1(f )F2(f )往往比较复杂，数学计算上困难较大。第2章确知信号分析 (2) 先求两个频谱函数各自的傅氏反变换，得到两个频谱函数各自的时间函数f 1(T)=F-1F1(f )及f 2(T)=F -1F2(f )，再求两个时间函数的卷积f 1(T)*f 2(T)，这种方法称为时域卷积定理法。这种方法有时比频谱函数法运用起来方便一些，因此也用得多一些。 第2章确知信号分析 2. 时域卷积定理的运用时域卷积定理在通讯中常运用于信号经过线性系统，如图2.4.3所示。输入信号x(T)的频谱函数为X(f )，线性系统的传输特性(函数)为H(f )，冲激呼应为h(T)。此时

36、可用时间卷积定理来求系统的输出信号r(T)。第2章确知信号分析 图2.4.3 信号经过线性系统第2章确知信号分析 系统输出信号的频谱R(f )等于系统输入信号的频谱X(f )乘以系统的传输特性H(f )，即R(f )=X(f )H(f )它的傅氏反变换就是系统的输出信号r(T)，也等于输入信号x(T)与系统冲激呼应h(T)的卷积。因此有当输入信号为冲激函数，即x(T)=(T)时，X(f )=1，输出r(T)为用时域卷积定理，也可得到r(T)=x(T)*h(T)=(T)*h(T)=h(T)(*)()(*)( )()()(111thtxfHFfXFfHfXFtr)()()()()(11thfHFf

37、HfXFtr第2章确知信号分析 由此也可知，当系统输入为冲激函数时，输出信号等于系统传输特性的傅氏反变换h(T)，所以称h(T) 为系统的冲激呼应。除了上述引见的频率卷积定理和时间卷积定理外，在后续内容的学习中还会用到其它一些傅氏变换运算特性，现将它们列于表2-4-1中，供学习时参考。第2章确知信号分析 第2章确知信号分析 2.5 信号经过线性系统不失真传输条件信号经过线性系统不失真传输条件信号经过线性系统时，其输出与系统的传信号经过线性系统时，其输出与系统的传输特性输特性H(f )(或冲击呼应或冲击呼应h(T)有亲密的关系。有亲密的关系。假设要保证输出信号不失真，那么对系统的传假设要保证输出

38、信号不失真，那么对系统的传输特性有一定的要求。输特性有一定的要求。信号不失真是指任一信号信号不失真是指任一信号x(T)经过线性系经过线性系统时，其输出信号波形统时，其输出信号波形y(T)和输入信号波形和输入信号波形x(T)外形一样。留意：成比放大、减少和有固外形一样。留意：成比放大、减少和有固定延迟时间等均不算作失真。根据这一定义，定延迟时间等均不算作失真。根据这一定义，我们可以写出无失真时，输入输出信号之间的我们可以写出无失真时，输入输出信号之间的关系为关系为y(T)=kx(T-T0) (2-5-1)第2章确知信号分析 信号不失真是指任一信号x(T)经过线性系统时，其输出信号波形y(T)和输

39、入信号波形x(T)外形一样。留意：成比放大、减少和有固定延迟时间等均不算作失真。根据这一定义，我们可以写出无失真时，输入输出信号之间的关系为y(T)=kx(T-T0) (2-5-1)式中，k和T0均为常数，k是衰减(或放大)系数，T0为固定的时延。对上式进展傅氏变换，根据时延特性有所以，对于不失真传输系统 (2-5-2)02j0e)()()()(ftfXkttkxFtyFfY)(j 2 je)(e)()()(0fftfHkfXfYfH第2章确知信号分析 上式阐明，要保证信号经过线性系统不产生失真，系统的传输特性必需具备以下两个条件：(1) 系统的幅频特性是一个不随频率变化的常数，即|H(f )

40、|=k (2-5-3)(2) 系统的相频特性是一条经过原点的直线，斜率为2T0，即(f )=-2f T0 (2-5-4)第2章确知信号分析 式(2-5-3)及式(2-5-4)所表示的幅频特性和相频特性如图2.5.1所示。由图可知，具有这样幅频特性和相频特性的系统，任何一个频率成分经过它时所遭到的幅度衰减(或放大)都是一样的(都为k)，遭到的时间延迟也都是一样的(都为T0)。显然，这样的系统实践是不存在的。但现实中经过系统的信号所包含的频率成分是有限的，所以在实践运用中，只需信号经过系统时每个频率成分遭到的幅度衰减和时间延迟是一样的，我们就以为此系统是无失真系统。第2章确知信号分析 图2.5.1

41、 线性无失真系统的幅频特性和相频特性第2章确知信号分析 例2.5.1 设有信号x(T)=2 cos2000T cos1000T，分别经过图2.5.2(a)、(b)所示的线性系统。求输出信号的时间表达式，并阐明输出信号有无失真。 解 首先分析输入信号中所包含的频率成分。根据三角公式得可见，输入信号x(T)含有两个离散的频率成分，频率分别为1500 Hz和500 Hz，幅度都为1。 )5002cos()1500cos(2 1000cos3000cos 1000cos2000cos2)(tttttttx第2章确知信号分析 图2.5.2 线性系统的相频特性第2章确知信号分析 (1) x(T)经过图2.

42、5.2(a)所示的线性系统后，输出端两个频率成分的幅度都衰减到0.8，时间上都延迟T0，所以输出信号为运用三角公式得 输出信号与输入信号相比，只需幅度上的衰减和时间上的延迟，波形外形是一样的，所以输出信号没有失真，图2.5.2(a)所示的线性系统对此输入信号x(T)来说是个无失真系统。)(5002cos8 . 0)(15002cos8 . 0)(00ttttty)(1000cos)(2000cos6 . 1)(00ttttty第2章确知信号分析 (2) x(T)经过图2.5.2(b)所示的线性系统后，两个频率成分遭到的幅度衰减是不一样的，1500 Hz频率成分的幅度由1衰减到0.4，500 H

43、z频率成分的幅度由1衰减到0.8。两个频率成分遭到的时间延迟都是Td，所以输出信号为由此可知，输入信号中的两个频率成分经过系统时，幅度上遭到不同程度的衰减，输出信号的外形不再与输入信号的外形一样，输出信号与输入信号相比有失真，所以此系统对x(T)来说是个有失真系统。)(5002cos8 . 0)(15002cos4 . 0)(ddttttty第2章确知信号分析 2.6 波形相关波形相关2.6.1 相关函数相关函数相关函数有相互关和自相关两类。一个函数相关函数有相互关和自相关两类。一个函数f (T)可求其自相关函数可求其自相关函数R()。两个函数。两个函数f 1(T)与与f2(T)，可求它们之间

44、的相互关函数，可求它们之间的相互关函数R12()。1. 相互关函数的定义相互关函数的定义对于两个能量信号对于两个能量信号f 1(T)和和f 2(T)，其相互关，其相互关函数定义为函数定义为 (2-6-1)对于普通的功率信号对于普通的功率信号f1(T)和和f 2(T)，其相互，其相互关函数定义为关函数定义为 (2-6-2)ttftfRd)()()(2112ttftfTRTTTd)()(1lim)(2/2/2112第2章确知信号分析 对周期功率信号f 1(T)和f 2(T)，其相互关函数定义为 (2-6-3)其中，T0为周期信号的周期。ttftfTRTTd)()(1)(2/2/2101200第2章

45、确知信号分析 2. 相互关函数的物理意义设f 1(T)和f 2(T)是两个矩形信号，如图2.6.1(a)、(b)所示，它们都是能量信号，由式(2-6-1) 可得两能量信号之间的相互关函数，如图2.6.1(c)所示。从图2.6.1(c)中可看出，当0时，相互关函数R12()最大，阐明两信号f 1(T)和f 2(T)相关程度最严密。当=0时，两个波形开场在时间上不重叠，R12()=0。所以相互关函数与有关。0002112011d )()()(ttftfR第2章确知信号分析 图2.6.1 f 1(T)和f 2(T)信号波形和相互关函数第2章确知信号分析 3. 自相关函数的定义当信号f 1(T)和f2

46、(T)为同一个信号f (T)时，其相互关函数就成为自相关函数，记为R()。 图2.6.1所示的相互关函数R12()就是自相关函数，由于图2.6.1中的f 1(T)与f2(T)是同一个信号。第2章确知信号分析 4. 相关函数的特性(1) 假设对一切，信号f 1(T)和f 2(T)的相互关函数R12()=0，那么阐明两信号波形间差别一直很大或极不类似，这种信号称为不相关信号。互不相关的信号很多，如一个直流信号和一个正弦波(或余弦波)信号之间，它们的相互关函数R12()永远为0，它们是互不相关的。 (2) 相互关函数R12()=R21(-)。 以能量信号为例证明如下： 令T=T+，代入得ttftfR

47、d)()()(2112)(d)()(d)()()(21121212RttftfttftfR第2章确知信号分析 (3) 自相关函数R()=R(-)是偶函数。证明：由相互关函数R12()=R21(-)当f 1(T)=f 2(T)时R12()=R(), R21()=R(-)所以R()=R(-)第2章确知信号分析 (4) 自相关函数R(0)的物理意义是：对于能量信号 (2-6-4)是信号的总能量。对功率信号 (2-6-5)是信号的平均功率。(5) R(0)R()。从物理意义上讲，R(0)是完全一样的两个波形在时间上重合在一同时得到的相关函数，因此一定是最大的。数学上也完全可以证明这一点。EttfRd)

48、()0(2SttfTRTTTd )(1lim)0(2/2/2第2章确知信号分析 例2.6.1 假设f 1(T)与f 2(T)的平均值均为0，且f 1(T)与f2(T)互不相关，试证明和间的相互关函数R12()=V1V2。式中V1、 V2为常数。111)()(Vtftf222)()(Vtftf第2章确知信号分析 证明证明 由于由于f 1(T)与与f2(T)互不相关，所以上面积分中第一项为互不相关，所以上面积分中第一项为0； 由于由于f1(T)与与f 2(T)的平均值均为的平均值均为0，所以第二项和第三项积分值也为，所以第二项和第三项积分值也为0。可得可得tVVTttfVTdttfVTttftfT

49、tVtfVtfTttftfTRTTTTTTTTTTTTTTTTTTd1limd )(1lim)(1limd)()(1limd )()(1limd)()(1lim)(2/2/212/2/122/2/212/2/2122/2/2112/2/2112212/2/2112d1lim)(VVtVVTRTTT第2章确知信号分析 2.6.2 归一化相关函数和相关系数归一化相关函数和相关系数相关函数不仅与相关函数不仅与有关，还与波形的外形和幅度大小有关，有关，还与波形的外形和幅度大小有关，不易直接从数值大小进展相关程度的比较。而归一化相关函数不易直接从数值大小进展相关程度的比较。而归一化相关函数和相关系数可以

50、较直接地反映两信号相关程度。和相关系数可以较直接地反映两信号相关程度。1. 归一化相关函数归一化相关函数对于对于f 1(T)，归一化自相关函数定义为，归一化自相关函数定义为 (2-6-6)对于对于f 2(T)，归一化自相关函数定义为，归一化自相关函数定义为 (2-6-7)而而f 1(T)与与f 2(T)的归一化相互关函数定义为的归一化相互关函数定义为 (2-6-8)0()(1111RR)0()(2222RR)0().0()(221112RRR第2章确知信号分析 2. 相关系数相关系数设信号设信号f1(T)和和f2(T)，那么相互关系数定义为，那么相互关系数定义为 (2-6-9)相关系数与相关系

51、数与无关。相互关系数的值在无关。相互关系数的值在-1到到+1之间变化，之间变化，即即-112+1。当。当f 1(T)=f 2(T)时，时，12=+1，这就是自相关系数；，这就是自相关系数；当当f 1(T)=-f 2(T)时，时，12=-1；当；当f 1(T)与与f2(T)不相关时，不相关时，12=0。例例2.6.2 两信号如图两信号如图2.6.2所示，求所示，求12。)0()0()0(22111212RRR第2章确知信号分析 图2.6.2 f 1(T)与f 2(T)的信号波形第2章确知信号分析 解解 022/2/2112d )()()()0(00TAtAAdttftfRTT022/2/2111

52、1dd)()()0(00TAtAttftfRTT022/2/22222dd)()()0(00TAtAttftfRTT1)0()0()0(22111212RRR第2章确知信号分析 2.7 谱密度和帕塞瓦尔定理谱密度和帕塞瓦尔定理2.7.1 能量信号的帕塞瓦尔定理和能量谱密度能量信号的帕塞瓦尔定理和能量谱密度经过前面的学习，我们曾经知道了能量信经过前面的学习，我们曾经知道了能量信号的定义。假设能量信号号的定义。假设能量信号f (T)为电压信号，那为电压信号，那么么f (T)加在加在1 电阻上所耗费的能量电阻上所耗费的能量E为为 (2-7-1)ttfEd)(2第2章确知信号分析 设能量信号f (T)

53、的频谱函数为F (f )，那么 对于实函数f (T)有F (f )F (-f )=F (f )F*(f )=|F (f )|2所以ffFfFdfttffFtffFtfttfEftftd)()( de)()( dde)()(d)(2j2j2第2章确知信号分析 式(2-7-2)称为帕塞瓦尔能量定理。帕塞瓦尔定理通知我们，一个信号的能量可以用时间函数来求得，也可以用信号的频谱函数来求，两种方法求得能量的结果是一样的。详细求解时用什么方法，视情况而定。帕塞瓦尔定理的物理意义是，信号的总能量等于各个频率分量单独奉献出来的能量之和。第2章确知信号分析 信号的能量是由很多频率成分提供的，那么单位频率的能量是

54、多大，又是如何分布的呢？我们称单位频率的能量为能量谱密度，用G(f )表示，单位为J/Hz(焦耳/赫兹)，对能量谱密度求积分可得总能量，所以有 (2-7-3)比较式(2-7-2)和(2-7-3)，得到能量谱密度G(f )的表达式为G(f )=|F (f )|2 (2-7-4)对于能量信号，其能量谱密度等于信号振幅谱的平方，与相位谱无关。不同的信号，不论其相位谱如何，只需具有一样的振幅谱，就具有一样的能量谱。这阐明G(f )与f (T)不是一一对应的关系。ffGEd)(第2章确知信号分析 2.7.2 功率信号和功率谱密度功率信号和功率谱密度周期信号是一种典型的功率信号。设周期为周期信号是一种典型

55、的功率信号。设周期为T0的周期信的周期信号号f(T)，其瞬时功率等于，其瞬时功率等于f2(T)，在周期，在周期T0内耗费在内耗费在1电阻上电阻上的平均功率的平均功率 (2-7-5)f (T)的傅氏级数展开式为的傅氏级数展开式为2/2/2000d)(1TTttfTPtnfnnVtf02 je)(第2章确知信号分析 将f (T)的傅氏级数展开式代入式(2-7-5)，并经数学推导得(2-7-6)式(2-7-6)称为帕塞瓦尔功率定理。它阐明，一个周期信号的平均功率等于信号一切谐波分量幅度的平方之和，即信号的平均功率等于各个频率分量单独奉献出来的功率之和。同时，帕塞瓦尔定理也通知我们，求一个周期信号的平

56、均功率，可经过时域信号f(T)来求，也可经过它的傅氏级数展开式的系数Vn来求。nnTTVttfTP22/2/2000d)(1第2章确知信号分析 单位频率的功率称为功率谱密度，用P(f )表示，单位为W/Hz(瓦/赫兹)。对功率谱密度求积分可得信号的平均功率。所以有(2-7-7)对于周期信号，对比式(2-7-6)和式(2-7-7)有(2-7-8)ffPPd)(ffPVnnd)(2第2章确知信号分析 利用 ，有所以有 (2-7-9)对比式(2-7-8)和式(2-7-9)得(2-7-10)上式阐明，周期信号的功率谱由一系列的位于nf0处的冲激组成，其冲激强度为|Vn|2。)(d)()(d)()(00

57、00txttttxttttx202dnnVfnffVnnnnfnffVVd022nnnffVfP02)(第2章确知信号分析 留意频谱、能量谱与功率谱的区别：(1) 频谱，即频谱密度函数F (f )，包括幅度谱和相位谱。它描画确知信号的频域特性。反映信号的各个频率分量的幅度和相位随频率的分布情况。(2) 能量谱，即能量谱密度G(f )。它描画的对象是能量信号。反映能量信号的能量随频率的分布情况。(3) 功率谱，即功率谱密度P(f )。它描画的对象是功率信号。反映功率信号的功率随频率的分布情况。第2章确知信号分析 (4) 信号f (T)与频谱密度函数F (f )一一对应，它们是一对傅氏变换。能量谱

58、密度G(f )(或功率谱密度P(f )与信号f (T)的自相关函数R()是一对傅氏变换，这一结论称为维纳-辛钦关系。即所以能量信号的能量谱G(f )也可经过自相关函数的傅氏变换求得，功率信号的功率谱也可经过其自相关函数的傅氏变换求得。)()()()(fPRfGR对能量信号对功率信号第2章确知信号分析 2.8 信号的带宽信号的带宽带宽这个称号在通讯系统中经常出现，而带宽这个称号在通讯系统中经常出现，而且经常代表不同的含义，因此在这里先对带宽且经常代表不同的含义，因此在这里先对带宽这个称号作一些阐明。从通讯系统的信号传输这个称号作一些阐明。从通讯系统的信号传输过程出发，带宽有两种含义：过程出发，带

59、宽有两种含义：(1) 信号的带宽，是由信号的功率谱和能量信号的带宽，是由信号的功率谱和能量谱在频域的分布规律决议的。谱在频域的分布规律决议的。(2) 信道的带宽，是由传输电路的传输特性信道的带宽，是由传输电路的传输特性决议的。决议的。这两种带宽的单位都是这两种带宽的单位都是Hz(赫兹赫兹)，都用，都用B表表示。本节我们主要讨论信号的带宽。示。本节我们主要讨论信号的带宽。第2章确知信号分析 从实际上讲，除了极个别信号外，信号的频谱分布都是无穷的，但绝大部分适用信号的能量(或功率) 主要集中在一个不太宽的频率范围内，这个不太宽的频率范围就称为信号的带宽。信号带宽常用的定义方式有四种：(1) 3分贝

60、带宽(半功率带宽)。指信号的能量谱密度G(f )(或功率谱密度P(f )下降到峰值的一半，或比峰值下降3 dB的两频率点之间的间隔。这种定义方式适宜于能量谱或功率谱具有单峰特性的信号。如图2.8.1所示。求3分贝带宽的方法如下：以能量谱为例，设有能量谱密度函数G(f )，令求得f 1(f 1即为3分贝带宽)，记为B=f1。)0(21)(1GfG第2章确知信号分析 图2.8.1 分贝带宽第2章确知信号分析 (2) 等效矩形定义带宽。以能量谱为例，用一个外形为矩形的能量谱替代信号的能量谱，矩形能量谱具有的能量(即矩形的面积)与信号的能量相等，矩形能量谱的幅度等于信号能量谱幅度的最大值，那么矩形能量